第一章 三角形的证明 单元评价 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

 第一章 三角形的证明 评价 一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1.有一个缺角的△ABC残片，量得∠A＝53°，∠B＝62°，则此三角形残缺的部分为（　B　） A. B. C. D. 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝5，AB＝13，则BC的长是（　C　） A.25 B.144 C.12 D.15 第2题图　　　 3.清明节当天八年级某班组织学生去烈士陵园为革命先烈扫墓，以此表达对先烈的追思和崇敬之情，细心的小明发现革命烈士纪念塔的塔底平面为八边形，这个八边形的内角和为（　C　） A.720° B.900° C.1 080° D.1 440° 4.如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆DE⊥BC.工程人员这种操作方法的依据是（　B　） 第4题图　　　 A.等角对等边 B.等腰三角形三线合一的性质 C.两点之间线段最短 D.垂线段最短 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC，用反证法证明时，第一步应假设（　B　） 第5题图　　　 A.AB≠AC B.PB＝PC C.∠APB＝∠APC D.∠PBC≠∠PCB 6.图1是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为（　C　） 第6题图 A.270° B.300° C.360° D.400° 7.老师在黑板上画出了如图所示的4个三角形，则下列判断正确的是（　C　） A.①不是等腰三角形 B.只有②是直角三角形 C.③是等边三角形 D.只有④是直角三角形 8.如图，∠AOB＝70°，在OA上取点C，以点C为圆心，CO长为半径画弧交OB于点D，连接CD；以点D为圆心，DC长为半径画弧交OB于点E，连接CE，则∠DCE的度数为（　D　）A.20° B.25° C.30° D.35° 第8题图　 9.小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度.将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1.2米，则适合小华的绳长为（　C　） 第9题图 A.2.2米 B.2.4米 C.2.6米 D.2.8米 10.如图，∠ABC的平分线BF，与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，过点F作DF∥BC交AB于点D，交AC于点E.若BD＝8，CE＝6，则DE的长为（　C　） 第10题图　 A.4 B.2.5 C.2 D.1.5 11.如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠B＝120°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AB的垂直平分线FH交AB于点F，交AC于点H.若CE＝3，则AH的长度是（　B　） 第11题图 A.4 B.6 C.7 D.8 12.如图，已知∠AOB＝120°，点D是∠AOB的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线OA和射线OB上，且∠EDF＝60°，下列结论：①△DEF是等边三角形；②四边形DEOF的面积是一个定值；③当DE⊥OA时，△DEF的周长最小；④当DE∥OB时，∠DFB＝60°.其中正确的个数是（　D　） A.1 B.2 C.3 D.4 第12题图　　 二、填空题（每小题4分，共16分） 13.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是　如果一个三角形中两条边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形　，这个逆命题是　真　命题. 14.如图，点E，C在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D＝90°，请添加一个条件：　DE＝AC（答案不唯一）　，使Rt△ABC≌Rt△DFE. 第14题图　　 15.如图，△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O.若点O到BC的距离为3.5，AB＝4，则△ABO的面积为　7　. 第15题图　　 16.如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E分别为AB，AC边上的动点，且总满足AD＝CE，则BE＋CD的最小值为　4　. 第16题图 三、解答题（本大题共9个小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（10分）如图，点D在AB上，点E在AC上，BE，CD相交于点O. （1）若∠A＝50°，∠BOD＝70°，∠C＝25°，求∠B的度数； （2）试猜想∠BOC与∠A＋∠B＋∠C之间的关系，并证明你的猜想. 解：（1）∵∠A＝50°，∠C＝25°， ∴∠BDO＝∠A＋∠C＝75°. ∴∠B＝180°－∠BDO－∠BOD＝180°－75°－70°＝35°. （2）猜想：∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C，证明： ∵∠BDO＝∠A＋∠C，∠BOC＝∠BDO＋∠B， ∴∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C. 18.（10分）已知正x边形的内角和为1 080°，边长为2. （1）求正x边形的周长； （2）若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小63°，求n的值. 解：（1）由题意，得180°×（x－2）＝1 080°，解得x＝8. ∴正x边形的周长为8×2＝16. （2）∵正x边形每个内角的度数为1080°÷8＝135°， ∴正n边形的每个外角的度数为135°－63°＝72°. ∵360°÷72°＝5， ∴n的值为5. 19.（10分）如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB.求证：OB＝OC. 证明：∵∠A＝∠D＝90°， ∴△BAC和△CDB为直角三角形. 在Rt△BAC和Rt△CDB中， ∴Rt△BAC≌Rt△CDB（HL）. ∴∠ACB＝∠DBC. ∴∠OCB＝∠OBC.∴OB＝OC. 20.（10分）如图，已知E是∠AFB的平分线上一点，EC⊥FA，ED⊥FB，垂足分别为C，D. 求证：FE是CD的垂直平分线. 证明：由题意，得ED＝EC， ∠DFE＝∠CFE， ∠FDE＝∠FCE＝90°， ∴△FDE≌△FCE（AAS）. ∴FD＝FC. 又∵ED＝EC， ∴FE是CD的垂直平分线. 21.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC的垂直平分线交AC于点M，交AB于点N. （1）尺规作图：过点C作AB的垂线，交AB于点H（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接NC，求证：△BCN为等边三角形. 解：（1）如图所示. （2）证明：由条件可知∠B＝60°， ∴AN＝CN. ∴∠ACN＝∠A＝30°. ∴∠BCN＝∠ACB－∠ACN＝60°. ∴∠CNB＝180°－∠B－∠BCN＝60°. ∴△BCN为等边三角形. 22.（12分）如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.F，G分别是OA，OB上的点，PF＝PG，DF＝EG. （1）求证：OC是∠AOB的平分线； （2）若∠AOB＝30°，PF＝2，PF∥OB.求PE的长. 解：（1）证明：在Rt△PDF和Rt△PEG中，∵ ∴Rt△PDF≌Rt△PEG（HL）.∴PE＝PD. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴OC是∠AOB的平分线. （2）∵OC平分∠AOB，∠AOB＝30°， ∴∠AOC＝∠BOC＝15°. ∵PF∥OB，∴∠OPF＝∠BOC＝15°.∴∠PFD＝30°. ∵PD⊥OA，PF＝2，∴PD＝. ∵PE＝PD，∴PE＝. 23.（12分）我们知道“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”是真命题.小明同学提出：把这个命题的条件和结论互换得到“在直角三角形中，如果一个锐角所对的直角边等于斜边的一半，那么这个锐角等于30°”也是真命题，并在（1）中给出已知和求证，请你给出证明. （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AB.求证：∠BAC＝30°； （2）如图2，某货轮由西向东航行，在A处测得小岛P的方向是北偏东x°，又继续航行8海里后，在B处测得小岛P的方向是北偏东y°，此时小岛P到B处的距离为8海里，到航线AB的距离为4海里，求x和y的值. 解：（1）证明：延长BC到点D，使得CD＝BC，则BD＝2BC＝AB. ∵∠ACB＝90°，∴AC是BC的垂直平分线. ∴AD＝AB.∴AD＝AB＝DB. ∴△ABD是等边三角形. ∴∠DAB＝60°，AC平分∠BAD.∴∠BAC＝30°. （2）过点P作PC⊥AB于点C，则∠ACP＝90°. 由题意，得AB＝BP＝8，PC＝4. ∴BP＝2PC，∠PAB＝∠APB.∴∠PBC＝30°. ∴y＝60，∠PAB＝×30°＝15°，∴x＝75. 24.（12分）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最大边的长.当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2与c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）. （1）当△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为　锐角　三角形；当△ABC的三边长分别为6，8，11时，△ABC为　钝角　三角形； （2）猜想：当a2＋b2　＞　c2时，△ABC为锐角三角形：当a2＋b2　＜　c2时，△ABC为钝角三角形； （3）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，试判断△ABC的形状，过点B作BD⊥AC于点D，求AD的长. 解：（3）∵AB2＋AC2＝22＋32＝13，BC2＝42＝16， 即13＜16， ∴AB2＋AC2＜BC2，即△ABC是钝角三角形，如图. ∵BD⊥AC， ∴∠D＝90°. 由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，BD2＋CD2＝BC2， ∴BD2＝AB2－AD2，BD2＝BC2－CD2， 即AB2－AD2＝BC2－（AC＋AD）2. ∴22－AD2＝42－（3＋AD）2， 解得AD＝. 25.（12分）小红学习完平行线的证明后，对三角形的内角和定理及外角进行了如下探究： 【问题解决】 （1）如图1，BD平分∠ABC，E是AB上任意一点，过点E作EF∥BC，交BD于点F，请直线写出一个与∠1相等的角； 【拓展延伸】 （2）如图2，在（1）的条件下，G为BC上一点，连接FG，且∠BGF＝2∠1，求证：EF＝FG； 【操作探究】 （3）如图3，∠ABC为锐角，射线BD在∠ABC内部，∠ABD＝2∠DBC，E是AB边上任意一点，以点E为圆心，EB的长为半径画弧，交射线BD于点F，以点F为圆心，EF的长为半径画弧，交射线BD于点M，连接EM.根据题意补全图形，并直接写出直线EM与BC的位置关系. 解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠1. ∵EF∥BC，∴∠BFE＝∠1. ∴与∠1相等的角是∠ABD或∠BFE. （2）证明：延长GF，交AB于点H， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠1. ∵∠BGF＝2∠1，∴∠BGF＝∠ABC.∴HB＝HG. ∵EF∥BC，∴∠HEF＝∠ABC，∠HFE＝∠BGF. ∴∠HEF＝∠HFE.∴HE＝HF. ∴HB－HE＝HG－HF，即BE＝FG. 由（1）得，∠ABD＝∠1，∠BFE＝∠1， ∴∠ABD＝∠BFE. ∴EF＝BE.∴EF＝FG. （3）①当点M在线段BF上时，补全图形如下： 延长EM，交BC于点G， 设∠DBC＝x，则∠ABD＝2x. ∵以点E为圆心，EB的长为半径画弧，交射线BD于点F， ∴EB＝EF. ∴∠EFB＝∠ABD＝2x. ∵以点F为圆心，EF的长为半径画弧，交射线BD于点M， ∴EF＝MF.∴∠FEM＝∠FME. ∵∠FEM＋∠FME＋∠EFB＝180°， ∴∠FME＝. ∴∠BMG＝∠FME＝90°－x. ∴∠EGC＝∠DBC＋∠BMG＝90°，∴EM⊥BC； ②当点M在射线FD上时，补全图形如下： ∵以点E为圆心，EB的长为半径画弧，交射线BD于点F， ∴EB＝EF， ∴∠EFB＝∠ABD. ∵以点F为圆心，EF的长为半径画弧，交射线BD于点M， ∴EF＝MF，∴∠FEM＝∠FME， ∵∠EFB＝∠FEM＋∠FME，∴∠EFB＝2∠FME， ∴∠ABD＝2∠FME， 又∵∠ABD＝2∠DBC，∴∠FME＝∠DBC.∴EM∥BC. 综上，当点M在线段BF上时，EM⊥BC；当点M在射线FD上时，EM∥BC. 学科网（北京）股份有限公司 $  第一章 三角形的证明 评价 一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1.有一个缺角的△ABC残片，量得∠A＝53°，∠B＝62°，则此三角形残缺的部分为（　 　） A. B. C. D. 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝5，AB＝13，则BC的长是（　 　） A.25 B.144 C.12 D.15 第2题图　　　 3.清明节当天八年级某班组织学生去烈士陵园为革命先烈扫墓，以此表达对先烈的追思和崇敬之情，细心的小明发现革命烈士纪念塔的塔底平面为八边形，这个八边形的内角和为（　 　） A.720° B.900° C.1 080° D.1 440° 4.如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆DE⊥BC.工程人员这种操作方法的依据是（　 　） 第4题图　　　 A.等角对等边 B.等腰三角形三线合一的性质 C.两点之间线段最短 D.垂线段最短 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC，用反证法证明时，第一步应假设（　 　） 第5题图　　　 A.AB≠AC B.PB＝PC C.∠APB＝∠APC D.∠PBC≠∠PCB 6.图1是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为（　 　） 第6题图 A.270° B.300° C.360° D.400° 7.老师在黑板上画出了如图所示的4个三角形，则下列判断正确的是（　 　） A.①不是等腰三角形 B.只有②是直角三角形 C.③是等边三角形 D.只有④是直角三角形 8.如图，∠AOB＝70°，在OA上取点C，以点C为圆心，CO长为半径画弧交OB于点D，连接CD；以点D为圆心，DC长为半径画弧交OB于点E，连接CE，则∠DCE的度数为（　 　）A.20° B.25° C.30° D.35° 第8题图　 9.小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度.将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1.2米，则适合小华的绳长为（　 　） 第9题图 A.2.2米 B.2.4米 C.2.6米 D.2.8米 10.如图，∠ABC的平分线BF，与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，过点F作DF∥BC交AB于点D，交AC于点E.若BD＝8，CE＝6，则DE的长为（　 　） 第10题图　 A.4 B.2.5 C.2 D.1.5 11.如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠B＝120°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AB的垂直平分线FH交AB于点F，交AC于点H.若CE＝3，则AH的长度是（　 　） 第11题图 A.4 B.6 C.7 D.8 12.如图，已知∠AOB＝120°，点D是∠AOB的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线OA和射线OB上，且∠EDF＝60°，下列结论：①△DEF是等边三角形；②四边形DEOF的面积是一个定值；③当DE⊥OA时，△DEF的周长最小；④当DE∥OB时，∠DFB＝60°.其中正确的个数是（　 　） A.1 B.2 C.3 D.4 第12题图　　 二、填空题（每小题4分，共16分） 13.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是 ，这个逆命题是 命题. 14.如图，点E，C在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D＝90°，请添加一个条件： ，使Rt△ABC≌Rt△DFE. 第14题图　　 15.如图，△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O.若点O到BC的距离为3.5，AB＝4，则△ABO的面积为 . 第15题图　　 16.如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E分别为AB，AC边上的动点，且总满足AD＝CE，则BE＋CD的最小值为 . 第16题图 三、解答题（本大题共9个小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（10分）如图，点D在AB上，点E在AC上，BE，CD相交于点O. （1）若∠A＝50°，∠BOD＝70°，∠C＝25°，求∠B的度数； （2）试猜想∠BOC与∠A＋∠B＋∠C之间的关系，并证明你的猜想. 18.（10分）已知正x边形的内角和为1 080°，边长为2. （1）求正x边形的周长； （2）若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小63°，求n的值. 19.（10分）如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB.求证：OB＝OC. 20.（10分）如图，已知E是∠AFB的平分线上一点，EC⊥FA，ED⊥FB，垂足分别为C，D. 求证：FE是CD的垂直平分线. 21.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC的垂直平分线交AC于点M，交AB于点N. （1）尺规作图：过点C作AB的垂线，交AB于点H（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接NC，求证：△BCN为等边三角形. 22.（12分）如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.F，G分别是OA，OB上的点，PF＝PG，DF＝EG. （1）求证：OC是∠AOB的平分线； （2）若∠AOB＝30°，PF＝2，PF∥OB.求PE的长. 23.（12分）我们知道“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”是真命题.小明同学提出：把这个命题的条件和结论互换得到“在直角三角形中，如果一个锐角所对的直角边等于斜边的一半，那么这个锐角等于30°”也是真命题，并在（1）中给出已知和求证，请你给出证明. （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AB.求证：∠BAC＝30°； （2）如图2，某货轮由西向东航行，在A处测得小岛P的方向是北偏东x°，又继续航行8海里后，在B处测得小岛P的方向是北偏东y°，此时小岛P到B处的距离为8海里，到航线AB的距离为4海里，求x和y的值. 24.（12分）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最大边的长.当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2与c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）. （1）当△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为 三角形；当△ABC的三边长分别为6，8，11时，△ABC为 三角形； （2）猜想：当a2＋b2 c2时，△ABC为锐角三角形：当a2＋b2 c2时，△ABC为钝角三角形； （3）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，试判断△ABC的形状，过点B作BD⊥AC于点D，求AD的长. 25.（12分）小红学习完平行线的证明后，对三角形的内角和定理及外角进行了如下探究： 【问题解决】 （1）如图1，BD平分∠ABC，E是AB上任意一点，过点E作EF∥BC，交BD于点F，请直线写出一个与∠1相等的角； 【拓展延伸】 （2）如图2，在（1）的条件下，G为BC上一点，连接FG，且∠BGF＝2∠1，求证：EF＝FG； 【操作探究】 （3）如图3，∠ABC为锐角，射线BD在∠ABC内部，∠ABD＝2∠DBC，E是AB边上任意一点，以点E为圆心，EB的长为半径画弧，交射线BD于点F，以点F为圆心，EF的长为半径画弧，交射线BD于点M，连接EM.根据题意补全图形，并直接写出直线EM与BC的位置关系. 学科网（北京）股份有限公司 $