第9讲 正比例函数与一次函数(知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学下册

第9讲 正比例函数与一次函数 (知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义 本节课主要针对第25章一次函数进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了正比例函数和一次函数相关概念、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。 ❤模块一 正比例函数 知识点一 正比例函数的概念 1.成正比例 如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例. 注意：两个变量成正比例,说明其中一个变量是另一个变量的函数.用式子表示两个变量x,y成正比例,就是或表示为，是不等于0的常数. 2.正比例函数 (1)函数解析式：形如的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数. (2)特征： ①比例系数; ②自变量的次数是1; ③等号右边是常数与自变量的乘积; ④正比例函数的定义域是一切实数. 知识点二 正比例函数的图像 1.函数y=f(x)的图像 对于一个函数,如果一个图形(包括直线、曲线或其他图形)上任意一点的坐标都满足函数关系式,同时以这个函数解析式所确定的与的任意一组对应值为坐标的点都在图形上,那么这个图形叫做函数图像. 注意：函数的图像应满足两个条件: (1)函数图像上的任意一点中的,必满足函数解析式; (2)满足函数解析式的任意一对,的值，作为横坐标和纵坐标的点必在这个函数的图像上.二者缺一不可. 2.正比例函数的图像 一般地，正比例函数的图像是经过原点和点的一条直线.我们把正比例函数的图像叫做直线. 注意：因为两点确定一条直线，今后画函数图像，可以用原点和点这两个点进行“两点作图法” 3.画正比例函数图像的一般步骤 ①列表（正比例函数一般用两点法，复杂函数可用五点法或者其他） ②描点 ③连线（正比例函数一般情况是直线，如果遇到实际问题限定，可能是“线段”、“离散的点”等等） 知识点三 正比例函数的性质 1.当时,正比例函数的图像经过第一、三象限，自变量的值逐渐增大时,的值也随着逐渐增大.（也可以说随的增大而增大或者说随的减小而减小） 2.当时，正比例函数的图像经过第二、四象限，自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐减小.（也可以说随的增大而减小或者说随的减小而增大） 注意： (1)当时，正比例函数的图像从左向右呈上升趋势;当 时,正比例函数的图像从左向右呈下降趋势 (2)正比例函数中,越大,直线越靠近轴，越小,直线越远离轴 一．正比例函数的概念（共6小题） 1．已知y＝（k﹣1）x+k2﹣1，若y是x的正比例函数，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0 【考点】正比例函数的定义．版权所有 【分析】直接利用正比例函数的定义分析得出答案． 【解答】解：∵y＝（k﹣1）x+k2﹣1，y是x的正比例函数， ∴k2﹣1＝0，且k﹣1≠0， 解得：k＝﹣1． 故选：B． 【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，注意一次项系数不为零是解题关键． 2．下列各题中的y与x之间关系式中，y是x的正比例函数的是（　　） A．在时速为80km的匀速（速度不变）运动中，路程y（km）与时间x（h）之间的关系 B．圆柱的体积y（cm3）与它的底面半径x（cm）之间的关系 C．正方形的面积y（cm2）与它的边长x（cm）之间的关系 D．某车站规定旅客可以免费携带不超过20kg的行李，超过部分每千克收取2.5元的行李费用，则旅客需交的行李费y（元）与携带行李质量x（kg）（x＞20）之间的关系 【考点】正比例函数的定义．版权所有 【分析】根据正比例函数的定义（y＝kx，k为常数）逐一判断各选项． 【解答】解：∵正比例函数需满足y＝kx（k为常数）， A，匀速运动中，路程y与时间x关系为y＝80x，符合y＝kx形式，符合题意； B，圆柱体积y与半径x关系为y＝πx2h （h为常数），不符合题意； C，正方形面积y与边长x关系为y＝x2，不符合题意； D，行李费y与质量x关系为y＝2.5（x﹣20）＝2.5x﹣50，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了正比例函数的识别，解题的关键是熟知正比例函数的定义y＝kx，k为常数． 3．下列说法中：①﹣a一定是负数；②|﹣a|一定是正数；③有理数不是整数就是分数；④绝对值等于它本身的数是非负数；⑤当速度一定时，时间与路程成正比例关系；⑥单项式的系数是，次数是2，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】正比例函数的定义；非负数的性质：绝对值；单项式．版权所有 【分析】根据正负数的定义、有理数的分类、绝对值、相反数、单项式等知识点，逐个分析判断即可得出答案． 【解答】解：根据正负数的定义、有理数的分类、绝对值、相反数、单项式等知识点，逐个分析判断可得： 当a＝0时，﹣a＝0，所以﹣a不一定是负数，故①错误； 当a＝0时，|﹣a|＝0，所以|﹣a|不一定是正数，故②错误； 有理数不是整数就是分数，故③正确； 绝对值等于它本身的数是非负数，故④正确； 当速度一定时，时间与路程成正比例关系，故⑤正确； 单项式的系数是，次数是2，故⑥正确； ∴正确的个数是4个． 故选：D． 【点评】本题考查了正负数的定义、有理数的分类、绝对值、相反数、单项式．正确记忆相关知识点是解题关键． 4．已知函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1是正比例函数，则m＝　﹣2　 ． 【考点】正比例函数的定义．版权所有 【分析】根据正比例函数的定义即可得解． 【解答】解：由题意得，|m|﹣1＝1，m﹣2≠0， 解得m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数是解此题的关键． 5．已知y关于x的函数y＝4x+m﹣1． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若m＝9，求该函数图象与x轴的交点坐标． 【考点】正比例函数的定义．版权所有 【分析】（1）根据正比例函数的定义即可得出m的值； （2）当m＝9时，函数为一次函数y＝4x+8，令y＝0，即可得出图象与x轴的交点坐标． 【解答】解：（1）由条件可得m﹣1＝0，解得m＝1． （2）当m＝9时，该函数的表达式为y＝4x+8， 令y＝0，得4x+8＝0，解得：x＝﹣2， ∴当m＝9时，函数图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）． 【点评】本题主要考查了正比例函数、一次函数的定义等知识点，熟悉正比例函数和一次函数的特点是解题的关键． 6．阅读材料，回答问题：如果对于任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c（不妨设a≤b≤c）都在某个函数f（x）的定义域内，并且f（a），f（b），f（c）也能构成一个三角形，我们就称这样的函数f（x）为“保三角函数”． （1）试证明：任意一个比例系数大于零的正比例函数都是“保三角函数”． （2）试判断：f（x）是否是“保三角函数”？如果是，请给出证明：如果不是，请举出反例． （3）试判断：g（x）是否是“保三角函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例． 【考点】正比例函数的定义；三角形三边关系．版权所有 【分析】（1）根据“保三角函数”的定义判断即可； （2）根据“保三角函数”的定义判断即可； （3）根据“保三角函数”的定义判断即可． 【解答】解：（1）设f（x）＝kx（k＞0）， 则f（a）+f（b）＝ka+kb＝k（a+b），f（c）＝kc， ∵a+b＞c，k＞0， ∴k（a+b）＞kc， ∴f（a）+f（b）＞f（c）， ∴f（x）＝kx为“保三角函数”； （2）对于f（x），设a＝3，b＝7，c＝9，a，b，c能够成三角形， ∵f（a），f（b），f（c）， ∵， ∴f（a），f（b），f（c）不能构成一个三角形，故f（x）不是“保三角函数”； （3）对于g（x），由a+b＞c，可得a+2b＞c， ∴， ∴g（x）是“保三角函数”． 【点评】本题考查了正比例函数，三角形的三边关系，正确的理解“保三角函数”的定义是解题的关键． 二．正比例函数的图象（共6小题） 7．正比例函数y＝﹣x的图象是（　　） A． B． C． D． 【考点】正比例函数的图象．版权所有 【分析】根据正比例函数的性质和函数解析式，可以判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵正比例函数y＝﹣x， ∴该函数图象经过第二、四象限，并且经过原点，当x＝﹣1时，y＝1， 故选：A． 【点评】本题考查正比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答． 8．下列判断中不正确的是（　　） A．正方形的对角线互相垂直平分 B．正比例函数的图象是一条直线 C．菱形的四条边都相等 D．矩形的对角线互相垂直 【考点】正比例函数的图象；线段垂直平分线的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质．版权所有 【分析】逐一分析各选项的正确性，结合正方形、正比例函数、菱形、矩形的性质进行判断． 【解答】解：选项A：正方形的对角线互相垂直平分，正方形是菱形和矩形的特例，其对角线既具备菱形的垂直性，又具备矩形的平分性，故正确； 选项B：正比例函数（形如y＝kx）的图象是过原点的直线，属于一次函数，故正确； 选项C：菱形的定义是四边相等的平行四边形，因此四条边必然相等，故正确； 选项D：矩形的对角线仅满足相等且平分，但除非是正方形（特殊矩形），否则对角线不垂直，因此该说法错误； 故选：D． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质以及正比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 9．定期举办汽车拉力赛可促进数学建模在车辆动力学优化中的应用，推动汽车运动技术革新．若某选手在比赛中驾驶汽车匀速行驶，其行驶的路程s（米）与时间t（小时）的关系，可以用以下哪个图象表示（　　） A． B． C． D． 【考点】正比例函数的图象．版权所有 【分析】根据题意，路程与时间的比是常数，是一种正比例函数的关系，根据正比例函数的图象是过原点的直线，解答即可． 【解答】解：根据题意，路程与时间的比是常数，是一种正比例函数的关系，根据正比例函数的图象是过原点的直线， 由于速度为正， 图象表现为第一象限的射线， 故选：D． 【点评】本题考查了正比例函数的图象，熟练掌握判正比例图象特征是解题的关键． 10．如图，三个函数图象分别对应的表达式是：①y1＝ax；②y2＝bx；③y3＝cx．则a，b，c的大小关系是 c＜a＜b ． 【考点】正比例函数的图象．版权所有 【分析】根据图象，可知c＜0，b＞0，a＞0，再根据图象①和②的倾斜度，可知a＜b，然后即可写出a，b，c的大小关系． 【解答】解：由图象可得， c＜0＜a＜b， ∴c＜a＜b， 故答案为：c＜a＜b． 【点评】本题考查正比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 11．已知函数y＝x；y＝﹣2x．yx，y＝3x． （1）在同一坐标系内画出函数的图象． （2）探索发现： 观察这些函数的图象可以发现，随|k|的增大直线与y轴的位置关系有何变化？ （3）灵活运用 已知正比例函数y1＝k1x；y2＝k2x在同一坐标系中的图象如图所示，则k1与k2的大小关系为k1＞k2 ． 【考点】正比例函数的图象．版权所有 【分析】（1）由两条直线的解析式可知其图象均过原点，再分别令x＝1求出y的值，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象； （2）比较分析可得答案． （3）由（2）分析的规律即可判断． 【解答】解：（1）如图： （2）观察这些函数的图象可以发现，随|k|的增大直线与y轴的夹角越小． （3）由（2）规律可知，k1＞k2， 故答案为k1＞k2． 【点评】本题考查了画出正比例函数的图象，以及正比例函数的性质，正确画出图象是解题的关键． 12．在同一直角坐标系内画出下列函数图象． （1）y＝4x； （2）； （3）； （4）． 【考点】正比例函数的图象．版权所有 【分析】根据两点法画出函数图象即可求解． 【解答】解：同一直角坐标平面内画出下列函数图象如图： 【点评】本题考查了画正比例函数图象，数形结合是解题的关键． 三．正比例函数的性质（共8小题） 13．某油箱容量为50L的汽车，加满汽油后开了200km时，油箱中的汽油大约消耗了四分之一，如果加满汽油后汽车行驶的路程为xkm，油箱中的剩油量为yL，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（　　） A．y＝0.0625x，x＞0 B．y＝50﹣0.0625x，x＞0 C．y＝0.0625x，0≤x≤800 D．y＝50﹣0.0625x，0≤x≤800 【考点】正比例函数的性质；函数关系式．版权所有 【分析】根据加满汽油后开了200km时，油箱中的汽油大约消耗了四分之一，可以计算出每千米的耗油量，然后即可写出y与x之间的函数解析式，再令y＝0求出相应的x的值，即可得到x的取值范围． 【解答】解：由题意可得， y＝50x＝50﹣0.0625x， 当y＝0时，0＝50﹣0.0625x，解得x＝800， 即y与x之间的函数解析式是y＝50﹣0.0625x（0≤x≤800）， 故选：D． 【点评】本题考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式和自变量的取值范围． 14．节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买y度电，若平均每天用电x度，则能使用30天．下列说法错误的是（　　） A．若x＝5，则y＝150 B．若y＝210，则x＝7 C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍 【考点】正比例函数的性质．版权所有 【分析】根据题意，总电量与每天用电量的关系为y＝30x，即y与x成正比函数．逐一代入选项验证即可． 【解答】解：∵每天用电x度，使用30天， ∴y＝30x． A、当x＝5时，y＝30×5＝150，正确，不符合题意； B、当y＝210时，x＝210÷30＝7，正确，不符合题意； C、∵30＞0，∴y随x的减小而减小，正确，不符合题意； D、∵30＞0，∴y随x的减小而减小，故原说法错误，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查正比例函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 15．已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），如果y的值随x的值增大而减小，那么该正比例函数的图象经过第 　二、四　 象限． 【考点】正比例函数的性质．版权所有 【分析】根据正比例函数的性质可得k＜0，进而得出该正比例函数的图象经过第二、四象限． 【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），y的值随x的值增大而减小， ∴k＜0， ∴该正比例函数的图象经过第二、四象限． 故答案为：二、四． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，图象经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；当k＜0时，图象经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数．”是解题的关键． 16．已知正比例函数y＝kx的图象与x轴所成的锐角为45°，则k的值为　1或﹣1　 ． 【考点】正比例函数的性质；正比例函数的图象．版权所有 【分析】根据题意，正比例函数图象上的点的坐标可设为（a，a）或（a，﹣a），然后把它们分别代入y＝kx可计算出对应的k的值，从而可确定k的值． 【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象与x轴所成的锐角为45°， ∴正比例函数图象上的点的坐标可设为（a，a）或（a，﹣a）， ∴ak＝a或ak＝﹣a ∴k＝1或k＝﹣1 故答案为：1或﹣1． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，利用正比例函数的性质设出点A的坐标是解题的关键．注意不要漏解． 17．若关于y的不等式组有解且最多有3个整数解，且关于x的正比例函数y＝（a+2）x，在自变量取值范围内y随x增大而增大，则满足条件的所有整数a的和为　0　 ． 【考点】正比例函数的性质；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．版权所有 【分析】先解关于y的不等式组，根据已知条件求出a的取值范围，再根据正比例函数的性质求出所有满足条件的整数a的值，再求出它们的和即可． 【解答】解：解不等式组得， 不等式组的解集为：﹣3＜ya+1， ∵关于y的不等式组有解且最多有3个整数解， ∴﹣2a+1≤1， 解得：﹣6≤a≤0， ∵关于x的正比例函数y＝（a+2）x，在自变量取值范围内y随x增大而增大， ∴a+2＞0， ∴a＞﹣2， ∴﹣2＜a≤1， ∴a＝﹣1，0，1， ∴所有整数a的和为0， 故答案为：0． 【点评】本题主要考查了正比例函数的性质，一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握一元一次不等式组的一般步骤． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x，y轴的正半轴上，始终保持AB＝8，以AB为边向右上方作正方形ABCD，AC，BD交于点P，连接OP，下列结论正确的是 　①④　 ．（请填写序号） ①直线OP的函数表达式为y＝x； ②OP的取值范围是； ③若，则B点的坐标为； ④连接OD，则OD的最大值为． 【考点】正比例函数的性质；线段的性质：两点之间线段最短；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；正方形的性质．版权所有 【分析】作PM⊥y轴，PN⊥x轴，则四边形PMON是矩形，得到∠AMP＝∠BNP＝90°，∠MPN＝90°根据正方形的性质得到AP＝BP，∠APB＝90°，ABBP，则∠APB﹣∠MPB＝∠MPN﹣∠MPB，BP＝4，根据全等三角形的性质得到PM＝PN，（当OA＜OB时同理）由题意可知，点P在第一象限，设P（a，a），直线OP的函数解析式为：y＝kx，代入可得：a＝ka，可得k＝1，即直线OP的函数表达式为y＝x，故①正确；根据正方形的性质得到OPPN，ON＝PN当OP＝5时，ON＝PN＝5，根据勾股定理得到BN，则OB＝ON﹣BN＝5，（当OA＜OB时同理可得：OB＝ON+BN＝5，于是得到当OP＝5时，B点的坐标为（5，0）或（5，0），故③错误；取AB的中点Q，连接OQ，PQ，DQ，OD，根据勾股定理得到QD4，求得4OP≤8，故②错误；根据三角形的三边关系即可得到结论． 【解答】解：作PM⊥y轴，PN⊥x轴，则四边形PMON是矩形， ∴∠AMP＝∠BNP＝90°，∠MPN＝90° ∵四边形ABCD是正方形，AB＝8， ∴AC与BD互相垂直且平分，AB＝AD＝8， 则AP＝BP，∠APB＝90°，ABBP， 则∠APB﹣∠MPB＝∠MPN﹣∠MPB，BP＝4， ∴∠APM＝∠BPN， ∴△APM≌△BPN（AAS）， ∴PM＝PN，（当OA＜OB时同理） 由题意可知，点P在第一象限，设P（a，a），直线OP的函数解析式为：y＝kx， 代入可得：a＝ka，可得k＝1，即直线OP的函数表达式为y＝x，故①正确； ∵PM＝PN，PM⊥y轴，PN⊥x轴， ∴四边形PMON是正方形，则OPPN，ON＝PN 当OP＝5时，ON＝PN＝5， 则BN， 则OB＝ON﹣BN＝5，（当OA＜OB时同理可得：OB＝ON+BN＝5， ∴当OP＝5时，B点的坐标为（5，0）或（5，0），故③错误； 取AB的中点Q，连接OQ，PQ，DQ，OD， 则AQ＝4，QD4， ∵∠APB＝90°，∠AOB＝90°， ∴OQAB＝4，PQAB＝4， 由三角形三边关系可得：OP≤OQ+OP＝6，当O，Q，P在同一直线上时取等， ∵OP＞BP﹣OB， 又∵0＜OB＜8， ∴OP＞BP＝4，（当OA＜OB时同理可得：OP＞4， 则4OP≤8，故②错误； 由三角形三边关系可得：OD≤OQ+DQ＝4+4，当O，Q，D在同一直线上时取等， ∴OD的最大值为4+4， 故④正确； 综上：正确的有①④，共2个； 故答案为：①④． 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的三边关系，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 19．已知直线y1＝x，y2＝﹣x+b，y3＝2x﹣b（b＞0），若无论x取何值，y总取y1，y2，y3的最小值，则当x＝　b 时，y的值最大．（用含b的代数式表示） 【考点】正比例函数的性质．版权所有 【分析】依据题意求得三条直线的交点，再利用题意求得y值，最后利用一次函数的性质解答即可． 【解答】解：由题意可知三条直线两两相交， 由得：； 由得：； 由得：． ∴三个交点为：A（，），B（b，b），C（b，b），如图， 当xb时，y3的值最小， ∵无论x取何值，y总取y1，y2，y3的最小值， ∴y＝y3的值， ∵y3的值随x的增大而增大， ∴当xb时，y的值最大为b； 当xb时，y2的值最小， ∵无论x取何值，y总取y1，y2，y3的最小值， ∴y＝y2的值， ∵y2的值随x的增大而减小， ∴当xb时，y的值最大为b． 综上，当xb时，y的值最大． 故答案为：b． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，正比例函数的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 20．已知函数y＝（m﹣1）x是正比例函数． （1）若函数关系式中y随x的增大而减小，求m的值； （2）若函数的图象过第一、三象限，求m的值． 【考点】正比例函数的性质；正比例函数的定义．版权所有 【分析】利用正比例函数的定义，可得出关于m的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出m的值； （1）由函数关系式中y随x的增大而减小，利用正比例函数的性质可得出m﹣1＜0，解之即可得出m的取值范围，进而可确定m的值； （2）由函数的图象过第一、三象限，利用正比例函数的性质可得出m﹣1＞0，解之即可得出m的取值范围，进而可确定m的值． 【解答】解：∵函数y＝（m﹣1）x是正比例函数， ∴， 解得：m1＝﹣2，m2＝2． （1）∵函数关系式中y随x的增大而减小， ∴m﹣1＜0， ∴m＜1， ∴m＝﹣2． （2）∵函数的图象过第一、三象限， ∴m﹣1＞0， ∴m＞1， ∴m＝2． 【点评】本题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大，且函数图象经过第一、三象限；当k＜0时，y随x的增大而减小，且函数图象经过第二、四象限”是解题的关键． ❤模块二：一次函数 知识点一 一次函数的概念 1.一般地，解析式形如（，是常数，且）的函数叫做一次函数； 2.一次函数的定义域是一切实数； 3.当时，解析式就成为（是常数，且）这时，y是x 的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例； 4.一般地，我们把函数（为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问 题确定． 知识点二 一次函数的图像 1.一次函数的图像： 一般地，一次函数（，是常数，且）的图像是一条直线．一次函数的图像也称为直线，这时，我们把一次函数的解析式称为这一直线的表达式． 画一次函数的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线． 2.一次函数的截距： 一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距， 一般地，直线（）与y轴的交点坐标是，直线（）的截距是b． 3.一次函数图像的平移： 一般地，一次函数（）的图像可由正比例函数的图像平移得到．当时，向上平移个单位；当时，向下平移个单位． （函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”） 4.直线位置关系： 如果，那么直线与直线平行． 反过来，如果直线与直线平行，那么，． 知识点三 一次函数的性质 1.一次函数的增减性： 一般地，一次函数（为常数，）具有以下性质： 当时，函数值随自变量的值增大而增大，图像为上升； 当时，函数值随自变量的值增大而减小，图像为下降． 2.一次函数图像的位置情况： 直线（，）过且与直线平行，由直线在平面直角坐标系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得） 当，且时，直线经过一、二、三象限； 当，且时，直线经过一、三、四象限； 当，且时，直线经过一、二、四象限； 当，且时，直线经过二、三、四象限． 四．一次函数的概念（共3小题） 21．关于x的函数是一次函数，则m的值为　﹣2　 ． 【考点】一次函数的定义．版权所有 【分析】根据一次函数的定义，得m2﹣3＝1且 2﹣m≠0，解方程即可求解． 【解答】解：由题意可得： m2﹣3＝1且 2﹣m≠0， 解得m＝±2，m≠2， ∴m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查一次函数的定义，正确掌握一次函数的定义是解题的关键． 22．下列说法正确的是　①③　 ．（填序号） ①正比例函数一定是一次函数； ②一次函数一定是正比例函数； ③若y﹣1与x成正比例，则y是x的一次函数； ④若y＝kx+b，则y是x的一次函数． 【考点】一次函数的定义．版权所有 【分析】根据一次函数和正比例函数的定义判断． 【解答】解：①正比例函数一定是一次函数，正确； ②一次函数一定是正比例函数，错误； ③若y﹣1与x成正比例，即y﹣1＝kx，y＝kx+1，则y是x的一次函数，正确； ④若y＝kx+b，当b＝0时，则y是x的正比例函数；当k＝0时，不是函数，错误． 故正确的是①③． 【点评】本题主要考查一次函数与正比例函数的定义以及两者之间的联系． 23．下列函数关系式中①y＝2x2﹣1﹣2x（x+1）；②y＝2x2+1；③y＝2x﹣1；④；⑤y＝﹣x；是一次函数的个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】一次函数的定义．版权所有 【分析】根据一次函数的定义逐项判断即可． 【解答】解：根据一次函数的定义逐项判断可得： ①y＝2x2﹣1﹣2x（x+1）化简得y＝2x2﹣1﹣2x2﹣2x＝﹣2x﹣1，是一次函数，符合题意； ②y＝2x2+1不是一次函数，不符合题意； ③y＝2x﹣1是一次函数，符合题意； ④不是一次函数，不符合题意； ⑤y＝﹣x是一次函数，符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，熟知形如y＝kx+b （k、b为常数，且k≠0）的函数是一次函数是解题的关键． 五．一次函数的图像（共6小题） 24．平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a，b是不等于0的常数）的图象如图所示，则y＝bx+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】一次函数的图象．版权所有 【分析】根据一次函数的图象判断即可． 【解答】解：根据图中函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限可知，a＜0，b＞0， ∴y＝bx+a的图象经过一、三、四象限， 故选：D． 【点评】本题主要考查了一次函数图象的综合判断，熟练掌握该知识点是关键． 25．在同一坐标系中，一次函数y1＝ax+b和y2＝abx﹣b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】一次函数的图象．版权所有 【分析】分别根据分析各选项的图象一次函数y1＝ax+b和y2＝abx﹣b的系数，若存在矛盾，则不符合题意，据此即可解答． 【解答】解：A．由y1得a＜0，b＞0，而由y2得ab＞0，b＜0，存在矛盾，不符合题意； B．由y1得a＞0，b＞0，而由y2得ab＜0，b＞0，即a＜0，存在矛盾，不符合题意； C．由y1得a＞0，b＜0，而由y2得ab＜0，b＜0，即a＞0，不存在矛盾，符合题意； D．由y1得a＞0，b＜0，而由y2得ab＜0，b＞0，即a＜0，存在矛盾，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的图象性质，熟练掌握图象性质中系数大小与图象的关系是解题的关键． 26．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d（a，b，c，d为常数，a≠0，c≠0）的图象如图所示，若a﹣c＝m（b﹣d），则m＝　 　 ． 【考点】一次函数的图象．版权所有 【分析】根据当x＝4时，y1＝y2，即可求得a﹣c（b﹣d），从而得出m． 【解答】解：∵两个的图象交点的横坐标为4， ∴4a+b＝4c+d， ∴4a﹣4c＝d﹣b， ∴a﹣c（b﹣d）， ∵a﹣c＝m（b﹣d）， ∴m． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 27．在平面直角坐标系中，已知A、B、C、D四点的坐标依次为（0，0）、（6，0）、（8，6）、（2，6），若一次函数y＝m（x﹣6）的图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分，则m的值为 　或﹣6　 ． 【考点】一次函数的图象．版权所有 【分析】根据y＝m（x﹣6），得到直线过定点（6，0），即经过点B，由图可知，四边形ABCD为平行四边形，根据一次函数y＝m（x﹣6）的图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分，可知，直线经过AD或CD中点，利用待定系数法求出m的值即可． 【解答】解：如图：由A、B、C、D四点的坐标依次为（0，0）、（6，0）、（8，6）、（2，6），可知：CD∥AB，CD＝AB＝6， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴， ∵y＝m（x﹣6），当x＝6时，y＝0， ∴直线过定点（6，0），即直线一定过点B， ∵一次函数y＝m（x﹣6）的图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分， ∴直线y＝m（x﹣6）经过AD的中点M（1，3）或经过CD的中点N（5，6）， ∴m﹣6m＝3或5m﹣6m＝6， ∴或﹣6， 故答案为：或﹣6． 【点评】本题考查一次函数与几何图形的综合应用．根据题意得到四边形ABCD为平行四边形，以及直线过点B是解题的关键． 28．某单位准备和甲乙两个出租公司中的一家签订租车合同，设汽车每月行驶x千米，每月应付给甲公司的费用为y1元，付给乙公司的费用为y2元，y1、y2与x的关系如图，若该单位每月行驶的路程为4000km，为了使费用较少，则应选择 　乙　 公司（填“甲”或“乙”）． 【考点】一次函数的图象．版权所有 【分析】观察函数图象，可得出当x＞1500时，y1＞y2，结合x为4000km，即可得出应选择乙公司． 【解答】解：观察函数图象，可知：当x＞1500时，y1＞y2， ∴若该单位每月行驶的路程为4000km，为了使费用较少，则应选择乙公司． 故答案为：乙． 【点评】本题考查了一次函数的图象，观察函数图象，找出“当x＞1500时，y1＞y2”是解题的关键． 29．已知，一次函数y＝﹣2x+4的图象分别与x轴，y轴交于点A，B． （1）请直接写出A，B两点坐标：A：　（2，0）　 ，B：　（0，4）　 ； （2）在直角坐标系中画出函数图象（不用列表，直接描点、连线）； （3）点P是一次函数y＝﹣2x+4上一动点，则OP的最小值为 　　 ． 【考点】一次函数的图象；勾股定理．版权所有 【分析】（1）根据题目即可求出A、B两点的坐标； （2）根据（1）中A、B两点的坐标即可画出函数图象； （3）先利用勾股定理求出AB，当OP与一次函数y＝﹣2x+4垂直时，OP有最小值，再根据等面积法，即可求出OP的最短距离． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A、B， ∴当x＝0时，y＝4， 当y＝0时，x＝2， ∴A、B两点的坐标为（2，0），（0，4）， 故答案为：（2，0），（0，4）； （2）由（1）得：A、B两点的坐标为（2，0），（0，4）， ∴函数图象如图所示： （3）如图所示，当OP与一次函数y＝﹣2x+4垂直时，OP有最小值， 此时，， ∵OA＝2，OB＝4， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，熟练掌握相关知识点是关键． 六．一次函数的性质（共10小题） 30．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则函数y＝﹣kx+b的图象一定不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【考点】一次函数的性质；一次函数的图象．版权所有 【分析】根据函数y＝kx+b（k≠0）的图象可得k、b的符号，进而判断出函数y＝﹣kx+b的图象经过的象限，得出不过的象限． 【解答】解：由函数y＝kx+b（k≠0）的图象过第一、二、四象限， 可知k＜0，b＞0， ∴﹣k＞0， ∴函数y＝﹣kx+b的图象一定不经过第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键． 31．若一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，则一次函数y＝﹣bx+k的图象是（　　） A． B． C． D． 【考点】一次函数的性质；一次函数的图象．版权所有 【分析】先根据一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限可得k＜0，b＜0，再根据一次函数的图象与性质即可得． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限， ∴k＜0，b＜0， ∴﹣b＞0， ∴一次函数y＝﹣bx+k的图象经过第一、三、四象限． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 32．对于一次函数y＝3x﹣2，下列说法错误的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．图象经过第二、三、四象限 C．图象与正比例函数y＝3x的图象平行 D．点M（﹣2，y1），N（1，y2）都在直线y＝3x﹣2上，则y1＜y2 【考点】一次函数的性质．版权所有 【分析】图象的平移，根据k＝3＞0，b＝﹣2＜0，逐项分析判断，即可求解． 【解答】解：由条件可知一次函数y随x的增大而增大，图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，图象与正比例函数y＝3x的图象平行， ∵﹣2＜1， ∴y1＜y2， 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数图象的分布和性质，熟练掌握该知识点是关键． 33．在一次函数y＝﹣3x+3的图象上有P（3，y1）和Q（5，y2）两点，则y1　＞　 y2． 【考点】一次函数的性质．版权所有 【分析】根据一次函数的增减性，即可求解． 【解答】解：由条件可知一次函数y随x的增大而减小， ∵3＜5； ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 【点评】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是熟知一次函数的性质． 34．平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线y＝kx﹣2k+2（k＜0）与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则k的取值范围是　且k≠﹣1　 ． 【考点】一次函数的性质；一次函数的图象．版权所有 【分析】由y＝kx﹣2k+2（k＜0），得出直线经过点（2，2），如图，当直线经过（3，0）或（3，0）时，直线y＝kx﹣2k+2（k＜0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过（4，0）时，直线y＝kx﹣2k+2（k＜0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的k的值，结合图象即可得到结论． 【解答】解：∵y＝kx﹣2k+2＝k（x﹣2）+2， ∴直线经过点（2，2）， 如图， 当直线经过（3，0）时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则0＝k+2，解得k＝﹣2； 当直线经过（6，0）时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 则0＝4k+2，解得； 当直线经过（4，0）时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点， 则0＝2k+2，解得k＝﹣1； ∴直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 因此，当 且 k≠﹣1 时，区域中只有四个整点． 故答案为： 且 k≠﹣1． 【点评】本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画出图象，结合图象解题是关键． 35．一次函数y＝﹣2x+3，当x满足﹣2≤x≤5时，y的最大值是　7　 ． 【考点】一次函数的性质．版权所有 【分析】由一次函数y＝﹣2x+3中k＝﹣2＜0，可以确定y随x的增大而减小，然后利用解析式即可求出在﹣2≤x≤5时函数y的最大值． 【解答】解：由k＝﹣2＜0可知y的值随x的值增大而减小， ∴在﹣2≤x≤5范围内， 当x＝﹣2时，函数值y最大，此时y＝﹣2×（﹣2）+3＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了一次函数的性质，熟知一次函数y＝kx+b的图象的性质：当k＞0，y的值随x的值增大而增大；当k＜0，y的值随x的值增大而减小是解题的关键． 36．一次函数y1＝k1x+b，y2＝k2x+b与y3＝k3x+b的图象如图所示，k1，k2，k3的大小关系是 k2＜k3＜k1 ．（用“＜”连接） 【考点】一次函数的性质；一次函数的图象．版权所有 【分析】根据一次函数的图象与性质解答即可． 【解答】解：由一次函数图象可知：k2＜k3＜k1． 故答案为：k2＜k3＜k1． 【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是关键． 37．已知一次函数y＝（m﹣2）x+m+3的图象不经过第三象限，且m为正整数． （1）求m的值． （2）在给出的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象． （3）当y＜0时，根据函数图象，写出x的取值范围． 【考点】一次函数的性质；一次函数的图象．版权所有 【分析】（1）根据一次函数的图象不经过第三象限确定m的不等式组，从而确定m的值； （2）确定m的值后利用两点法作图即可； （3）根据图象确定自变量的取值范围即可． 【解答】解：（1）由条件可得， 得﹣3≤m＜2， ∵m 为正整数， ∴m＝1， （2）由（1）知，m＝1， ∴y＝﹣x+4， 当x＝0时，y＝4，当x＝4时，y＝0，该函数的图象如图所示； （3）由（2）中函数图象可知，当y＜0时，x＞4． 故答案为：x＞4． 【点评】本题考查一次函数的性质、画一次函数图象以及根据函数值范围求自变量范围，解题的关键是根据其不经过第三象限确定m的值． 38．学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数y＝|x|﹣2的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． （1）列表：y与x的部分对应值如表，则a＝　1　 ，b＝　0　 ． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … a 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 b 1 … （2）描点、连线：根据表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数y＝|x|﹣2的图象； （3）结合图象，写出一条函数y＝|x|﹣2的性质：　函数y＝|x|﹣2的图象关于y轴对称　 ． （4）根据函数图象填空： ①方程|x|﹣2＝1有　2　 个解； ②若关于x的方程|x|﹣2＝m无解，则m的取值范围是m＜﹣2　 ； ③若关于x的方程|x|﹣2＝ax+1有两个不相等的实数解，直接写出实数a的取值范围． 【考点】一次函数的性质；一次函数的图象．版权所有 【分析】（1）将x＝﹣3、x＝2代入函数解析式即可求解． （2）根据表格描点连线即可． （3）观察函数图象，从对称性等方面得出性质； （4）①根据图象确定方程|x|﹣2＝1解的个数； ②观察图象得出结论； ③根据函数图象分情况作答即可． 【解答】解：（1）将x＝﹣3、x＝2代入函数解析式， 当x＝﹣3时，y＝|x|﹣2＝|﹣3|﹣2＝3﹣2＝1； 当x＝2时，y＝|x|﹣2＝|2|﹣2＝2﹣2＝0； 故a＝1，b＝0． 故答案为：1，0； （2）描点、连线：根据表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数y＝|x|﹣2的图象， （3）观察图象，可知：函数y＝|x|﹣2的图象关于y轴对称． 故答案为：函数y＝|x|﹣2的图象关于y轴对称； （4）①观察图象可知， y＝|x|﹣2的图象与y＝1有两个交点， 故方程|x|﹣2＝1有2个解； 故答案为：2； ②观察图象可知，y＝|x|﹣2的图象与直线y＝﹣2有一个交点， 在y＝﹣2的下方无交点， 故要使关于x的方程|x|﹣2＝m无解， 需m＜﹣2． 故答案为：m＜﹣2； ③若关于x的方程|x|﹣2＝ax+1有两个不相等的实数解， 当x＝0时，y＝a×0+1＝1， 即函数y＝ax+1必过（0，1）， 当a＞0时，如图，当a＝1时，y＝ax+1与y＝|x|﹣2右半段平行，此时y＝ax+1与y＝|x|﹣2有1个交点， 即当a＜1时，y＝ax+1与y＝|x|﹣2有2个交点，此时0＜a＜1； 当a＜0时，同理可得当a＞﹣1时，y＝ax+1与y＝|x|﹣2有2个交点，此时﹣1＜a＜0； 当a＝0时，y＝1，由①可知此时y＝ax+1与y＝|x|﹣2有2个交点； 综上所述，当﹣1＜a＜1时，关于x的方程|x|﹣2＝ax+1有两个不相等的实数解． 【点评】本题考查函数的图象和性质，解决本题的关键是读懂函数图象，掌握一次函数的图象性质． 39．已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． （1）当m＝﹣2时，若点D（3，n）在图象G上，求n的值； （2）当m＝2时，求函数的最大值； （3）已知点，，当图象G与线段AB只有一个公共点时，直接写出m的取值范围． 【考点】一次函数的性质；解一元一次不等式组．版权所有 【分析】（1）将m＝﹣2代入解析式求解即可； （2）将m＝﹣2代入解析式，然后根据一次函数的图形的性质求最值即可； （3）先分别求出函数与y＝﹣2的交点，然后分情况画出图形，并根据图形列出不等式求解即可． 【解答】解：（1）当m＝﹣2时，函数， ∵点D（3，n）在图象G上，且3》﹣2， 将点D的坐标代入y＝﹣x﹣2得：n＝﹣3﹣2＝﹣5； （2）当m＝2时，函数， 当x＜2时，由k＝1＞0，则y随x的增大而增大，函数的最大值无限接近2； 当x≥2时，由k＝﹣1＜0，则y随x的增大而减小，即当x＝2时，函数有最大值2； 综上所述，函数的最大值为2； （3）m的取值范围为m≥3或．理由如下： ∵， ∴该分段函数图象大致为： ∵，， ∴线段AB在直线y＝﹣2上． 若图象G与线段AB只有一个公共点时，分类讨论如下： ①∵或， ∴此时线段AB与图象G无交点； ②当时， 解得：， 当时， 解得：， 当m＜0，如图2：点A、B、C、D分别表示， ∴，解得不等式无解； 当m＝0，A、B同为（0，﹣2），与图形G无交点， 当m＞0，如图3：点A、B、C、D分别表示， ∴，解得：m≥3； ③令，，分别解得：，， 当m＞0，如图4，点A、B、C、D分别表示， ∴，解得不等式组无解； 当m＝0，A、B同为（0，﹣2），与图形G无交点， 当m＜0，如图5：点A、B、C、D分别表示， ∴，解得：． 综上所述，m的取值范围为m≥3或． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义、一次函数图象与性质、解不等式组知识点，掌握分类讨论和数形结合思想是解题的关键． 七．一次函数、一次方程与一次不等式（共9小题） 40．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与一次函数y＝﹣x﹣2交于点P（﹣1，m），则关于x、y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【分析】由交点坐标P（﹣1，m），先求出m的值，结合图象确定方程组的解即可． 【解答】解：将点P（﹣1，m）代入一次函数y＝﹣x﹣2， 可得m＝﹣（﹣1）﹣2，解得m＝﹣1， ∴P（﹣1，﹣1）， 结合图象可知， 关于x，y的方程组的解是． 故选：B． 【点评】本题考查一次函数图象的交点与方程组的解的关系，解题的关键在于对知识的熟练掌握． 41．如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象经过点（﹣1，0）和（0，2），则关于x的方程kx+b＝0的解是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．y＝2 【考点】一次函数与一元一次方程．版权所有 【分析】关于x的方程kx+b＝0的解即为直线y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 【解答】解：当y＝0时，kx+b＝0， 所以关于x的方程kx+b＝0的解即为直线y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 因为次函数y＝kx+b（k＞0）的图象经过点（﹣1，0）， 所以关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣1． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程的根就是它所对应的一次函数的函数值为0时，自变量的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 42．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，甲乙两位同学给出的下列结论： 甲说：方程kx+b＝x+a的解是x＝3； 乙说：当x＜3时，y1＜y2． 其中正确的结论有（　　） A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲乙都正确 D．甲乙都错误 【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质；一次函数与一元一次方程．版权所有 【分析】利用一次函数与一元一次方程的关系对甲进行判断；利用函数图象，当x＜3时，一次函数y1＝kx+b在直线y2＝x+a的上方，则可对乙进行判断． 【解答】解：∵一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象的交点的横坐标为3， ∴关于x的方程kx+b＝x+a的解是x＝3，所以甲正确； 当x＜3时，y1＞y2，所以乙错误． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 43．若一次函数y＝kx+b的图象与的图象相交于点M（3，m），则关于x，y的方程组的解是　　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【分析】先根据一次函数求出点P的坐标，再由两直线交点坐标确定方程组的解即可． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与的图象相交于点M（3，m）， ∴m4， ∵一次函数y＝kx+b的图象与的图象相交于点M（3，﹣4）， ∴关于x，y的方程组的解是． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，利用一次函数的交点解二元一次方程组，理解方程组的解与函数图象交点之间的关系是解题关键． 44．如图，若一次函数y＝kx+3与正比例函数y＝2x的图象交于点（1，m），则方程组的解为　　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【分析】先根据正比例函数y＝2x求出交点的坐标，再由两直线交点坐标确定方程组的解即可． 【解答】解：由题意，∵一次函数y＝kx+3与正比例函数y＝2x的图象交于点（1，m）， ∴m＝2， ∵一次函数y＝kx+3与正比例函数y＝2x的图象交于点（1，2）， ∴方程组的解为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，利用一次函数的交点解二元一次方程组，理解方程组的解与函数图象交点之间的关系是解题关键． 45．如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n的图象交于（2，﹣1），则关于x，y的方程组的解为　　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【分析】根据两函数图像的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 【解答】解：由条件可知直线y＝kx+b﹣1和直线y＝mx+n﹣1的交点就是把直线y＝kx+b与y＝mx+n的交点向下平移1个单位长度， ∴直线y＝kx+b﹣1和直线y＝mx+n﹣1的交点坐标是（2，﹣2）， ∴方程组的解为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组、函数图像的平移，熟练掌握以上知识点是关键． 46．已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）． （1）若此一次函数的图象经过A（1，2），B（2，5）两点，求k的值． （2）若k+b＜0，点P（2，a）（a＞0）在该一次函数图象上，求证：k＞0． 【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质．版权所有 【分析】（1）将A（1，2），B（2，5）代入y＝kx+b之中即可求出k的值； （2）将点P（2，a）代入y＝kx+b之中得2k+b＝a，根据a＞0得2k+b＞0，再结合k+b＜0得2k+b＞k+b，据此即可得出结论． 【解答】（1）解：∵此一次函数的图象经过A（1，2），B（2，5）两点， ， 解得k＝3； （2）证明：∵一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点P（2，a）（a＞0）， ∴2k+b＝a， ∵a＞0， ∴2k+b＞0， ∵k+b＜0， ∴2k+b＞k+b， ∴k＞0． 【点评】此题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法求一次函数表达式的方法与技巧，理解一次函数的性质，一次函数图象上的点满足一次函数的表达式是解决问题的关键． 47．在直角坐标系中，点A（m，0）在函数y1＝ax+2a﹣1（a≠0）的图象上． （1）若m＝3，求a的值； （2）函数y1的图象恒过定点，请直接写出该定点坐标； （3）若a，设函数y2x，当a＜0，y1＜y2时，求x的取值范围． 【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质．版权所有 【分析】（1）代入点A的坐标即可求得； （2）分别求得m＝2和m＝3时的a的值，结合图象即可求得； （3）证得两直线都经过点（﹣2，﹣1），结合一次函数的增减性即可判断． 【解答】解：（1）∵点A（m，0）在函数y1＝ax+2a﹣1（a≠0）的图象上， ∴am+2a﹣1＝0， ∴a， ∵m＝3， ∴a； （2）由题意得，y1＝ax+2a﹣1＝a（x+2）﹣1， 又∵函数y1的图象恒过定点， ∴当x+2＝0时，即x＝﹣2时，y＝﹣1． ∴该定点坐标为（﹣2，﹣1）； （3）由题意，结合（2）可得，直线y1过点（﹣2，﹣1），如图， ∵a＜0， ∴当x＞﹣2时，y随x的增大而减小， ∵直线y2x也经过点（﹣2，﹣1），且y随x的增大而增大， ∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＞﹣2． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键． 48．阅读材料，解答问题． 例：若代数式的值是常数2，求a的取值范围． 分析：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|，因为|a﹣2|表示数a在数轴上的点到数2在数轴上的点的距离，|a﹣4|表示数a在数轴上的点到数4在数轴上的点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析． 解：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|．在数轴上看，应分三种情况讨论： ①当a＜2时，原式＝2﹣a+4﹣a＝6﹣2a； ②当2≤a≤4时，原式＝a﹣2+4﹣a＝2； ③当a＞4时，原式＝a﹣2+a﹣4＝2a﹣6． 通过分析可得a的取值范围应是2≤a≤4． （1）此例题的解答过程中用了哪些数学思想？ （2）化简：； （3）画出函数的图象； （4）由图象解方程；（直接写出答案即可） （5）由图象解不等式．（直接写出答案即可） 【考点】一次函数与一元一次不等式；二次根式的性质与化简．版权所有 【分析】（1）根据题中的解题过程即可求解； （2）分三种情况，a＜3，3≤a≤7，a＞7，求解即可； （3）分三种情况，x＜3，3≤x≤7，x＞7，化简函数解析式，然后画出图象即可； （4）根据函数图象，求解即可； （5）根据函数图象求解即可． 【解答】解：（1）若代数式的值是常数2， 由解题过程可得，运用了数形结合思想和分类讨论的数学思想； （2）当a＜3时，3﹣a＞0，a﹣7＜0， ∴，， ∴； 当3≤a≤7时，3﹣a＜0，a﹣7＜0， ∴，， ∴； 当a＞7时，3﹣a＜0，a﹣7＞0， ∴，， ∴； 综上，当a＜3时，10﹣2a；当3≤a≤7时，4；当a＞7时，2a﹣10； （3）由（2）可得，， 列表可得： x 2 3 7 8 y 6 4 4 6 描点连线可得： （4）由（3）中的图象可得，当x＝2时，； 当x＝8时，； ∴方程的解为x＝8或x＝2； （5）由图象可得，当x＜2或x＞8时，， 则不等式的解集为x＜2或x＞8． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，函数图象，函数与方程不等式的关系，解题的关键是利用分类讨论的思想求解问题． 1．已知正比例函数的图象经过第一、三象限，则m的值为 　2　 ． 【考点】正比例函数的性质．版权所有 【分析】根据所给正比例函数经过的象限，结合正比例函数的性质得出关于m的等式即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为函数是正比例函数， 所以5﹣m2＝1， 解得m＝±2． 又因为此正比例函数的图象经过第一、三象限， 所以m﹣1＞0， 解得m＞1， 所以m的值为2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数的图象与性质是解题的关键． 2．如图，一次函数y＝x+2与y＝ax+6（a≠0）的图象相交于点P，那么关于x的方程x+2＝ax+6的解为x＝2　 ． 【考点】一次函数与一元一次方程．版权所有 【分析】根据一次函数图象的交点坐标即可求解． 【解答】解：∵一次函数y＝x+2与y＝ax+6（a≠0）的图象相交于点P，P的横坐标为2， ∴关于x的方程x+2＝ax+6的解是x＝2． 故答案为：x＝2． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，数形结合是解题的关键． 3．已知函数y＝mx+4（m为常数），当﹣3≤x≤2时，y的最大值为6，则m的值为　1或　 ． 【考点】一次函数的性质．版权所有 【分析】结合一次函数的性质，对m分类讨论，当m＞0时，一次函数y随x增大而增大，此时x＝2，y＝6；当m＜0时，一次函数y随x增大而减小，此时x＝﹣3，y＝6；据此利用待定系数法求解即可． 【解答】解：当m＞0时，一次函数y随x增大而增大， ∴当x＝2时，y＝6， ∴6＝2m+4， 解得m＝1， 当m＜0时，一次函数y随x增大而减小， ∴当x＝﹣3时，y＝6， ∴6＝﹣3m+4， 解得m， 综上可知，m的值为1或． 故答案为：1或． 【点评】本题主要考查一次函数的性质，待定系数法求解析式等，深度理解一次函数的性质是解题关键． 4．已知关于x的方程mx﹣2＝3x+n有无数个解． （1）求出m、n的值． （2）求一次函数y＝mx+n与坐标轴围成的三角形的面积． 【考点】一次函数与一元一次方程．版权所有 【分析】（1）把方程整理后得出（m﹣3）x＝n+2，根据关于x的方程mx﹣2＝3x+n有无数个解得出m﹣3＝0且n+2＝0，再求出m、n即可； （2）先求出直线y＝3x﹣2与两坐标轴的交点坐标，再求出三角形的面积即可． 【解答】解：（1）mx﹣2＝3x+n， mx﹣3x＝n+2， （m﹣3）x＝n+2， ∵关于x的方程mx﹣2＝3x+n有无数个解， ∴m﹣3＝0且n+2＝0， 解得：m＝3，n＝﹣2； （2）∵y＝mx+n，m＝3，n＝﹣2， ∴y＝3x﹣2， 当x＝0时，y＝﹣2， 当y＝0时，3x﹣2＝0， 解得：x， 所以一次函数y＝mx+n与坐标轴围成的三角形的面积是|﹣2|． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，三角形的面积和方程的解等知识点，能求出m﹣3＝0和n+2＝0是解此题的关键． 1．正比例函数y＝kx，y＝mx，y＝nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则比例系数k、m、n的大小关系是 k＞m＞n （用“＞”号连接）． 【考点】正比例函数的性质；正比例函数的图象．版权所有 【分析】由y＝nx经过二、四象限，y＝kx与y＝mx经过一、三象限，可知n＜0，k＞0，m＞0；再由当x＝1时，y＝kx的图象在y＝mx的上方，即可判断k与m的大小． 【解答】解：∵正比例函数y＝nx经过二、四象限，y＝kx与y＝mx经过一、三象限， ∴n＜0，k＞0，m＞0． 又∵y＝kx经过（1，k），y＝mx经过（1，m）， 当x＞0时，y＝kx的图象在y＝mx的上方， ∴k＞m， 故答案为：k＞m＞n． 【点评】本题考查了正比例函数图象及性质，掌握正比例函数的性质是解题关键． 2．正比例函数与x轴正半轴所夹的角为　60　 °． 【考点】正比例函数的性质．版权所有 【分析】取正比例函数上位于第四象限内一个点，过点作x轴的垂线，交x轴于点B（1，0），∠BOA即为正比例函数与x轴正半轴所夹的角，根据，OA＝2OB，可得∠OAB＝30°，即可求得答案． 【解答】解：如图， 取正比例函数图象上位于第四象限内的一个点，过点A作x轴的垂线，交x轴于点B， 则B（1，0）， ∴∠BOA即为正比例函数与x轴正半轴所夹的角． ∴． ∴OA＝2OB． ∴∠OAB＝30°， ∴∠BOA＝90°﹣∠OAB＝60°． 故答案为：60． 【点评】本题主要考查一次函数的图象和性质，含30度角的直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键． 3．已知，且y是关于x的正比例函数． （1）求y与x的函数关系式； （2）若x≤2，求函数y的最小值． 【考点】正比例函数的性质；正比例函数的定义．版权所有 【分析】（1）根据正比例函数定义求出k值即可； （2）根据正比例函数性质解答出最小值即可． 【解答】解：（1）∵，且y是关于x的正比例函数， ∴k2﹣3＝1，k≠2， ∴k＝﹣2， ∴y＝﹣4x， （2）∵y＝﹣4x中k＝﹣4＜0，y随x的增大而减小，且x≤2， ∴当x＝2时，函数有最小值，最小值为y＝﹣8． 【点评】本题考查了正比例函数的定义和性质，熟练掌握该知识点是关键． 4．已知直线y＝kx+b（k≠0）经过第一、三、四象限，那么直线y＝﹣kx﹣b（k≠0）经过第　一、二、四　 象限． 【考点】一次函数的性质．版权所有 【分析】根据k、b的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系进行判断即可得出答案． 【解答】解：由题意得，k＞0，b＜0， ∴﹣k＜0，﹣b＞0， ∴直线y＝﹣kx﹣b（k≠0）经过第一、二、四象限， 故答案为：一、二、四． 【点评】本题考查了一次函数的性质，熟知对于一次函数y＝kx+b（k≠0），当k＞0时，一次函数图象必过一、三象限；当k＜0时，一次函数图象必过二、四象限；当b＞0时，一次函数图象与y轴交于正半轴；当b＜0时，一次函数图象与y轴交于负半轴；或者说：当k＞0，b＞0时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当k＜0，b＜0时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键． 5．如图，函数y＝﹣2x和y＝kx+4的图象相交于点A（m，3），则关于x的不等式kx+4+2x≥0的解集为x≥﹣1.5　 ． 【考点】一次函数与一元一次不等式．版权所有 【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式kx+4+2x≥0的解集即可． 【解答】解：将点A（m，3）代入y＝﹣2x得，﹣2m＝3， 解得，m， 所以点A的坐标为（﹣1.5，3）， 由图可知，不等式kx+4+2x≥0的解集为x≥﹣1.5． 故答案为x≥﹣1.5． 【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．关键是求出A点坐标以及利用数形结合的思想． 6．若直线yx+2分别交x轴、y轴于A、C两点，点P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，且S△ABC＝6． （1）求点B和P的坐标． （2）过点B画出直线BQ∥AP，交y轴于点Q，并直接写出点Q的坐标． 【考点】一次函数的性质．版权所有 【分析】（1）先根据直线解析式求出点A、C的坐标，然后利用直线解析式设出点P的坐标为（a，a+2），即可得到点B的坐标（a，0），然后根据△ABC的面积列式求出a的值，从而得解； （2）根据平行直线的解析式的k值相等写出直线BQ的解析式，令x＝0，求解即可得到点Q的坐标． 【解答】解：（1）y＝0时，x+2＝0，解得x＝﹣4， x＝0时，y＝2， 所以，A（﹣4，0），C（0，2）， 由题意，设点P的坐标为（a，a+2），且a＞0， ∵PB⊥x轴， ∴B（a，0）， ∴AB＝a+4， ∵S△ABC＝6， ∴（a+4）×2＝6， 解得a＝2， ∴B（2，0），P（2，3）； （2）直线PQ如图所示， ∵BQ∥AP，点B（2，0）， ∴直线BQ的解析式为yx﹣1， 令x＝0，则y＝﹣1， 所以，点Q的坐标为（0，﹣1）． 【点评】本题考查了一次函数的性质，主要利用了直线与坐标轴的交点的求解方法，点在一次函数图象上的特征，利用直线解析式设出点P的坐标，然后根据三角形的面积列式求解释解题的关键． 7．已知函数y1x和y2＝2x﹣1． （1）在同一个平面直角坐标系中画出这两个函数的图象； （2）根据图象，写出它们的交点坐标； （3）根据图象，试说明当x取什么值时，y1＞y2？ 【考点】一次函数的图象．版权所有 【分析】（1）分别令x＝0求出y的值，再令y＝0求出x的值，再分别描出此两点，画出函数图象即可； （2）由两函数图象的交点可直接写出交点坐标； （3）根据y1在y2的上方时x的取值范围即可解答． 【解答】解：（1）如图所示： （2）由（1）中两函数图象可知，其交点坐标为（1，1）； （3）由（1）中两函数图象可知，当x＜1时，y1＞y2． 【点评】此题比较简单，考查的是用数形结合的思想求函数自变量的取值范围，只要正确作出函数的图象即可解答． 8．某书报亭开设两种租书方式：一种是零星租书，每册收费1元；另一种是会员卡租书，办卡费每月12元，租书费每册0.4元．小军经常来该店租书，若每月租书数量为x册． （1）写出零星租书方式应付金额y1（元）与租书数量x（册）之间的函数关系式； （2）写出会员卡租书方式应付金额y2（元）与租书数量x（册）之间的函数关系式； （3）小军选取哪种租书方式更合算？ 【考点】一次函数与一元一次不等式．版权所有 【分析】（1）因为零星租书每册收费1元，所以y1和x是相等的关系； （2）会员卡租书，每册是0.4元，x册的费用就是0.4x，加上办卡费12元，所以y2＝12+0.4x； （3）比较两种租书方式哪种花的费用最少就哪种方式更合算． 【解答】解：（1）∵零星租书每册收费1元， ∴应付金额与租书数量之间的函数关系式为：y1＝x； （2）∵在会员卡租书中，租书费每册0.4元，x册就是0.4x元，加上办卡费12元， ∴应付金额与租书数量之间的函数关系式为：y2＝0.4x+12； （3）当y1＝y2时，x＝12+0.4x，解得：x＝20 当y1＞y2时，x＞12+0.4x，解得x＞20 当y1＜y2时，x＜12+0.4x，解得x＜20 综上所述，当小军每月借书少于20册时，采用零星方式租书合算；当每月租书20册时，两种方式费用一样；当每月租书多于20册时，采用会员租书的方式更合算． 【点评】本题属于简单的经济应用题，题目不难，但需要细心不要将两种租书方式搞混了，在问题（3）当中需要通过解不等式来比较租书金额的大小，同学们应熟练掌握． 第 1 页 共 54 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 正比例函数与一次函数 (知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义 本节课主要针对第25章一次函数进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了正比例函数和一次函数相关概念、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。 ❤模块一 正比例函数 知识点一 正比例函数的概念 1.成正比例 如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例. 注意：两个变量成正比例,说明其中一个变量是另一个变量的函数.用式子表示两个变量x,y成正比例,就是或表示为，是不等于0的常数. 2.正比例函数 (1)函数解析式：形如的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数. (2)特征： ①比例系数; ②自变量的次数是1; ③等号右边是常数与自变量的乘积; ④正比例函数的定义域是一切实数. 知识点二 正比例函数的图像 1.函数y=f(x)的图像 对于一个函数,如果一个图形(包括直线、曲线或其他图形)上任意一点的坐标都满足函数关系式,同时以这个函数解析式所确定的与的任意一组对应值为坐标的点都在图形上,那么这个图形叫做函数图像. 注意：函数的图像应满足两个条件: (1)函数图像上的任意一点中的,必满足函数解析式; (2)满足函数解析式的任意一对,的值，作为横坐标和纵坐标的点必在这个函数的图像上.二者缺一不可. 2.正比例函数的图像 一般地，正比例函数的图像是经过原点和点的一条直线.我们把正比例函数的图像叫做直线. 注意：因为两点确定一条直线，今后画函数图像，可以用原点和点这两个点进行“两点作图法” 3.画正比例函数图像的一般步骤 ①列表（正比例函数一般用两点法，复杂函数可用五点法或者其他） ②描点 ③连线（正比例函数一般情况是直线，如果遇到实际问题限定，可能是“线段”、“离散的点”等等） 知识点三 正比例函数的性质 1.当时,正比例函数的图像经过第一、三象限，自变量的值逐渐增大时,的值也随着逐渐增大.（也可以说随的增大而增大或者说随的减小而减小） 2.当时，正比例函数的图像经过第二、四象限，自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐减小.（也可以说随的增大而减小或者说随的减小而增大） 注意： (1)当时，正比例函数的图像从左向右呈上升趋势;当 时,正比例函数的图像从左向右呈下降趋势 (2)正比例函数中,越大,直线越靠近轴，越小,直线越远离轴 一．正比例函数的概念（共6小题） 1．已知y＝（k﹣1）x+k2﹣1，若y是x的正比例函数，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0 2．下列各题中的y与x之间关系式中，y是x的正比例函数的是（　　） A．在时速为80km的匀速（速度不变）运动中，路程y（km）与时间x（h）之间的关系 B．圆柱的体积y（cm3）与它的底面半径x（cm）之间的关系 C．正方形的面积y（cm2）与它的边长x（cm）之间的关系 D．某车站规定旅客可以免费携带不超过20kg的行李，超过部分每千克收取2.5元的行李费用，则旅客需交的行李费y（元）与携带行李质量x（kg）（x＞20）之间的关系 3．下列说法中：①﹣a一定是负数；②|﹣a|一定是正数；③有理数不是整数就是分数；④绝对值等于它本身的数是非负数；⑤当速度一定时，时间与路程成正比例关系；⑥单项式的系数是，次数是2，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1是正比例函数，则m＝　 　 ． 5．已知y关于x的函数y＝4x+m﹣1． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若m＝9，求该函数图象与x轴的交点坐标． 6．阅读材料，回答问题：如果对于任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c（不妨设a≤b≤c）都在某个函数f（x）的定义域内，并且f（a），f（b），f（c）也能构成一个三角形，我们就称这样的函数f（x）为“保三角函数”． （1）试证明：任意一个比例系数大于零的正比例函数都是“保三角函数”． （2）试判断：f（x）是否是“保三角函数”？如果是，请给出证明：如果不是，请举出反例． （3）试判断：g（x）是否是“保三角函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例． 二．正比例函数的图象（共6小题） 7．正比例函数y＝﹣x的图象是（　　） A． B． C． D． 8．下列判断中不正确的是（　　） A．正方形的对角线互相垂直平分 B．正比例函数的图象是一条直线 C．菱形的四条边都相等 D．矩形的对角线互相垂直 9．定期举办汽车拉力赛可促进数学建模在车辆动力学优化中的应用，推动汽车运动技术革新．若某选手在比赛中驾驶汽车匀速行驶，其行驶的路程s（米）与时间t（小时）的关系，可以用以下哪个图象表示（　　） A． B． C． D． 10．如图，三个函数图象分别对应的表达式是：①y1＝ax；②y2＝bx；③y3＝cx．则a，b，c的大小关系是 　 　 ． 11．已知函数y＝x；y＝﹣2x．yx，y＝3x． （1）在同一坐标系内画出函数的图象． （2）探索发现： 观察这些函数的图象可以发现，随|k|的增大直线与y轴的位置关系有何变化？ （3）灵活运用 已知正比例函数y1＝k1x；y2＝k2x在同一坐标系中的图象如图所示，则k1与k2的大小关系为　 　 ． 12．在同一直角坐标系内画出下列函数图象． （1）y＝4x； （2）； （3）； （4）． 三．正比例函数的性质（共8小题） 13．某油箱容量为50L的汽车，加满汽油后开了200km时，油箱中的汽油大约消耗了四分之一，如果加满汽油后汽车行驶的路程为xkm，油箱中的剩油量为yL，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（　　） A．y＝0.0625x，x＞0 B．y＝50﹣0.0625x，x＞0 C．y＝0.0625x，0≤x≤800 D．y＝50﹣0.0625x，0≤x≤800 14．节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买y度电，若平均每天用电x度，则能使用30天．下列说法错误的是（　　） A．若x＝5，则y＝150 B．若y＝210，则x＝7 C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍 15．已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），如果y的值随x的值增大而减小，那么该正比例函数的图象经过第 　 　 象限． 16．已知正比例函数y＝kx的图象与x轴所成的锐角为45°，则k的值为　 　 ． 17．若关于y的不等式组有解且最多有3个整数解，且关于x的正比例函数y＝（a+2）x，在自变量取值范围内y随x增大而增大，则满足条件的所有整数a的和为　 　 ． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x，y轴的正半轴上，始终保持AB＝8，以AB为边向右上方作正方形ABCD，AC，BD交于点P，连接OP，下列结论正确的是 　 　 ．（请填写序号） ①直线OP的函数表达式为y＝x； ②OP的取值范围是； ③若，则B点的坐标为； ④连接OD，则OD的最大值为． 19．已知直线y1＝x，y2＝﹣x+b，y3＝2x﹣b（b＞0），若无论x取何值，y总取y1，y2，y3的最小值，则当x＝　 　 时，y的值最大．（用含b的代数式表示） 20．已知函数y＝（m﹣1）x是正比例函数． （1）若函数关系式中y随x的增大而减小，求m的值； （2）若函数的图象过第一、三象限，求m的值． ❤模块二：一次函数 知识点一 一次函数的概念 1.一般地，解析式形如（，是常数，且）的函数叫做一次函数； 2.一次函数的定义域是一切实数； 3.当时，解析式就成为（是常数，且）这时，y是x 的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例； 4.一般地，我们把函数（为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问 题确定． 知识点二 一次函数的图像 1.一次函数的图像： 一般地，一次函数（，是常数，且）的图像是一条直线．一次函数的图像也称为直线，这时，我们把一次函数的解析式称为这一直线的表达式． 画一次函数的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线． 2.一次函数的截距： 一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距， 一般地，直线（）与y轴的交点坐标是，直线（）的截距是b． 3.一次函数图像的平移： 一般地，一次函数（）的图像可由正比例函数的图像平移得到．当时，向上平移个单位；当时，向下平移个单位． （函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”） 4.直线位置关系： 如果，那么直线与直线平行． 反过来，如果直线与直线平行，那么，． 知识点三 一次函数的性质 1.一次函数的增减性： 一般地，一次函数（为常数，）具有以下性质： 当时，函数值随自变量的值增大而增大，图像为上升； 当时，函数值随自变量的值增大而减小，图像为下降． 2.一次函数图像的位置情况： 直线（，）过且与直线平行，由直线在平面直角坐标系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得） 当，且时，直线经过一、二、三象限； 当，且时，直线经过一、三、四象限； 当，且时，直线经过一、二、四象限； 当，且时，直线经过二、三、四象限． 四．一次函数的概念（共3小题） 21．关于x的函数是一次函数，则m的值为　 　 ． 22．下列说法正确的是　 　 ．（填序号） ①正比例函数一定是一次函数； ②一次函数一定是正比例函数； ③若y﹣1与x成正比例，则y是x的一次函数； ④若y＝kx+b，则y是x的一次函数． 23．下列函数关系式中①y＝2x2﹣1﹣2x（x+1）；②y＝2x2+1；③y＝2x﹣1；④；⑤y＝﹣x；是一次函数的个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 五．一次函数的图像（共6小题） 24．平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a，b是不等于0的常数）的图象如图所示，则y＝bx+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 25．在同一坐标系中，一次函数y1＝ax+b和y2＝abx﹣b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 26．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d（a，b，c，d为常数，a≠0，c≠0）的图象如图所示，若a﹣c＝m（b﹣d），则m＝　 　 ． 27．在平面直角坐标系中，已知A、B、C、D四点的坐标依次为（0，0）、（6，0）、（8，6）、（2，6），若一次函数y＝m（x﹣6）的图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分，则m的值为 　 　 ． 28．某单位准备和甲乙两个出租公司中的一家签订租车合同，设汽车每月行驶x千米，每月应付给甲公司的费用为y1元，付给乙公司的费用为y2元，y1、y2与x的关系如图，若该单位每月行驶的路程为4000km，为了使费用较少，则应选择 　 　 公司（填“甲”或“乙”）． 29．已知，一次函数y＝﹣2x+4的图象分别与x轴，y轴交于点A，B． （1）请直接写出A，B两点坐标：A：　 　 ，B：　 　 ； （2）在直角坐标系中画出函数图象（不用列表，直接描点、连线）； （3）点P是一次函数y＝﹣2x+4上一动点，则OP的最小值为 　 　 ． 六．一次函数的性质（共10小题） 30．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则函数y＝﹣kx+b的图象一定不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 31．若一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，则一次函数y＝﹣bx+k的图象是（　　） A． B． C． D． 32．对于一次函数y＝3x﹣2，下列说法错误的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．图象经过第二、三、四象限 C．图象与正比例函数y＝3x的图象平行 D．点M（﹣2，y1），N（1，y2）都在直线y＝3x﹣2上，则y1＜y2 33．在一次函数y＝﹣3x+3的图象上有P（3，y1）和Q（5，y2）两点，则y1　 　 y2． 34．平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线y＝kx﹣2k+2（k＜0）与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则k的取值范围是　 　 ． 35．一次函数y＝﹣2x+3，当x满足﹣2≤x≤5时，y的最大值是　 　 ． 36．一次函数y1＝k1x+b，y2＝k2x+b与y3＝k3x+b的图象如图所示，k1，k2，k3的大小关系是 　 　 ．（用“＜”连接） 37．已知一次函数y＝（m﹣2）x+m+3的图象不经过第三象限，且m为正整数． （1）求m的值． （2）在给出的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象． （3）当y＜0时，根据函数图象，写出x的取值范围． 38．学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数y＝|x|﹣2的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． （1）列表：y与x的部分对应值如表，则a＝　 　 ，b＝　 　 ． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … a 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 b 1 … （2）描点、连线：根据表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数y＝|x|﹣2的图象； （3）结合图象，写出一条函数y＝|x|﹣2的性质：　 　 ． （4）根据函数图象填空： ①方程|x|﹣2＝1有　 　 个解； ②若关于x的方程|x|﹣2＝m无解，则m的取值范围是　 　 ； ③若关于x的方程|x|﹣2＝ax+1有两个不相等的实数解，直接写出实数a的取值范围． 39．已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． （1）当m＝﹣2时，若点D（3，n）在图象G上，求n的值； （2）当m＝2时，求函数的最大值； （3）已知点，，当图象G与线段AB只有一个公共点时，直接写出m的取值范围． 七．一次函数、一次方程与一次不等式（共9小题） 40．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与一次函数y＝﹣x﹣2交于点P（﹣1，m），则关于x、y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 41．如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象经过点（﹣1，0）和（0，2），则关于x的方程kx+b＝0的解是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．y＝2 42．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，甲乙两位同学给出的下列结论： 甲说：方程kx+b＝x+a的解是x＝3； 乙说：当x＜3时，y1＜y2． 其中正确的结论有（　　） A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲乙都正确 D．甲乙都错误 43．若一次函数y＝kx+b的图象与的图象相交于点M（3，m），则关于x，y的方程组的解是　 　 ． 44．如图，若一次函数y＝kx+3与正比例函数y＝2x的图象交于点（1，m），则方程组的解为　 　 ． 45．如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n的图象交于（2，﹣1），则关于x，y的方程组的解为　 　 ． 46．已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）． （1）若此一次函数的图象经过A（1，2），B（2，5）两点，求k的值． （2）若k+b＜0，点P（2，a）（a＞0）在该一次函数图象上，求证：k＞0． 47．在直角坐标系中，点A（m，0）在函数y1＝ax+2a﹣1（a≠0）的图象上． （1）若m＝3，求a的值； （2）函数y1的图象恒过定点，请直接写出该定点坐标； （3）若a，设函数y2x，当a＜0，y1＜y2时，求x的取值范围． 48．阅读材料，解答问题． 例：若代数式的值是常数2，求a的取值范围． 分析：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|，因为|a﹣2|表示数a在数轴上的点到数2在数轴上的点的距离，|a﹣4|表示数a在数轴上的点到数4在数轴上的点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析． 解：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|．在数轴上看，应分三种情况讨论： ①当a＜2时，原式＝2﹣a+4﹣a＝6﹣2a； ②当2≤a≤4时，原式＝a﹣2+4﹣a＝2； ③当a＞4时，原式＝a﹣2+a﹣4＝2a﹣6． 通过分析可得a的取值范围应是2≤a≤4． （1）此例题的解答过程中用了哪些数学思想？ （2）化简：； （3）画出函数的图象； （4）由图象解方程；（直接写出答案即可） （5）由图象解不等式．（直接写出答案即可） 1．已知正比例函数的图象经过第一、三象限，则m的值为 　 　 ． 2．如图，一次函数y＝x+2与y＝ax+6（a≠0）的图象相交于点P，那么关于x的方程x+2＝ax+6的解为　 　 ． 3．已知函数y＝mx+4（m为常数），当﹣3≤x≤2时，y的最大值为6，则m的值为　 　 ． 4．已知关于x的方程mx﹣2＝3x+n有无数个解． （1）求出m、n的值． （2）求一次函数y＝mx+n与坐标轴围成的三角形的面积． 1．正比例函数y＝kx，y＝mx，y＝nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则比例系数k、m、n的大小关系是 　 　 （用“＞”号连接）． 2．正比例函数与x轴正半轴所夹的角为　 　 °． 3．已知，且y是关于x的正比例函数． （1）求y与x的函数关系式； （2）若x≤2，求函数y的最小值． 4．已知直线y＝kx+b（k≠0）经过第一、三、四象限，那么直线y＝﹣kx﹣b（k≠0）经过第　 　 象限． 5．如图，函数y＝﹣2x和y＝kx+4的图象相交于点A（m，3），则关于x的不等式kx+4+2x≥0的解集为　 　 ． 6．若直线yx+2分别交x轴、y轴于A、C两点，点P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，且S△ABC＝6． （1）求点B和P的坐标． （2）过点B画出直线BQ∥AP，交y轴于点Q，并直接写出点Q的坐标． 7．已知函数y1x和y2＝2x﹣1． （1）在同一个平面直角坐标系中画出这两个函数的图象； （2）根据图象，写出它们的交点坐标； （3）根据图象，试说明当x取什么值时，y1＞y2？ 8．某书报亭开设两种租书方式：一种是零星租书，每册收费1元；另一种是会员卡租书，办卡费每月12元，租书费每册0.4元．小军经常来该店租书，若每月租书数量为x册． （1）写出零星租书方式应付金额y1（元）与租书数量x（册）之间的函数关系式； （2）写出会员卡租书方式应付金额y2（元）与租书数量x（册）之间的函数关系式； （3）小军选取哪种租书方式更合算？ 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $