精品解析：广东省深圳市第二十二高级中学（中科附高）2025-2026学年高二1月月考数学试题

2025-2026学年第一学期12月阶段性质量监测试卷 高二数学 一、单选题 1. 抛物线的焦点是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知在等差数列中，，，则（ ） A. 12 B. 10 C. 6 D. 4 4. 为空间任意一点，点与共面，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 设O为坐标原点，长为4的线段的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，若点P满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（ ） A. 36 B. 3 C. 10 D. 7. 已知，是圆：上的两点，且，点为坐标原点，则最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知直线：，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 当时，关于轴的对称直线为 C. 点到直线的最大距离为 D. 直线一定经过第四象限 10. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ）. A. 异面直线与所成角为 B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 直线与平面所成角正切值的取值范围为 11. 已知抛物线的焦点为，为坐标原点，曲线交于点，，若，则（ ） A. B. C. 面积的最小值为1 D. 三、填空题 12. 设是椭圆的两个焦点，在椭圆上，且满足，则的面积是___________． 13. 记等差数列的前n项和为，若，，则______． 14. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为__________． 四、解答题 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线上，且与直线相切于坐标原点． （1）求圆M的标准方程； （2）经过点的直线被圆M截得的弦长为，求直线的方程． 16. 已知数列的前项和为，，，且. （1）证明：数列是等差数列. （2）求的通项公式. 17. 在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设点的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点且斜率为的直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 18. 如图，在三棱柱中，平面，已知，，，点是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 如图，圆是圆内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设曲线与轴从左到右的交点为点，点为曲线上异于的动点，设交直线于点，连结交曲线于点，直线的斜率分别为． （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期12月阶段性质量监测试卷 高二数学 一、单选题 1. 抛物线的焦点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据抛物线的焦点坐标的公式即可求解. 【详解】的焦点是, 故选：D 2. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令和的夹角为，根据投影向量的定义直接求解即可. 【详解】令和的夹角为， 则， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：C 3. 已知在等差数列中，，，则（ ） A. 12 B. 10 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，即可求解作答. 【详解】在等差数列中，，得，公差， 所以. 故选：C 4. 为空间任意一点，点与共面，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共面的性质，整理计算，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 因为点与共面， 所以，解得. 故选：D 5. 设O为坐标原点，长为4的线段的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，若点P满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，设，，，根据向量的坐标运算进行求解即可． 【详解】解：因为点分别在x轴、y轴上滑动， 设，，，因为， 所以，整理得， 因为，， 所以，因为， 所以，解得， 又，所以， 整理得，则点的轨迹方程为 故选：A. 6. 已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（ ） A. 36 B. 3 C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，可得两圆外切，进而求得，再借助动圆与圆有公共点，求出动圆半径的最小值即可. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 由圆恰有三条公共切线，得圆外切，则， 即，显然点在圆上，点在圆外， 令，则点在圆上， 因此圆与有公共点，则，， 即，解得，则， 所以的最小值为36. 故选：A 7. 已知，是圆：上的两点，且，点为坐标原点，则最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设为的中点，由取得的最小值即可求解. 【详解】已知、是圆：上的两点，且， 点为坐标原点，由于，即为， 故圆的圆心为，半径为2，设为的中点，则， 结合，得到，即点在以为圆心，半径为的圆上， 又，则， 而， 的最小值为， 则的最小值为. 故选：D 8. 已知双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的定义可得，又，可得，又当轴时最小，可得，即，可得，结合即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】由已知，设，则，， 两式相加得， 又，所以， 又，所以， 当轴时最小，此时，所以， 又，则，整理得， 又，两边除以得，解得， 又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率取值范围是. 故选：B. 二、多选题 9. 已知直线：，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 当时，关于轴的对称直线为 C. 点到直线的最大距离为 D. 直线一定经过第四象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】化简直线方程，联立方程组，可判定A正确；由直线，结合对称性和直线方程，可判定B正确；结合直线时，点到直线的距离最大，可判定C正确；根据直线不一定经过第四象限，可判定D错误. 【详解】对于A，由直线，可得， 联立方程组，解得，所以直线过定点，所以A正确； 对于B，当时，直线， 在直线上取两点，则点关于轴对称的点， 点关于轴对称的点， 所以关于轴对称直线为，即，所以B正确； 对于C，由A项知直线过定点， 则当直线时，点到直线的距离最大， 最大距离为，所以C正确； 对于D， 直线不一定经过第四象限，比如：当时，直线：不经过第四象限，所以D错误. 故选：ABC. 10. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ）. A. 异面直线与所成角为 B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 直线与平面所成角正切值的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：利用异面直线的夹角求解即可，选项B：应用线面垂直判定定理及性质判断.选项C：利用等体积法求解即可，选项D：利用空间直角坐标系使用代数法求解线面角的取值范围. 【详解】 对于A，因为正方体中，且为等边三角形，故异面直线与夹角为，故A正确； 对于C，因为平面，平面，所以平面 所以为定值，故C正确； 对于D，建立如图所示的直角坐标系，设正方体的棱长为1，设， ，，，，则， 所以， 由正方体的性质知：平面，平面， 平面， 故平面的法向量为， 对于B，不平行，所以平面不成立，B错误； 直线与平面所成角正弦值为， 因为，，所以当时取得最大值， 因，则，， 若或时，取得为，同法可得， 所以，则得，故D正确. 故选：ACD 11. 已知抛物线的焦点为，为坐标原点，曲线交于点，，若，则（ ） A. B. C. 面积的最小值为1 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，可判断A的真假；利用抛物线焦点弦的性质，可判断B的真假；利用三角形的面积公式，结合韦达定理，可判断C的真假；利用两点间的距离公式结合韦达定理，可判断D的真假. 【详解】如图： 选项A：由题意知，曲线过点，延长交抛物线于点， 由对称性可知点与点关于轴对称，则， 不妨设直线，则， 所以， ，，，故A正确； 选项B：，则，故B错误； 选项C：，则的最小值为1，故C正确； 选项D：， ，， ，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 设是椭圆的两个焦点，在椭圆上，且满足，则的面积是___________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意，得， 即，则， 即，所以的面积为. 点睛：本题考查椭圆的定义和余弦定理的应用；在处理椭圆或双曲线中涉及两个焦点问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义（定和或定差）进行处理，往往再结合正弦定理、余弦定理进行求解. 13. 记等差数列的前n项和为，若，，则______． 【答案】36 【解析】 【分析】列出的方程组，求出其值，再根据等差数列的前项和公式求出. 【详解】设等差数列的公差为，则由题意得，，， 得， 则. 故答案为： 14. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解. 【详解】不妨设为第一象限的点，为左焦点， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义可得， ，所以，， ，在△中，， 由余弦定理得， 化简得，即． 所以，从而， 当且仅当，且，即，时等号成立． 故答案为： 四、解答题 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线上，且与直线相切于坐标原点． （1）求圆M的标准方程； （2）经过点的直线被圆M截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设，然后根据条件求出圆心，进而可得半径，则圆M的标准方程可求； （2）检验直线的斜率存在，设出直线方程，然后利用垂径定理列方程求解. 【小问1详解】 圆M的圆心在直线上， 设， 则， 解得，即， 圆的半径为， 圆M的标准方程为； 【小问2详解】 经过点的直线被圆M截得的弦长为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时直线被圆M截得的弦长为，不符，舍去； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， ， 解得或， 直线的方程为或. 16. 已知数列的前项和为，，，且. （1）证明：数列是等差数列. （2）求的通项公式. 【答案】（1） 证明：将 两边同时除以，得，当 时， ， 所以 是以 1 为首项，为公差的等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）将 两边同时除以，得到，根据等差数列性质得到结果. （2）由（1）得，利用求出的通项公式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得 ，则，① 当 时，，② －②，得 ，整理得，则 ， 也符合 ，所以 ． 17. 在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设点的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点且斜率为的直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义求解. （2）设直线的方程为，直线方程代入双曲线方程后分类讨论结合直线与双曲线有且只有一个公共点，计算的值． 【小问1详解】 已知点，，， 则，由双曲线定义可知， 点的轨迹为焦点在轴上的双曲线， 实轴长为，焦距为，因为， 所以点的轨迹方程为； 【小问2详解】 过点且斜率为的直线方程为， 代入双曲线方程得： 当二次项系数为时，即，方程为，有唯一解， 此时直线平行于双曲线的渐近线，与双曲线相交于一点. 当二次项系数不为时，即，需判别式， 化简得，解得，此时直线与双曲线相切，有唯一公共点. 综上，实数的值为或. 18. 如图，在三棱柱中，平面，已知，，，点是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 底面中，已知，，， 由余弦定理得， 所以， 又平面，平面， 所以， 又平面， 所以平面； （2）； （3）存在，或，理由如下： 假设存在，不妨设，由（2）可知， 则， 设与平面所成角为， 则， 解之得或，即存在M符合题意，此时或. 【解析】 【分析】（1）证明即可判定线面垂直； （2）建立空间直角坐标系研究面面夹角即可； （3）利用空间向量研究线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知三直线两两垂直，可以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以， 设平面与平面的法向量分别为， 则有 及， 取，取， 即， 设平面与平面的夹角为，则； 【小问3详解】 略 19. 如图，圆是圆内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设曲线与轴从左到右的交点为点，点为曲线上异于的动点，设交直线于点，连结交曲线于点，直线的斜率分别为． （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】(1)根据椭圆的定义，可以判断出动点N的轨迹为椭圆，利用椭圆的定义求，从而求得轨迹方程. （2）（i）设，，，将分别用含式子表示，然后利用消去，最后即可得出定值； （ii）令直线PQ的方程为，与椭圆方程联立，应用韦达定理，借助（i）的结论，得到关于的方程，解方程即可求得的值，即定点坐标. 【小问1详解】 由题意可知，， 由椭圆定义可得，点N的轨迹是以E， F为焦点的椭圆， 且长轴长，焦距， 所以， 因此曲线C方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）设，，， 由题可知，，如下图所示， 则，， 而，于是， 所以， 又，则， 因此为定值； （ⅱ）由题意可知，直线PQ不可能与轴平行， 设直线PQ的方程为，，，知， 由，得， ，得 所以 由（i）可知，， 即， 将代入化简得，化简得解得舍或， 所以直线PQ的方程为， 因此直线PQ经过定点 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $