专题04一元一次不等式寒假预习讲义（1）(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年华东师大版七年级数学下册

专题04一元一次不等式寒假预习讲义（1） · 吃透不等式基础概念，会列简单不等式； · 掌握数轴表示解集的方法，圈点标向不出错； · 熟记不等式 3 条性质，突破乘除负数变号难点； · 能规范解一元一次不等式，会找整数解等特殊解； · 能把解不等式步骤和数轴结合，做到数形对应。 预习必备 知识点梳理 1.认识不等式 2.不等式的性质 3.解一元一次不等式 4.易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.不等式的定义 2.不等式的解集 3.不等式的性质 4.一元一次不等式的定义 5.一元一次不等式的解集求法 6.一元一次不等式的整数解求解 7.用数轴表示不等式的解集 8.一元一次不等式解的最值问题 9.|x|a型不等式的解法 10.如何列出一元一次不等式 11.一元一次不等式的实际应用 12.一元一次不等式的几何应用 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.认识不等式】 1. 不等式的定义 用不等号（>、<、≥、≤、≠）连接两个代数式，表示不等关系的式子，叫做不等式。 2.等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的一个值； 不等式的解集：使不等式成立的未知数的所有值的集合，解集可以用式子、文字或数轴表示。 3.解集的数轴表示（核心） 表示 **>、<：用空心圆圈 ** 标注分界点，射线向对应方向延伸； 表示 **≥、≤：用实心圆点 ** 标注分界点，射线向对应方向延伸。 4. 列不等式的步骤 (1)找不等关系关键词（如：多、少、不超过、不低于、至少、至多）； (2)设未知数； (3)用代数式表示相关量，结合不等号列出不等式。 【知识点02.不等式的性质】 1. 三大核心性质（重点 + 易错点） 性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变。 符号表示：若 a>b，则 a±c > b±c。 性质 2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 符号表示：若 a>b，c>0，则 ac > bc、​。 性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 符号表示：若 a>b，c<0，则 ac < bc、。 2. 不等式性质与等式性质的异同 相同点：两边同时加、减同一个数（或整式），等式 / 不等式仍成立； 不同点：等式两边乘、除同一个非零数，等式仍成立；不等式乘、除负数时，不等号方向必须改变（核心区别，易错）。 【知识点03.解一元一次不等式】 1. 一元一次不等式的定义 只含有一个未知数，且未知数的次数是 1，两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 标准形式：ax+b>0、ax+b<0、ax+b≥0、ax+b≤0（a≠0） 2. 解一元一次不等式的步骤（与一元一次方程解法类似，仅一处不同） (1)去分母：两边同乘各分母的最小公倍数，注意乘负数时变不等号方向； (2)去括号：遵循去括号法则，括号前是负号时括号内各项变号； (3)移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号（不等号方向不变）； (4)合并同类项：化为 ax>b（或 ax<b、ax≥b、ax≤b，a≠0）的形式； (5)系数化为 1：两边同除以 a，关键：a>0 时不等号方向不变，a<0 时必须改变不等号方向。 【知识点04.易错点总结】 1.去分母时，漏乘不含分母的项； 2.乘 / 除负数时，忘记改变不等号方向； 3.移项时不变号； 4.数轴表示解集时，混淆空心圈和实心点 【题型1.不等式的定义】 【典例】用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列不等式、非负数的概念（非负数即大于等于 0 的数）以及代数式的正确表示；解题的关键是准确拆解文字表述中的数量关系，先确定 “a 与 b 和的平方” 对应的代数式，再结合 “非负数” 的符号特征列出不等式． 先分析文字表述：“a 与 b 的和” 表示为，“和的平方” 即对整体平方，为；“非负数” 表示该式的值大于等于 0，即，由此组合得到对应的不等式，再与选项对比确定答案． 【详解】解：A、选项表示 “a 的平方与 b 的平方的和为非负数”，并非 “a 与 b 和的平方”，此选项不符合题意； B、选项表示 “a 与 b 和的平方为非负数”，与文字表述完全一致，此选项符合题意； C、选项表示 “a 的平方与 b 的平方的和为正数”，既不是 “和的平方” 也排除了非负数中的 0，此选项不符合题意； D、选项表示 “a 与 b 的和的平方为正数”，虽为 “和的平方” 但排除了非负数中的 0，此选项不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】一个数m的2倍与数n的差不小于5，写出这个不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查列不等式．理解题意，找出数量关系是解题关键．根据题意列出不等式即可． 【详解】解：根据题意可列不等式为：． 故答案为：． 【跟踪专练2】数学表达式①；②；③；④；⑤中不等式的个数是（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据不等式的定义（用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式）逐个判断即可得． 【详解】解：①，②；⑤都是不等式，共有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的定义，熟记不等式的定义是解题关键． 【题型2.不等式的解集】 【典例】请写出适合不等式的一组整数解 ． 【答案】（不唯一） 【分析】本题考查的是不等式的整数解，根据不等式的整数解的含义可得其中的一组整数解为． 【详解】解：不等式的一组整数解为， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】下列不等式的解集中，不包括的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集，依题意，结合每个选项的的解集进行判断，即可作答． 【详解】解：A、不包括，故该选项符合题意； B、包括，故该选项不符合题意； C、包括，故该选项不符合题意； D、包括，故该选项不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练2】已知是关于x，y的二元一次方程，则 （填“是”或“不是”）不等式的解． 【答案】不是 【分析】先根据二元一次方程的定义求出k值，从而得k+1的值，再把k+1代入不等式检验，即可求解． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴，解得：k=-5， ∴k+1=-5+1=-4， 把x=k+1=-4代入不等式左边得-4+2=-2, 把x=k+1=-4代入不等式右边得2×(-4)-1=-9, ∵-2>-9， ∴k+1不是不等式的解， 故答案为：不是． 【点睛】本题考查二元一次方程的定义，判定一个数是否是不等式的解，求出k值是解题的关键． 【题型2.不等式的性质】 【典例】若，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变这一性质．根据不等式的基本性质，由可直接推导出，而其他选项不一定成立，结合反例判断即可求解． 【详解】、由，可得，与选项矛盾，故选项不成立； 、由，可得，故选项成立； 、若，则和同号，但时可能异号（如，，则 ），故选项不一定成立； 、在不等式两边同时乘以，不等号的方向改变，得，与选项矛盾，不成立． 故选：． 【跟踪专练1】若，则6a 6b， ， （c≠0）．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 ＞ ＞ ＞ 【分析】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质，当不等式两边同时乘以或除以同一个正数时，不等号的方向不变． 【详解】解：，且， ； ，且， ； ， ， 又 故答案为：>；>；>． 【跟踪专练2】下列不等式的变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：A、若，则，故不符合题意； B、若，则，故不符合题意； C、若，则，故不符合题意； D、若，则， 若，则，与矛盾， 故，所以，符合题意． 故选：D． 【题型4.一元一次不等式的定义】 【典例】若是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义求参数，根据一元一次不等式的定义列式求解即可． 【详解】解：若是关于的一元一次不等式， ∴， 解得，， 故答案为：1 ． 【跟踪专练1】已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式的定义，解题关键是根据一元一次不等式的 “未知数次数为 1 且系数不为 0” 这两个条件列方程与不等式求解． 根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数必须为 1，且系数不为零得到关于的方程求解即可． 【详解】∵ 不等式是关于 x 的一元一次不等式， ∴ x 的指数 ，且系数 ， 解 ，得 ，即 或 ， 又 ∵ ，即 ， ∴． 故选A． 【跟踪专练2】已知是不等式的解，且不是这个不等式的解，则实数 a 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式，根据题意可得，，再分别解不等式即可求解． 【详解】解：∵是不等式的解， ∴把代入得，， 解得， 又∵不是这个不等式的解， 把代入得，， 解得， ∴实数 a 的取值范围是， 故答案为：． 【题型5.一元一次不等式的解集求法】 【典例】代数式的值大于1，则的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了解不等式． 根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：由题意可知， ∴， 只有D符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】已知为非零实数，若的解集为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，一元一次不等式的解集，解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 由不等式解集的形式判断的符号，再根据解集端点建立方程求解． 【详解】解：∵的解集为， ． 当时，解不等式，得． 又该不等式的解集为， ， 解得． 检验：符合题意， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知实数x、y同时满足三个条件：①；②；③，那么实数p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，把方程组中的两个方程相减可得，再由题意可得，则，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【题型6.一元一次不等式的整数解求解】 【典例】满足不等式的所有正整数解是 ． 【答案】1，2，3，4 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握一元一次不等式的整数解是解题的关键． 不等式的所有正整数解即为从1开始到4的所有正整数． 【详解】解：不等式表示小于或等于4，由于是正整数，因此的取值从1开始，依次为2，3，4， 故答案为 1，2，3，4． 【跟踪专练1】若关于x的不等式的正整数解只有1和2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的解求参数的取值范围等知识；解不等式得，根据解集只有正整数解1与2，即可求得的取值范围． 【详解】解：解，得：， ∵关于x的不等式的正整数解只有1和2， ∴， 解得：， 故选：B． 【跟踪专练2】当自然数 时，关于的方程的解是负数． 【答案】0，1，2 【分析】本题考查根据方程的解的情况求参数的范围，求一元一次不等式的非负整数解，先求出方程的解，根据解为非负数，得到关于的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵关于的方程的解是负数， ∴， ∴， ∴自然数0，1，2； 故答案为：0，1，2． 【题型7.用数轴表示不等式的解集】 【典例】不等式在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握相关知识是解决问题的关键． 利用数轴表示解集的方法判断即可． 【详解】解：根据大于方向向右，小于方向向左，有等号，数用实点覆盖，无等号，数用空心圆圈覆盖，选项C符合题意. 故选：C． 【跟踪专练1】若关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则 ． 【答案】1 【分析】直接利用已知不等式的解集得出关于a的等式，进而得出答案． 此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，正确得出关于a的等式是解题的关键． 【详解】解：，解集在数轴上为， ， 解得： 故答案为： 【跟踪专练2】关于的一元一次不等式的解集如图所示，且该不等式的负整数解有且只有四个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴表示解集、不等式的整数解、解不等式组等知识点，根据不等式的解集情况得到关于m的不等式组成为解题的关键． 根据不等该不等式的负整数解有且只有四个，可知这四个负整数解为；再根据数轴可得，进而得到关于m的不等式组求解即可． 【详解】解：∵该不等式的负整数解有且只有四个， ∴这四个负整数解为， 由数轴可知不等式解集为：， ∴，即． 故选：A． 【题型8.一元一次不等式解的最值分析】 【典例】关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式求出x的取值范围，再根据题意得出关于n的方程，求解即可． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次不等式正整数解的应用，理解正整数解的个数与不等式中参数取值范围的关系是关键．先确定满足“正整数解恰有两个”时正整数解的具体值，再据此分析实数的取值范围，从而求出的最大值． 【详解】解：∵正整数解恰有两个，而最小的正整数是， ∴这两个正整数解为和， 要使正整数解是和，那么要大于（如果，则的正整数解只有 ）； 同时不能大于（如果，则的正整数解会有，可能还有，不满足恰有两个正整数解）， ∴， ∴的最大值为． 故选：D． 【跟踪专练2】已知（是整数），则的值是 ． 【答案】或或或0或1或2或3 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，解不等式可得，再根据x是整数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵x是整数， ∴x的值是或或或0或1或2或3， 故答案为：或或或0或1或2或3． 【题型9.|x|】 【典例】不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围． 【详解】 解：①当，即时，原式可化为：， 解得：， ； ②当，即时，原式可化为：， 解得：， ， 综上，该不等式的解集是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键． 【跟踪专练1】若不等式无解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义和绝对值不等式，由对值的几何意义得表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为，即可求解；理解绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】解：表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为， 无解， ， 故选：D． 【跟踪专练2】有下列各数：①；②；③0；④5．其中能使不等式成立的为（   ） A．①②③ B．①③ C．①④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了解绝对值不等式，根据题意得出x的取值范围是解题的关键．先求解绝对值不等式，得出x的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， ∴能使不等式成立的为①；④5． 故选：C． 【题型10.如何列出一元一次不等式】 【典例】用不等式表示“的2倍与1的差大于5”： ． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式，根据题意，将文字描述中的“x的2倍”、“与1的差”和“大于5”转化为数学符号，形成不等式． 【详解】根据题意得，用不等式表示“的2倍与1的差大于5”：． 故答案为：． 【跟踪专练1】某超市花费2500元购进草莓100kg，销售中有10%的正常损耗．为避免亏本（其他费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价定为每千克x元，根据题意所列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 根据题意，草莓有损耗，实际销售量为，销售收入为元，为避免亏本，销售收入应不小于进货成本元，即可列出关于的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 【跟踪专练2】小颖沿着某公园的环形跑道（周长大于 ）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，她从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的里程数数据如图所示，当小颖跑了2圈时，她的运动里程数 （填“>” “=”或“<” ）． 【答案】< 【分析】本题考查表示不等关系．注意数形结合． 设环形道的周长为x，因为，由图可知，里程数为时，已超过一圈， 跑了2圈时还没有，即可求解． 【详解】解：设环形道的周长为x， 因为，由图可知，里程数为时，已超过一圈， 跑了2圈时还没有， 所以， 即当小颖跑了2圈时，她的运动里程数． 故答案为：<． 【题型11.一元一次不等式的实际应用】 【典例】一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前2天完成任务，以后几天平均每天至少完成的土方数为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 【答案】D 【分析】设以后几天平均每天至少完成的土方数为x方，根据题意，得，解不等式即可． 本题考查了不等式的应用。熟练掌握列不等式，解不等式是解题的关键． 【详解】解：设以后几天平均每天至少完成的土方数为x方， 根据题意，得， 解得． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，书架长102cm，在该书架上按图所示方式摆放数学书和语文书．已知每本数学书厚1.2cm，每本语文书厚1.5cm．若书架上已摆放30本语文书，设数学书摆放了本，则可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，掌握根据题意找出不等关系，正确表示两种书的总厚度是解题的关键． 先计算本语文书的总厚度，再表示出本数学书的总厚度，根据 两种书的总厚度不超过书架长度的条件，列出不等式． 【详解】解：本语文书的总厚度：， 本数学书的总厚度：， 总厚度不超过， 因此可列不等式：． 故答案为：． 【跟踪专练2】为加强茶园员工的专业知识储备，保障顾客在观光时能得到更好的专业服务，该观光茶园针对员工开展了一次茶叶知识竞赛．本次竞赛设置了25道选择题，答对1道得4分，答错或不答扣1分．若员工甲在这次竞赛中的得分不低于90分，则他至少要答对的题数是（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设答对题数为，则答错或不答题数为，根据得分规则列出不等式并求解． 【详解】解：设答对题数为，则答错或不答题数为， 依题意得：， 解得：， 故至少需答对题， 故选：D． 【题型12.一元一次不等式的几何应用】 【典例】中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，计算p的值，代入中，利用不等式求出它的最大值． 【详解】∵a=3，b+c=5， ∴p=； =4（bc-4）==9， 当且仅当b=c=2.5时取等号， ∴, ∴这个三角形的面积的最大值是3． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式和基本不等式的应用问题，也考查了运算求解能力，解题的关键是列出不等式． 【跟踪专练1】如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明到A站之间的距离，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，正确列出不等式是解此题的关键． 【详解】解：设小明到A站之间的距离， 由题意可得：， 解得：， ∴小明到A站之间的距离最大为， 故选：A． 【跟踪专练2】用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 1．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法与解集的数轴表示，掌握解一元一次不等式的步骤，以及系数为负时不等号方向改变是解题的关键． （1）（2）按照解一元一次不等式的步骤，先去分母，再依次进行去括号、移项、合并同类项，最后将系数化为，求出不等式的解集并把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 其解集在数轴上表示如图． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 其解集在数轴上表示如图． 2．先阅读下面的解题过程，然后解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵， ∴．第一步 故．第二步 (1)上述解题过程中，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是__________________________________________________________________． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变 (2)见解析 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟记不等式的性质是解本题的关键． （1）由题意，不等式两边乘以负数，不等号方向要发生改变，由此可进行判断； （2）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第一步开始出现错误；错误的原因是：不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：一，不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． （2）解：∵， ∴． ∴． 3．已知是关于x，y的二元一次方程的的解．    (1)求a的值． (2)若y的取值范围如图所示，求x的最小值． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）将代入二元一次方程的可得一个关于的方程，解方程即可得； （2）先求出，再根据数轴可得，从而可得，解一元一次不等式即可得． 【详解】（1）解：将代入二元一次方程的得：， 解得． （2）解：由（1）得：， 则， 由数轴得：， 则， 解得， 所以的最小值是0． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次不等式等知识点，熟练掌握不等式的解法是解题关键． 4．为增强学生爱护环境的责任感，学校举行环保知识竞赛（共有25道题），规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？ 【答案】小明至少答对了22道题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，审清题意、正确列出不等式是解题的关键． 设小明答对了x道题，则他答错和不答的共有道题，再根据题意列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：设小明答对了x道题，则他答错和不答的共有道题． 根据题意得：．           解得． 答：小明至少答对了22道题． 5．下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 【答案】时，成本最小为元 【分析】本题考查了不等式组的应用，由题意得，成本为，通过消元法得出的取值范围是解题关键． 【详解】解：依题意有， 即 得：， 得：，解得：， 成本为：， 当时，成本最小为元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题04一元一次不等式寒假预习讲义(1) 1 预习目标 吃透不等式基础概念，会列简单不等式： 掌握数轴表示解集的方法，圈点标向不出错： 熟记不等式3条性质，突破乘除负数变号难点； 能规范解一元一次不等式，会找整数解等特殊解； 能把解不等式步骤和数轴结合，做到数形对应。 预习内容概览 预习必备 1.认识不等式 2.不等式的性质 知识点梳理 3.解一元一次不等式 4.易错点总结 1.不等式的定义 2.不等式的解集 3.不等式的性质 4.一元一次不等式的定义 常考题型 5.一元一次不等式的解集求法 6.一元一次不等式的整数解求解 精讲精炼 7.用数轴表示不等式的解集 8 一元一次不等式解的最值问题 9.k≥a型不等式的解法 10.如何列出一元一次不等式 11.一元一次不等式的实际应用 12.一元一次不等式的几何应用 强化巩固 (解答题5题) 3 知识点梳理 【知识点01.认识不等式】 1.不等式的定义 用不等号（◇>、<、≥、≤、≠）连接两个代数式，表示不等关系的式子，叫做不 等式。 2.等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的一个值： 试卷第1页，共3页 不等式的解集：使不等式成立的未知数的所有值的集合，解集可以用式子、文字 或数轴表示。 3.解集的数轴表示（核心） 表示**>、<：用空心圆圈**标注分界点，射线向对应方向延伸： 表示*≥、≤：用实心圆点*标注分界点，射线向对应方向延伸。 一元一次不等式组 图示 解集 规律 (a<b) [x>a Ix>b x>b 同大取大 ab [x<a ☑ Ix<b x<a 同小取小 [x>a ☑ a<x<b x<b 大小小大中间跑 [x<a [x>b 无解 大大小小无处跑 4. 列不等式的步骤 (1)找不等关系关键词（如：多、少、不超过、不低于、至少、至多）； (2)设未知数： (3)用代数式表示相关量，结合不等号列出不等式。 【知识点02.不等式的性质】 1. 三大核心性质（重点+易错点） 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变。 符号表示：若a>b,则a±c>b士c。 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 符号表示：若a>b,c>0,则ac>bc、是>是。 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 试卷第1页，共3页 符号表示：若a>b,c<0,则ac〈bc、是<是。 不等式性质与等式性质的异同 相同点：两边同时加、减同一个数（或整式），等式/不等式仍成立； 不同点： 等式两边乘、除同一个非零数，等式仍成立；不等式乘、除负数时，不 等号方向必须改变（核心区别，易错）。 【知识点03.解一元一次不等式】 1. 一元一次不等式的定义 只含有一个未知数，且未知数的次数是1，两边都是整式的不等式，叫做一元一 次不等式。 标准形式：ax+b>0、ax+b<0、ax+b≥0、ax+b≤0(a≠0) 2。解一元一次不等式的步骤（与一元一次方程解法类似，仅一处不同） ()去分母： 两边同乘各分母的最小公倍数，注意乘负数时变不等号方向： 2)去括号：遵循去括号法则，括号前是负号时括号内各项变号： 3)移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号（不等号 方向不变)； (④合并同类项： 化为ax>b(或ax<b、ax②b、axb,a≠0)的形式： ⑤系数化为1： 两边同除以a,关键：a>0时不等号方向不变，a<0时必须改 变不等号方向。 【知识点04.易错点总结】 1.去分母时，漏乘不含分母的项； 2.乘/除负数时，忘记改变不等号方向： 3.移项时不变号； 4.数轴表示解集时，混淆空心圈和实心点 常考题型精讲精练 【题型1.不等式的定义】 【典例】用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为() A.a2+b2≥0 B.(a+b)2≥0 C.a2+b2>0 D.(a+b>0 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】一个数m的2倍与数n的差不小于5，写出这个不等式： 【跟踪专练2】数学表达式①-5<2；②4x+7>0;③x=5;④x2-y+y2；⑤ x-4>y+1中不等式的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型2.不等式的解集】 【典例】请写出适合不等式2x+y>3的一组整数解 【跟踪专练1】下列不等式的解集中，不包括-2025的是() A.x<-2026B.x≥-2025 C.x≤-2025 D.x2-2026 【跟踪专练2】已知(k-5)x4-2y=1是关于x,y的二元一次方程，则k+1 (填“是” 或“不是”)不等式x+2<2x-1的解. 【题型2.不等式的性质】 【典例】若a<b,则下列各式中一定成立的是() A.a-b>0 B.a-b<0 C.ab>0 D.-a<-b 【跟踪专练1】若a>b,则60—6,5 a b 5，ac2 bc2(c0).(填 “>”“<”或“=”) 【跟踪专练2】下列不等式的变形正确的是（) A.若a<b,则ac<bc B.若x>y,则x>上 mm C.若a>b,则ac2>bc2 D.若ac2+d>bc2+d,则a>b 【题型4.一元一次不等式的定义】 【典例】若(k+1)x+2>0是关于x的一元一次不等式，则k= 【跟踪专练1】已知m+4)x3+6>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为() A.4 B.±4 C.3 D.3 【跟踪专练2】已知x=1是不等式ar-3a+2≤0的解，且x=2不是这个不等式的解，则实 数a的取值范围是 【题型5.一元一次不等式的解集求法】 【典例】代数式-2+m的值大于1，则m的值可以是() 试卷第1页，共3页 A.1 B.2 C.3 D.4 跟踪专练】已知m为非零实数，若mx+4>0的解集为x<,则m 【跟踪专练2】已知实数x、y同时满足三个条件：①3x-2y=4+p;②4x-3y=2-p;③ x>y,那么实数p的取值范围是() A.p>-1 B.p<1 C.p<-1 D.p>1 【题型6.一元一次不等式的整数解求解】 【典例】满足不等式x≤4的所有正整数解是 【跟踪专练1】若关于x的不等式2x-a≤0的正整数解只有1和2，则a的取值范围是() A.4<a≤6 B.4≤a<6 C.2<a≤4 D.2≤a<4 【跟踪专练2】当自然数k=_ 时，关于x的方程x-3=5x-k+6的解是负数。 3 【题型7.用数轴表示不等式的解集】 【典例】不等式x≤-2在数轴上表示为() A. B. -3-2-1012 -3-2-1012 C. D. -3-2-1012 -3-2-1012 【跟踪专练1】若关于x的不等式x<2a的解集在数轴上表示如图，则a= -10123 【跟踪专练2】关于x的一元一次不等式的解集如图所示，且该不等式的负整数解有且只有 四个，则m的取值范围是() m-1 0 A.-4<m≤-3 B.-6≤m<-5 C.-5<m≤-4 D.-3<m<-2 【题型8.一元一次不等式解的最值分析】 【典例】关于x的不等式，+n<的最小整数解为八，则的值为 【跟踪专练1】若关于x的不等式x<a的正整数解恰有两个，则实数a的最大值为() A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 试卷第1页，共3页 【跟踪专练2】己知x<π(x是整数)，则x的值是一 【题型9.x≥a型不等式的解法】 【典例】不等式x-1<1的解集是() A.x>2 B.x<0 C.0<x<2 D.x<0或x>2 【跟踪专练1】若不等式x+2|+|x-2≤a无解，则a的取值范围为() A.a<5 B.5<a≤4 C.a≤4 D.a<4 【跟踪专练2】有下列各数：①-3；②-2；③0；④5.其中能使不等式x-1>3成立的为 () A.①②③ B.①③ C.①④ D.②③④ 【题型10.如何列出一元一次不等式】 【典例】用不等式表示“x的2倍与1的差大于5”： 【跟踪专练1】某超市花费2500元购进草莓100g,销售中有10%的正常损耗.为避免亏 本（其他费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价定为每千克x元，根据题意所 列不等式正确的是() A.100(1-10%x≥2500 B.100(1+10%)x<2500 C.100(1-10%)x>2500 D.1001-10%x≤2500 【跟踪专练2】小颖沿着某公园的环形跑道（周长大于1km)按逆时针方向跑步，并用跑 步软件记录运动轨迹，她从起点出发，每跑1km,软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数. 前4km的里程数数据如图所示，当小颖跑了2圈时，她的运动里程数3km(填>”=” 或“<”）· 2km 3km 起点 1km 4km 试卷第1页，共3页 【题型11.一元一次不等式的实际应用】 【典例】一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要 比原计划至少提前2天完成任务，以后几天平均每天至少完成的土方数为() A.65 B.70 C.75 D.80 【跟踪专练1】如图，书架长102cm,在该书架上按图所示方式摆放数学书和语文书.已知 每本数学书厚1.2cm,每本语文书厚1.5cm.若书架上已摆放30本语文书，设数学书摆放了 x本，则可列不等式为 102cm 【跟踪专练2】为加强茶园员工的专业知识储备，保障顾客在观光时能得到更好的专业服务， 该观光茶园针对员工开展了一次茶叶知识竞赛.本次竞赛设置了25道选择题，答对1道得 4分，答错或不答扣1分.若员工甲在这次竞赛中的得分不低于90分，则他至少要答对的 题数是() A.20 B.21 C.22 D.23 【题型12.一元一次不等式的几何应用】 【典例】中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积 的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、C,则三角形的面积S可由公式 S=√p(p-a)(p-b)(p-c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九 韶公式，现有一个三角形的边长满足a=3,b+c=5,则此三角形面积的最大值为() A.2 B.3 c.万 D.而 【跟踪专练1】如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为600m,已知小明 的速度为1.2/s,公交车的速度是小明的速度的5倍.若要保证小明不会错过这辆公交车， 则小明到A站之间的距离最大为() 600m A.100m B.120m C.150m D.180m 试卷第1页，共3页 【跟踪专练2】用长为40m的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度AC=30m, 要使靠墙的一边长不小于25m,那么与墙垂直的一边长x(m)的取值范围为() 30m A.0≤x≤5 B.x≥ 3 C.0sxs10 D. 3 10x≤5 强化巩固通关 1.解不等式，并把解集在数轴上表示出来 02x-1_9x+2≤1. 36 8g12 2· 2.先阅读下面的解题过程，然后解题 已知a>b,试比较-2026a+1与-2026b+1的大小. 解：：a>b, .-2026a>-2026b.第一步 故-2026a+1>-2026b+1.第二步 ()上述解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 (2)请写出正确的解题过程， =3是关于xy的二元一次方程的m+y=7的解 x=2 3.已知 -2-10123456 (1)求a的值. (②)若y的取值范围如图所示，求x的最小值. 4.为增强学生爱护环境的责任感，学校举行环保知识竞赛（共有25道题），规定答对一道 题得4分，答错或不答一道题扣1分.在这次竞赛中，小明被评为优秀(85分或85分以上)， 小明至少答对了几道题？ 试卷第1页，共3页 5.下表所示为X,Y,Z三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： X Z 维生素A的含量 400 600 500 维生素B的含量 800 300 400 成本 6 5 现在要将三种食物混合成100千克的混合物，要求混合物至少需含51000单位的维生素A和 48000单位的维生素B,如果所用的食物中X,Y,Z的质量分别为x千克，y千克，z千克， 当x,y,z分别取何值时，成本最低？ 试卷第1页，共3页