专题06三角形寒假预习讲义（1）(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年华东师大版七年级数学下册

专题06三角形寒假预习讲义（1） · 轻松吃透三角形定义、要素，会认会标不混淆； · 秒辨三角形两类分类，能快速给三角形 “贴标签”； · 掌握高、中线、角平分线的画法 + 性质，搞定三种线段的核心考点； · 避开预习易错坑，为新学期课堂学习打满基础，听课更轻松～ 预习必备 知识点梳理 1.三角形的定义与分类 2.三角形的基本要素 3.三角形的分类 4.三角形的高.中线.角平分线 5.易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.三角形的定义与相关概念 2.三角形的计数问题 3.三角形的分类 4.三角形高的画法 5.与三角形高相关的计算 6.网格中三角形面积的计算 7.利用三角形中线求线段长度 8.利用三角形中线求面积 9.三角形角平分线的定义 强化巩固 (解答题5题) 知识点01:三角形的定义与表示 定义：由三条线段首尾顺次相接组成的封闭平面图形，叫三角形。 表示：用符号△表示，如三角形ABC记作△ABC，顶点为A、B、C，边为AC、BC、AB，角为∠A.∠B.∠C 知识点02:三角形的基本要素 三个顶点：三条线段的交点； 三条边：组成三角形的线段 三个内角：每两条边的夹角，简称三角形的角。 知识点03:三角形的分类 1. 按内角大小分（核心分类） 锐角三角形：三个内角都是锐角（均小于90∘）； 直角三角形：有一个内角是直角（等于90∘），记作Rt△；直角的对边叫斜边，另外两边叫直角边，直角三角形的两锐角互余； 钝角三角形：有一个内角是钝角（大于90∘且小于180∘）。 2. 按边的相等关系分 不等边三角形：三条边都不相等的三角形； 等腰三角形：有两条边相等的三角形；相等的边叫腰，另一边叫底，两腰的夹角叫顶角，腰与底的夹角叫底角； 等边三角形：三条边都相等的三角形（特殊的等腰三角形，三个内角均为60∘）。 知识点04:三角形的高、中线、角平分线 1. 三角形的高 定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫三角形的高； 性质： 1 三角形有三条高； 2 锐角三角形的三条高都在内部，直角三角形的两条高与直角边重合、一条高在内部，钝角三角形的两条高在外部、一条高在内部； 3 三条高所在直线交于一点。 2. 三角形的中线 定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段，叫三角形的中线； 性质： 1 三角形有三条中线，且都在三角形内部； 2 三条中线交于一点（重心）； 3 一条中线将三角形分成面积相等的两个三角形。 . 3. 三角形的角平分线 定义：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫三角形的角平分线； 性质： 1 三角形有三条角平分线，且都在三角形内部； 2 三条角平分线交于一点（内心）。 知识点05:易错点提醒 1.组成三角形的三条线段需满足首尾顺次相接且为封闭图形； 2.三角形的高、中线、角平分线均为线段，非直线或射线； 3.直角三角形的高的位置易混淆，注意两条直角边本身就是高； 4.等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。 【题型1.三角形的定义与相关概念】 【典例】下列图形中，是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，共有 个三角形；在中，所对的角是 ；在中，所对的边是 ；以为边的三角形有 ． 【跟踪专练2】如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【题型2.三角形的计数问题】 【典例】如图，共有 个三角形． 【跟踪专练1】如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【跟踪专练2】数一数图中共有（   ）个三角形． 【跟踪专练3】如图，钝角三角形的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型3.三角形的分类】 【典例】如图是三角形的两种分类，下列判断正确的是（   ） A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【跟踪专练1】三角形按边可以分为： 三角形和不等边三角形；按角分为： 三角形、 三角形和钝角三角形． 【跟踪专练2】如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 【跟踪专练3】如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是 ； （2）的三个内角是 ，其中的对边是 ； （3）以为一个内角的三角形是 ； （4）图中共有 个三角形． 【题型4.三角形高的画法】 【典例】下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． .C． D． 【跟踪专练1】若一个三角形三条高所在直线的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【跟踪专练2】给出下列说法正确的是（　　） A．三角形的角平分线是射线 B．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C．三角形的顶点到对边的距离是三角形的高 D．任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 【跟踪专练3】如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（是钝角），他打算用折叠的方法折出的角平分线、边上的中线和高线，能折出的是（　　）    A．边上的中线和高线 B．的角平分线和边上的高线 C．的角平分线和边上的中线 D．的角平分线、边上的中线和高线 【题型5.与三角形高相关的计算】 【典例】如图，，，，垂足分别为C，D，E，下列说法不正确的是（　　） A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【跟踪专练1】如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为 ． 【跟踪专练2】如图，在中，为中线，，分别是，的高，若，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，已知，分别为的边，的中点，连接，为的中线，连接．若，四边形的面积为，则的边上的高为 ． 【题型6.网格中三角形面积的计算】 【典例】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法判断 【跟踪专练1】如图是一个小正方形边长为1的的网格，请你在网格中画出一个面积为4的三角形． 【跟踪专练2】在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，、两点在格点上，格点的面积为1，则格点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【跟踪专练3】如图中每个小方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是 ． 【题型7.利用三角形中线求线段长度】 【典例】如图，D为上一点，，E为上一点，，则下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的中线 C．D为的中点 D．图中的对边是 【跟踪专练1】如图，是的中线，，，的周长为，则的周长为 ． 【跟踪专练2】如图，已知D是的中点，、分别是的角平分线、高线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，已知是的中线，且，，则和的周长之差为 ，和的面积之差为 ． 【题型8.利用三角形中线求面积】 【典例】如图，王老汉有一块形状为三角形的土地，他计划在土地内部修一条小路（小路宽度忽略不计），使得土地被分为面积相等的两块，则小路应该是的（    ） A．中线 B．角平分线 C．高线 D．任意一条线 【跟踪专练1】如图，在中，若点D，E分别是，的中点，且的面积为12，则阴影部分的面积是 ． 【跟踪专练2】如图，在中，点D、E、F分别在三边上，E是的中点，，，，交于一点G，，，则的面积是（    ） A．30 B．28 C．56 D．60 【跟踪专练3】如图，在中，是上的一点，，点是的中点，且，则 ． 【题型9.三角形角平分线的定义】 【典例】关于三角形的角平分线，下列说法正确的是（　　） A．线段 B．射线 C．直线 D．射线或线段 【跟踪专练1】三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的（　　） A．内部 B．外部 C．一边上 D．不确定 【跟踪专练2】如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有 个． 【跟踪专练3】如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上． 1．如图，在中，． (1)图中边BC上的高为____________，边AC上的高为____________． (2)画出边AB上的高CD． (3)若，，，求边AB上的高CD的长． 2．请分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条角平分线、三条中线和三条高线． 3．（1）如图，的面积等于是中线，请分别求出和的面积． （2）你能把一个三角形分成面积相等的两部分吗？分成面积相等的四部分呢？分成面积相等的三部分呢？ 4．如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 5．在如图所示的方格纸中，点A、B、C均在格点上． (1)连接，过点作的平行线； (2)连接，过点作的垂线，垂足为E； (3)连接，则三角形的面积为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06三角形寒假预习讲义（1） · 轻松吃透三角形定义、要素，会认会标不混淆； · 秒辨三角形两类分类，能快速给三角形 “贴标签”； · 掌握高、中线、角平分线的画法 + 性质，搞定三种线段的核心考点； · 避开预习易错坑，为新学期课堂学习打满基础，听课更轻松～ 预习必备 知识点梳理 1.三角形的定义与分类 2.三角形的基本要素 3.三角形的分类 4.三角形的高.中线.角平分线 5.易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.三角形的定义与相关概念 2.三角形的计数问题 3.三角形的分类 4.三角形高的画法 5.与三角形高相关的计算 6.网格中三角形面积的计算 7.利用三角形中线求线段长度 8.利用三角形中线求面积 9.三角形角平分线的定义 强化巩固 (解答题5题) 知识点01:三角形的定义与表示 定义：由三条线段首尾顺次相接组成的封闭平面图形，叫三角形。 表示：用符号△表示，如三角形ABC记作△ABC，顶点为A、B、C，边为AC、BC、AB，角为∠A.∠B.∠C 知识点02:三角形的基本要素 三个顶点：三条线段的交点； 三条边：组成三角形的线段 三个内角：每两条边的夹角，简称三角形的角。 知识点03:三角形的分类 1. 按内角大小分（核心分类） 锐角三角形：三个内角都是锐角（均小于90∘）； 直角三角形：有一个内角是直角（等于90∘），记作Rt△；直角的对边叫斜边，另外两边叫直角边，直角三角形的两锐角互余； 钝角三角形：有一个内角是钝角（大于90∘且小于180∘）。 2. 按边的相等关系分 不等边三角形：三条边都不相等的三角形； 等腰三角形：有两条边相等的三角形；相等的边叫腰，另一边叫底，两腰的夹角叫顶角，腰与底的夹角叫底角； 等边三角形：三条边都相等的三角形（特殊的等腰三角形，三个内角均为60∘）。 知识点04:三角形的高、中线、角平分线 1. 三角形的高 定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫三角形的高； 性质： 1 三角形有三条高； 2 锐角三角形的三条高都在内部，直角三角形的两条高与直角边重合、一条高在内部，钝角三角形的两条高在外部、一条高在内部； 3 三条高所在直线交于一点。 2. 三角形的中线 定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段，叫三角形的中线； 性质： 1 三角形有三条中线，且都在三角形内部； 2 三条中线交于一点（重心）； 3 一条中线将三角形分成面积相等的两个三角形。 . 3. 三角形的角平分线 定义：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫三角形的角平分线； 性质： 1 三角形有三条角平分线，且都在三角形内部； 2 三条角平分线交于一点（内心）。 知识点05:易错点提醒 1.组成三角形的三条线段需满足首尾顺次相接且为封闭图形； 2.三角形的高、中线、角平分线均为线段，非直线或射线； 3.直角三角形的高的位置易混淆，注意两条直角边本身就是高； 4.等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。 【题型1.三角形的定义与相关概念】 【典例】下列图形中，是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的定义，三角形是由同一平面内，不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形，据此可得答案． 【详解】解：由三角形的定义可知，四个选项中，只有B选项中的图形是三角形， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，共有 个三角形；在中，所对的角是 ；在中，所对的边是 ；以为边的三角形有 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了与三角形有关的概念，理解这些概念是关键；由三角形相关概念即可完成． 【详解】解：图中共有3个三角形：； 在中，所对的角是；在中，所对的边是；以为边的三角形有； 故答案为：3；；；． 【跟踪专练2】如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】D 【分析】本题考查三角形高的定义，根据三角形的高的定义判断即可，记住从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，观察图象可知：是的高，是的高，是的高， ∴符合题意是D选项， 故选：D． 【题型2.三角形的计数问题】 【典例】如图，共有 个三角形． 【答案】6 【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数． 【详解】解：图中有：△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC，共6个． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的定义，数三角形时，要不重不漏． 【跟踪专练1】如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的概念，解题的关键是：不重不漏写出所有的三角形． 根据三角形的概念即可解答． 【详解】解：可以组成的三角形有：，，，，，，，，共9个， 故选：D． 【跟踪专练2】数一数图中共有（   ）个三角形． 【答案】44 【分析】本题主要考查分类讨论的思想，根据三角形中包含的小三角形的个数进行分类求解，再求总数即可． 【详解】解：由一个小三角形组成的三角形数量为16个； 由二个小三角形组成的三角形数量为16个； 由四个小三角形组成的三角形数量为8个； 由八个小三角形组成的三角形数量为4个； 则共有个， 故答案为：44． 【跟踪专练3】如图，钝角三角形的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的分类、钝角三角形的定义等知识点，确定各个钝角三角形成为解题的关键． 先列举出所有钝角三角形，然后再统计即可解答． 【详解】解：如图：钝角三角形有：、、、、，共5个． 故选D． 【题型3.三角形的分类】 【典例】如图是三角形的两种分类，下列判断正确的是（   ） A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的分类，掌握三角形的分类方法是解题的关键． 按角分类为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边的相等关系分为不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）；据此即可解答． 【详解】解：按角分类：直角三角形，锐角三角形和钝角三角形，即①正确． 按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．即②的分类不正确． 故选：A． 【跟踪专练1】三角形按边可以分为： 三角形和不等边三角形；按角分为： 三角形、 三角形和钝角三角形． 【答案】 等腰 锐角 直角 【分析】本题考查三角形分类，熟练掌握三角形按边或按角分类是解题的关键． 根据三角形按边可以分为：等腰三角形和不等边三角形；按角分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形解答即可． 【详解】解：三角形按边可以分为：等腰三角形和不等边三角形； 按角分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 故答案为：等腰；锐角；直角．（空2与空3答案可互换）． 【跟踪专练2】如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 【答案】D 【分析】本题考查三角形的分类，根据点C运动路线，分段进行讨论即可． 【详解】解：点C从点B出发后至前，，是钝角三角形； 当点C运动至时，，是直角三角形； 点C继续向右运动，由小变大， 当时，是锐角三角形； 当时，是直角三角形； 当时，是钝角三角形； 因此变化情况为：钝角三角形→直角角三形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形， 故选D． 【跟踪专练3】如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是 ； （2）的三个内角是 ，其中的对边是 ； （3）以为一个内角的三角形是 ； （4）图中共有 个三角形． 【答案】 6 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：以为边的三角形是； 的三个内角是；其中的对边是； 以为一个内角的三角形是； 图中共有，个三角形； 故答案为：；；；；； 【题型4.三角形高的画法】 【典例】下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． .C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形中的高线，根据三角形的高的定义，依次对选项中的图形进行判断即可得出答案． 【详解】解：选项A：线段是的高，选项不符合题意； 选项B：线段是的高，选项不符合题意； 选项C：线段是的高，选项不符合题意； 选项D：线段是的高，选项符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】若一个三角形三条高所在直线的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【分析】本题主要考查了三角形垂心，熟知锐角三角形，直角三角形，钝角三角形垂心所在的位置是解答本题的关键． 根据锐角三角形三条高交于三角形内部，直角三角形三条高交于直角顶点，钝角三角形三条高所在直线交于三角形外部进行求解即可． 【详解】解：若一个三角形三条高所在直线的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形， 故答案为：钝角． 【跟踪专练2】给出下列说法正确的是（　　） A．三角形的角平分线是射线 B．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C．三角形的顶点到对边的距离是三角形的高 D．任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的高、角平分线，熟记它们的概念是解题的关键． 根据三角形的高、角平分线的概念、点到这条直线的距离的概念判断即可． 【详解】解：A．三角形的角平分线是线段，故本小题说法错误； B．三角形的高所在的直线交于一点，这一点在三角形内或在三角形外或在三角形的一边上，故本小题说法错误； C．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．故本小题说法错误； D．任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，说法正确； 故选：D． 【跟踪专练3】如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（是钝角），他打算用折叠的方法折出的角平分线、边上的中线和高线，能折出的是（　　）    A．边上的中线和高线 B．的角平分线和边上的高线 C．的角平分线和边上的中线 D．的角平分线、边上的中线和高线 【答案】C 【分析】由折叠的性质可求解． 【详解】解：当与重合时，折痕是的角平分线； 当点A与点B重合时，折叠是的中垂线， 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换，掌握折叠的性质是本题的关键． 【题型5.与三角形高相关的计算】 【典例】如图，，，，垂足分别为C，D，E，下列说法不正确的是（　　） A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键．根据三角形的高的定义，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、在中，，则是边上的高，故此选项说法正确，不符合题意； B、在中，不是的高，故此选项说法不正确，符合题意； C、在中，，则是边上的高，故此选项说法正确，不符合题意； D、在中，，则是边上的高，故此选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中求线段长，熟记三角形面积公式是解决问题的关键． 根据题意，由等面积法列等式，代值求解即可得到答案． 【详解】解：，分别是的边，的高线， ， ，，， ， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，为中线，，分别是，的高，若，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线的性质、与三角形的高有关的计算，由题意可得，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，为中线， ， ∵和分别为和的高， ， 即， ， 故选：A． 【跟踪专练3】如图，已知，分别为的边，的中点，连接，为的中线，连接．若，四边形的面积为，则的边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质、三角形的面积、三角形的高等知识点，连接，设，的边上的高为，根据三角形中线的性质可得，，，，根据四边形的面积为，求出的值即可，掌握三角形的中线性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设，的边上的高为， ∵为的中线， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的边上的高为， 故答案为：． 【题型6.网格中三角形面积的计算】 【典例】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】分别求出的面积和的面积，即可求解． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键． 【跟踪专练1】如图是一个小正方形边长为1的的网格，请你在网格中画出一个面积为4的三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了求三角形面积，根据网格的特点画出一个两直角边的长分别为4和2的直角三角形即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【跟踪专练2】在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，、两点在格点上，格点的面积为1，则格点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积问题，能够结合图形进行求解．以为腰可得出4个等腰直角三角形，其面积为1，又有两个钝角三角形，其面积也为1，故满足条件的点共有6个． 【详解】解：如图， 这样的点共有6个． 故选：． 【跟踪专练3】如图中每个小方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是 ． 【答案】5.5平方厘米 【分析】本题主要考查了三角形的面积，根据提题意得图中每个小方格的边长都是1厘米，先求出，，，，，，由此即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：如图所示， ∵图中每个小方格的面积都是1平方厘米， ∴图中每个小方格的边长都是1厘米， ∴，，，，，， ∴（平方厘米）． 故答案为：5.5平方厘米． 【题型7.利用三角形中线求线段长度】 【典例】如图，D为上一点，，E为上一点，，则下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的中线 C．D为的中点 D．图中的对边是 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线定义，在三角形中，从三角形的一个顶点到对边中点的线段叫三角形的中线． 根据三角形的中线定义分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴是的中线，故选项A不符合题意； B、∵， ∴是的中线，故选项B不符合题意； C、∵， ∴D为的中点，故选项C不符合题意； D、在中，是的对边，故选项D符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】如图，是的中线，，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】/26厘米 【分析】本题考查的是三角形的中线，根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，已知D是的中点，、分别是的角平分线、高线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解决此题的关键． 【详解】A、∵D是的中点，∴，但不一定等于，故本选项结论错误，不符合题意； B、∵是的角平分线，∴，本选项结论正确，符合题意； C、∵是的角平分线，不是高线，∴不等于，故本选项结论错误，不符合题意； D、与的关系不能确定，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练3】如图，已知是的中线，且，，则和的周长之差为 ，和的面积之差为 ． 【答案】 /2厘米 /0平方厘米 【分析】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．根据三角形的中线的定义可得，然后求出与的周长之差．面积之差等于0． 【详解】解：∵为中线， ∴， ∴与的周长之差， ∵， ∴与的周长之差． 又， ∴，即和的面积之差为． 故答案为：；． 【题型8.利用三角形中线求面积】 【典例】如图，王老汉有一块形状为三角形的土地，他计划在土地内部修一条小路（小路宽度忽略不计），使得土地被分为面积相等的两块，则小路应该是的（    ） A．中线 B．角平分线 C．高线 D．任意一条线 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键；因此此题可根据“三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分”进行求解即可． 【详解】解：由题意得：小路是的中线； 故选A． 【跟踪专练1】如图，在中，若点D，E分别是，的中点，且的面积为12，则阴影部分的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 先由点是的中点得出，再由点是的中点计算即可得解． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，点D、E、F分别在三边上，E是的中点，，，，交于一点G，，，则的面积是（    ） A．30 B．28 C．56 D．60 【答案】D 【分析】本题考查了三角形面积的求法，根据得出和面积之间的关系，根据E是的中点得出和面积之间的关系，从而求出的面积，再根据是的中线即可求出的面积，熟知三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 故选：D． 【跟踪专练3】如图，在中，是上的一点，，点是的中点，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中的面积关系，数形结合，准确表示出各个三角形面积关系是解决问题的关键． 由题意得到、，数形结合得到，，再对恒等变形，转化为，代值求解即可得到答案． 【详解】解：在中，是上的一点，， ，即； 在中，点是的中点， ，即； ，， ， 故答案为：． 【题型9.三角形角平分线的定义】 【典例】关于三角形的角平分线，下列说法正确的是（　　） A．线段 B．射线 C．直线 D．射线或线段 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的角平分线，熟练掌握三角形的角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的角平分线的定义即可解答． 【详解】解：三角形的角平分线是一条线段． 故选：A． 【跟踪专练1】三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的（　　） A．内部 B．外部 C．一边上 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形角平分线，作出图形，根据三角形角平分线的性质即可解答． 【详解】解：如图， 三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的内部． 故选：A 【跟踪专练2】如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有 个． 【答案】3/三 【分析】由角平分线的定义得，等量代换得，进而可得答案． 【详解】∵为两条角平分线， ∴． ∵， ∴． 故答案为∶3． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等量代换，熟练掌握角平分线的定义是解答本题的关键． 【跟踪专练3】如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上． 【答案】 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，熟练掌握三角形角平分线的定义是解题的关键． 根据三角形角平分线的定义即可直接得出答案． 【详解】解：是的角平分线，则平分，，且点在边上， 故答案为：，，． 1．如图，在中，． (1)图中边BC上的高为____________，边AC上的高为____________． (2)画出边AB上的高CD． (3)若，，，求边AB上的高CD的长． 【答案】(1)AC，BC (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查直角三角形中高线，利用面积公式求解高的方法，解题的关键是理解三角形的高的定义． （1）根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，判断即可； （2）根据三角形高的定义即可完成作图； （3）根据即可求出的值． 【详解】（1）解：图中边上的高为，边上的高为． 故答案为：，． （2）解：如图所示． （3）解：∵， ∴． 2．请分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条角平分线、三条中线和三条高线． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形中角平分线、中线和高线的作图方法，以及它们在锐角三角形、直角三角形和钝角三角形中的位置特点．角平分线将角分成两个相等的角，中线是连接顶点与对边中点的连线，从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高，锐角三角形的三条高都在三角形的内部，直角三角形有两条高在边上，一条高在内部，钝角三角形有两条高在外部，一条高在内部． 【详解】解：锐角三角形的角平分线，中线和高线如下所示： 直角三角形的角平分线，中线和高线如下所示： 钝角三角形的角平分线，中线和高线如下所示： 3．（1）如图，的面积等于是中线，请分别求出和的面积． （2）你能把一个三角形分成面积相等的两部分吗？分成面积相等的四部分呢？分成面积相等的三部分呢？ 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查利用三角形的中线求面积． （1）由中线的定义可得，设中边上的高为h，再根据三角形面积公式即可求解； （2）在三角形中，把其底边平均分成二等份，四等份，三等份，再把等分点与对角的点相连即可． 【详解】解：（1）中，是中线， ， 设中边上的高为h， 则， ， 即 （2）根据（1）的计算过程知，可以将一个三角形分成面积相等的两部分，只需作其中一边的中线即可．如图所示： 同理，可以将一个三角形分成面积相等的四部分，只需将一边平均分成4等份，将四等分点分别与此边相对的顶点相连即可．如图所示： 由上可知，可以将一个三角形分成面积相等的三部分，只需将一边平均分成3等份，将三等分点分别与此边相对的顶点相连即可．如图所示： ． 4．如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 【答案】(1) (2)线段的长为或 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，进而分当的周长-四边形的周长和四边形的周长-当的周长两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， 与的周长差： （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 当的周长-四边形的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 四边形的周长的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 综上，线段的长为或． 5．在如图所示的方格纸中，点A、B、C均在格点上． (1)连接，过点作的平行线； (2)连接，过点作的垂线，垂足为E； (3)连接，则三角形的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查了格点作图的应用，利用网格求三角形的面积，掌握网格线的特征和割补法求三角形的面积是解题的关键． （1）根据网格线的特征作图； （2）根据网格线的特征作图； （3）根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：如图，线段，直线即为所求作． （2）解：如图，线段，即为所求作， （3）解：如图， ． 故答案为：5． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $