精品解析：四川省仁寿县铧强中学2025-2026学年高二上学期第三次教学质量检测数学试题（1月）数学试题

铧强中学2024级高二（上）第三次教学质量检测数学试题 出题人：卓茹 审题人：高群 一、单选题 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. 15 B. 20 C. 30 D. 40 4. 在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，则点A₁到直线DE的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 若圆与圆有且仅有三条公切线，则（ ） A. 6 B. 4 C. 36 D. 16 6. 已知是等差数列的前项和，且，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作直线与的渐近线在第一象限内交于点，记点关于轴的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多选题 9. 一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是对立事件 C. 事件与事件相互独立 D. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，为线段上的动点，则（ ） A. 存在点，使得直线 B. 存在点，使得平面 C. 点到直线距离的最小值为 D. 三棱锥的体积为 11. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上第一象限的点，且，过点的直线与交于两点，圆，则（ ） A. B. 若，则直线倾斜角的正弦值为 C. 若的面积为6，则直线的斜率为 D. 过点作圆的两条切线，则两切点连线的方程为 三、填空题 12. 已知直线：与：平行，则的值是_______ 13. 在等比数列中，已知，，则等于________． 14. 抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知点F为抛物线C：（）的焦点，从点F出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点，若入射光线和反射光线所在直线都与圆E：相切，则p的值是______. 四、解答题 15. 已知数列前项和为． （1）试写出数列的前3项，并判断数列是否等差数列； （2）求数列的通项公式． 16. 已知平面直角坐标系中定点为坐标原点．动点满足，记的轨迹为曲线 （1）求曲线的方程 （2）过点的直线被曲线所截得的弦长为，求直线的方程． 17. 甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； （2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率． 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，点在棱上，且平面． （1）求证：为中点； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，说明理由． 19. 如图，已知椭圆的离心率为，与轴正半轴交于点，过原点不与轴垂直的动直线与交于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线、的斜率分别为、，证明：为定值，并求出该定值； （3）以点为圆心，为半径的圆与直线、分别交于异于点的点和点，求与面积之比的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铧强中学2024级高二（上）第三次教学质量检测数学试题 出题人：卓茹 审题人：高群 一、单选题 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，进而得到焦点坐标. 【详解】由可得抛物线标准方程为：，其焦点坐标为. 故选：D. 2. 数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定数列前4项，利用观察法求出通项公式. 【详解】依题意， 由此得. 故选：B 3. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. 15 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】借助等差数列等差中项的性质计算即可得. 【详解】等差数列中，解得， 则. 故选：D. 4. 在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，则点A₁到直线DE的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立空间直角坐标系,如图所示，则，从而， 故点到直线的距离是. 故选：A. 5. 若圆与圆有且仅有三条公切线，则（ ） A. 6 B. 4 C. 36 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由圆与圆有且仅有三条公切线，得到圆与圆外切，则有，计算求解即可. 【详解】，圆的半径为， ，圆的半径为， 圆与圆有且仅有三条公切线， 圆与圆外切， ，，. 故选：D. 6. 已知是等差数列的前项和，且，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设数列的首项为，公差为，根据题意求得，再由，得到，得出数列为递减数列，再结合，即可求解. 【详解】设数列的首项为，公差为， 由，可得， 又由，可得， 因为，所以，所以， 可得等差数列为递减数列， 又因为，所以， 故等差数列的前项和最大值为. 故选；A. 7. 若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知，曲线表示一个半圆，结合半圆的图像和一次函数图像即可求出的取值范围. 【详解】画家曲线得，画出图像如图： 当直线与半圆O相切时，直线与半圆O有一个公共点，此时，，所以，由图可知，此时，所以. 当直线如图过点A、B时，直线与半圆O刚好有两个公共点，此时. 由图可知，当直线介于与之间时，直线与曲线有两个公共点，所以. 故选：D. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作直线与的渐近线在第一象限内交于点，记点关于轴的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出图形，由已知条件和几何关系确定，进而确定点，又点在直线上，代入即可求出，最终算出离心率. 【详解】 设，连接，与轴交于点， 由对称性可知， 又，所以是正三角形，且. 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 又点在直线上， 故， 所以， 所以. 故选：B. 二、多选题 9. 一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是对立事件 C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据古典概型的概率的计算公式，分别算出事件的概率，然后再根据互斥事件、对立事件、相互独立事件及概率的运算性质即可判断出答案. 【详解】样本空间为． 因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误； 因为，所以事件与事件为对立事件，故正确； 因为，所以，即事件与事件相互独立，故正确； 因为，所以，故D错误． 故选：BC. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，为线段上的动点，则（ ） A. 存在点，使得直线 B. 存在点，使得平面 C. 点到直线距离的最小值为 D. 三棱锥的体积为 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，计算可判断A项，计算可判断B项，运用空间点到线的距离公式计算可判断C项，证明面，运用等体积法计算可判断D项. 【详解】以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 如图所示， 则，，，，，，， 所以，，， 设，则， 所以， 对于A项，， 所以，故A项错误； 对于B项，因为面， 所以面的一个法向量为， 又因为面，， 所以，解得，即， 所以存在点M位于的中点时，使得面，故B项正确； 对于C项，因为，所以， 设，则， 所以点到直线的距离为（）， 所以当时，，故C项正确； 对于D项，因为，面，面，所以面， 所以， 易得，， 所以， 所以，故D项错误． 故选：BC. 11. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上第一象限的点，且，过点的直线与交于两点，圆，则（ ） A. B. 若，则直线倾斜角的正弦值为 C. 若的面积为6，则直线的斜率为 D. 过点作圆的两条切线，则两切点连线的方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义、弦长、面积、圆的切线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，则，则，故，故A正确； 设直线，联立则， 设，则， 故.， 解得，则直线倾斜角的正弦值为，故B错误； ，解得， 则直线的斜率为，故C正确； 由上述分析可知，， 圆可化为，圆心，半径， 易知为其中一条切线，切点为，且两切点连线与垂直， ，两切点连线的斜率为， 故两切点连线为， 即，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛： 联立方程法求交点：通过设定直线方程并联立抛物线方程，得到交点的坐标表达式．这是求解涉及两条曲线交点时的基本方法． 面积与斜率的关系：在C选项的分析中，利用三角形面积公式推导出直线的斜率，通过面积与几何图形特性的关系有效求解参数． 圆的切线与切点方程：在D选项的分析中，使用圆的标准方程，通过作切线与圆心的垂直关系，找到切点并确定切线方程． 三、填空题 12. 已知直线：与：平行，则的值是_______ 【答案】0 【解析】 【分析】由两直线平行计算，再检验两直线是否重合即可. 【详解】若直线：与：平行， 则，解得或， 当时，两直线平行；当时，两直线重合. 综上所述，k的值为0. 故答案为：0. 13. 在等比数列中，已知，，则等于________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据等比数列性质可得，进而可求. 【详解】设等比数列的公比为， 则，可得（负值舍去）， 所以. 故答案为：4. 14. 抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知点F为抛物线C：（）的焦点，从点F出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点，若入射光线和反射光线所在直线都与圆E：相切，则p的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据点斜式求解入射光线的方程，进而根据点到直线的距离公式求解. 【详解】当时，，故入射光线经过和，， 故入射光线的方程为，化简得， 圆心为，半径为， 所以， 而，故，，解得. 故答案为： 四、解答题 15. 已知数列前项和为． （1）试写出数列的前3项，并判断数列是否等差数列； （2）求数列的通项公式． 【答案】（1）2；3；5，数列不是等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）利用求出数列前3项，根据等差数列定义判断是否满足即可. （2）令，求出，利用求出，并验证是否满足即可. 【小问1详解】 由得， ， ， ， ， 因为， 所以数列不是等差数列． 【小问2详解】 当时，； 当时，； 验证时，，不满足上式， 所以． 16. 已知平面直角坐标系中定点为坐标原点．动点满足，记的轨迹为曲线 （1）求曲线的方程 （2）过点的直线被曲线所截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由，结合两点间距离公式代入化简即可求解； （2）由弦长公式，通过直线斜率存在和不存在两类情况讨论即可. 【小问1详解】 设， 由， 可得：， 平方可得：， 化简可得， 即， 故曲线的方程是； 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 此时弦长为，符合； 当直线的斜率存在时，设直线方程为：， 则圆心到直线的距离， 则弦长， 化简可得：， 解得：， 直线方程为：， 综上：直线的方程为或. 17. 甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； （2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可； （2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案. 【小问1详解】 设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件， . 【小问2详解】 设事A＝“甲第一轮猜对”，B＝“乙第一轮猜对”，C＝“甲第二轮猜对”，D＝“乙第二轮猜对”，E＝““九章队”猜对三个数学名词”， 所以， 则， 由事件的独立性与互斥性，得 ， 故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为． 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，点在棱上，且平面． （1）求证：为中点； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：连结交于点，连结， 因为底面是矩形，所以为中点， 因为平面，平面，平面平面, 所以， 又因为为中点，所以为中点. （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）连结交于点，连结，证明为中点并结合线面平行性质定理证明即可得证； （2）先建立空间直角坐标系，再求出两个平面的法向量即可根据二面角的向量法直接计算即可得解. （3）假设在棱上存在点满足题意，设，则求出结合线面角的空间向量法直接计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连结，， 因为底面为矩形，所以， 因为，为中点，所以，, 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，所以，所以，，两两垂直， 如图，建立空间直角坐标系，则由题意可得 ，，，，，， 则，，， 由上可知为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，，所以， 所以， 如图可知二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为， 【小问3详解】 假设在棱上存在点满足题意， 由（2），， 设，则， ， 设与平面所成角为，则， 解得或，因为，故， 所以存在点满足题意，此时. 19. 如图，已知椭圆的离心率为，与轴正半轴交于点，过原点不与轴垂直的动直线与交于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线、的斜率分别为、，证明：为定值，并求出该定值； （3）以点为圆心，为半径的圆与直线、分别交于异于点的点和点，求与面积之比的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：设，则，故， 而，故. 故为定值且定值为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率可得的关系，再根据可求，故可求标准方程. （2）设，则可得，根据在椭圆上可得定值. （3）求出的方程，分别联立直线方程和椭圆方程、直线方程和圆的方程后可得的横坐标，从而可得面积之比，结合换元法可得范围. 【小问1详解】 由题设有，且，故， 故椭圆方程为：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题设. 圆，直线， 由可得即， 故， 由可得即， 同理， 而，， 而，故 ， 令，故，其中， 故 ， 而，故，故. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用斜率或点的坐标表示目标函数，后者需要结合不等式、函数性质或导数等工具来求范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $