第三章 图形的平移与旋转 单元评价　2025-2026学年数学北师大版八年级下册

第三章 图形的平移与旋转 评价 一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1.下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是（　B　） A. B. C. D. 2.如图是一个三叶吊扇的图片，吊扇正常工作（运转）时，其叶片的转动可以看成是一个旋转运动，当第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，它转过了（　C　） 第2题图 A.300° B.240° C.120° D.60° 3.在平面直角坐标系xOy中，点P（1，－4）关于原点对称的点的坐标是（　B　） A.（－1，－4） B.（－1，4） C.（1，4） D.（1，－4） 4.下列图形中，中心对称图形有（　C　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.下列说法错误的是（　B　） A.图形在平移过程中，图形上的每一点都移动了相同的距离 B.图形在旋转过程中，图形上的每一点都绕旋转中心转了同样长的路程 C.中心对称图形的对称中心只有一个，而轴对称图形的对称轴可以不止一条 D.等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图形 6.如图是贵州苗族刺绣纹样，若将它绕其中心旋转一定角度后能够与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（　B　） 第6题图 A.45° B.90° C.120° D.180° 7.在平面直角坐标系中，点M（－2，3）与点N关于x轴对称，则将点M平移到点N的过程可以是（　B　） A.向上平移6个单位长度 B.向下平移6个单位长度 C.向左平移4个单位长度 D.向右平移4个单位长度 8.如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，连接AD，BC，以下结论错误的是（　B　） 第8题图 A.AO＝CO B.∠BAO＝∠CDO C.S△AOB＝S△AOD D.△AOD与△COB关于点O成中心对称 9.在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失.现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以将图形进行以下的操作（　A　） 第9题图 A.先逆时针旋转90°，再向左平移 B.先顺时针旋转90°，再向左平移 C.先逆时针旋转90°，再向右平移 D.先顺时针旋转90°，再向右平移 10.如图，将△ABC沿BC方向平移3 cm得到△DEF，若△ABC的周长为24 cm，则四边形ABFD的周长为（　A　） 第10题图 A.30 cm B.24 cm C.27 cm D.33 cm 11.如图，点O是等边△ABC内一点，OA＝2，OB＝2，OC＝4，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，则S△ABC－S△AOC的值为（　A　） 第11题图 A.5 B.4 C. D. 12.如图，在平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点A（－1，0）.点A第一次向上平移1个单位长度至点A1（－1，1），接着又向右平移1个单位长度至点A2（0，1），然后再向上平移1个单位长度至点A3（0，2），向右平移1个单位长度至点A4（1，2），…，照此规律平移下去，点A2 026的坐标是（　D　） 第12题图 A.（1 010，1 011） B.（1 011，1 012） C.（1 011，1 013） D.（1 012，1 013） 二、填空题（每小题4分，共16分） 13.如图，将△ABC沿着射线AC的方向平移到△DEF的位置，若点D是AC的中点，AF＝12 cm，则平移的距离为　4　 cm. 第13题图 14.已知点P（a－1，a＋2）关于原点的中心对称点在第三象限，则a的取值范围是　a＞1　. 15.如图，△ABC的顶点坐标分别为A（3，6），B（1，3），C（4，2）.如果将△ABC绕C点顺时针旋转90°，得到△A'B'C，那么点A的对应点A'的坐标为　（8，3）　. 第15题图 16.如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论，其中正确的是　①③④　.（填序号） 第16题图 ①△AED≌△AEF；②BE＋DC＝DE； ③S△ABE＋S△ACD＞S△AED；④BE2＋DC2＝DE2. 三、解答题（本大题共9个小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（10分）如图，将△ABC沿直线l向右平移4 cm得到△FDE. （1）若∠B＝45°，求∠BDF的度数； （2）若BC＝6 cm，求BE的长. 解：（1）由平移可知，∠EDF＝∠B＝45°. ∴∠BDF＝180°－∠EDF＝135°. （2）∵△FDE由△ABC沿直线l向右平移4 cm得到， ∴CE＝4 cm. 又∵BC＝6 cm，∴BE＝BC＋CE＝6＋4＝10（cm）. 18.（10分）如图，将一块直角三角板ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB延长线上的点E重合，连接CD. （1）三角板旋转了　150　度，△CBD的形状是　等腰三角形　； （2）求∠BDC的度数. 解：（2）由旋转，得△ABC≌△EBD， ∴∠EBD＝∠ABC＝30°. ∴∠DBC＝180°－30°＝150°. ∵△CBD是等腰三角形， ∴∠BDC＝＝＝15°. 19.（10分）按要求作图： （1）如图1，以点O1为对称中心，画出与如图所示图形成中心对称的图形； （2）如图2，四边形ABCD是四边形A1B1C1D1绕点O2按顺时针方向旋转90°后得到的，请画出旋转前的四边形A1B1C1D1. 解：（1）如图1所示. （2）如图2，四边形A1B1C1D1即为所求. 20.（10分）如图，△AGB与△CGD关于点G成中心对称，若点E，F分别在GA，GC上，且AF＝CE，求证：BF＝DE. 证明：∵△AGB与△CGD关于点G成中心对称， ∴△AGB≌△CGD.∴AG＝CG，BG＝DG. ∵AF＝CE，∴AF－EF＝CE－EF.∴AE＝CF. ∵AG＝CG，∴AG－AE＝CG－CF，即EG＝FG. ∵∠BGF＝∠DGE，BG＝DG， ∴△BGF≌△DGE（SAS）.∴BF＝DE. 21.（10分）如图，在平面直角坐标系内，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（－3，4），B（－4，2），C（－1，1），D（－1，3）. （1）以原点O为对称中心，请直接画出与四边形ABCD成中心对称的四边形A1B1C1D1； （2）将四边形ABCD先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到四边形A2B2C2D2. ①请直接画出四边形A2B2C2D2； ②请直接写出这次平移中，点A到点A2的距离是多少个单位长度. 解：（1）如图，四边形A1B1C1D1即为所求. （2）①如图，四边形A2B2C2D2即为所求. ②由勾股定理得，AA2＝＝2. ∴点A到点A2的距离是2个单位长度. 22.（12分）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式.图中的三角形①、③、⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上. （1）如图，三角形③可以看成由三角形①经过一次　平移　得到（填“平移”“旋转”或“翻折”）；也可以看作由三角形①先沿直线l1翻折得到三角形②，再由三角形②沿直线l2翻折得到三角形③，请在网格中作出三角形②和直线l2； （2）通过问题（1），我们可以发现：图形的一次平移可以通过　两　次翻折来实现； （3）基于问题（2）的发现，于是聪明的你提出一个猜想：图形的一次平移能否通过两次旋转实现？例如：三角形⑤可以看成由三角形③经过一次平移得到；也可以看作三角形③先绕着点O1　顺　（填“顺”或“逆”）时针旋转　90　°得到三角形④；再将三角形④绕着点O2　逆　（填“顺”或“逆”）时针旋转　90　°得到三角形⑤.完成以上填空并在网格中作出三角形④. 解：（1）三角形②和直线l2如图所示. （3）三角形④如图所示. 23.（12分）如图1，在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC.以点B为旋转中心，将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF，连接DF. （1）求证：DF＝DE； （2）如图2，若AB⊥BC，其他条件不变，探究AD，DE，EC之间的关系，并证明. 解：（1）证明：∵∠DBE＝∠ABC， ∴∠ABD＋∠CBE＝∠DBE＝∠ABC. 由旋转，得△CBE≌△ABF， ∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE.∴∠ABD＋∠ABF＝∠DBE. ∴∠DBF＝∠DBE. ∵BD＝BD， ∴△DBE≌△DBF（SAS）.∴DF＝DE. （2）AD2＋CE2＝DE2，证明：∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°. ∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠C＝45°.由旋转，得AF＝CE，∠BAF＝∠C＝45°. ∴∠DAF＝∠BAC＋∠BAF＝90°.∴AD2＋AF2＝DF2. 由（1）得，DF＝DE，∴AD2＋CE2＝DE2. 24.（12分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，给出如下定义： 点P的“第Ⅰ类变换”：将点P向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度； 点P的“第Ⅱ类变换”：将点P向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度. （1）①已知点A（3，0），对点A进行1次“第Ⅰ类变换”后得到的点的坐标是　（2，2）　； ②点B为平面内一点，若对点B进行1次“第Ⅱ类变换”后得到点（0，2），则点B的坐标是　（－3，3）　； （2）已知点C（m，n），若对点C连续进行5次“第Ⅰ类变换”，再连续进行4次“第Ⅱ类变换”后得到点D，求点D的坐标（用含m，n的代数式表示）； （3）点P的坐标（－10，3），对点P进行“第Ⅰ类变换”和“第Ⅱ类变换”共计20次后得到点Q，请问是否存在一种上述两类变换的组合，使得点Q恰好在y轴上？如果存在，请求出此时点Q的坐标；如果不存在，请说明理由. 解：（2）对点C（m，n）连续进行5次“第Ⅰ类变换”后，得到的点的坐标是（m－5×1，n＋5×2），化简，得（m－5，n＋10）； 再连续进行4次“第Ⅱ类变换”后，得到的点的坐标是（m－5＋4×3，n＋10－4×1），化简，得（m＋7，n＋6）.∴D（m＋7，n＋6）. （3）不存在，理由如下：∵P（－10，3）， 设点P经过m次“第Ⅰ类变换”，经过n次“第Ⅱ类变换， 得到点Q的坐标为（－10－m＋3n，3＋2m－n）. ∵点Q恰好在y轴上，∴解得 ∵m，n为非负整数，∴不合题意，舍去. ∴不存在一种上述两类变换的组合，使得点Q恰好在y轴上. 25.（12分）定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫作等补四边形. 【理解定义】 （1）如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D（B，C除外），连接AD，把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点为E.请根据给出的定义判断，四边形ADCE是否为等补四边形，并说明理由； 【类比探究】 （2）如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，若四边形ABCD的面积为8，求BD的长； 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠A＋∠C＝180°，BD＝a（a＞0），求四边形ABCD面积的最大值（用含a的代数式表示）. 　　　　　　　　 解：（1）四边形ADCE是等补四边形，理由如下： 由旋转的性质，得AD＝AE，∠ADB＝∠AEC. ∵∠ADC＋∠ADB＝180°， ∴∠ADC＋∠AEC＝180°. ∴四边形ADCE是等补四边形. （2）将△BAD绕点B顺时针旋转90°得△BCG，则∠BAD＝∠BCG，BD＝BG，∠DBG＝90°. ∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∴∠BCD＋∠BCG＝180°.∴D，C，G三点共线. ∵S四边形ABCD＝8，∴S△BDG＝BD2＝8. ∴BD＝4（负值舍去）. （3）将△BCD绕点B逆时针旋转使AB与BC重合，得△BAE，则BD＝BE＝a，∠BAE＝∠C，S△ABE＝S△BCD. ∵∠BAD＋∠C＝180°，∴∠BAD＋∠BAE＝180°.∴A，D，E三点共线. ∴S四边形ABCD＝S△BDE. ∴当BD⊥BE时，△BDE的面积最大，此时S△BDE＝·a·a＝a2. ∴四边形ABCD面积的最大值为a2. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 图形的平移与旋转 评价 一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1.下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是（　 　） A. B. C. D. 2.如图是一个三叶吊扇的图片，吊扇正常工作（运转）时，其叶片的转动可以看成是一个旋转运动，当第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，它转过了（　 　） 第2题图 A.300° B.240° C.120° D.60° 3.在平面直角坐标系xOy中，点P（1，－4）关于原点对称的点的坐标是（　 　） A.（－1，－4） B.（－1，4） C.（1，4） D.（1，－4） 4.下列图形中，中心对称图形有（　 　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.下列说法错误的是（　 　） A.图形在平移过程中，图形上的每一点都移动了相同的距离 B.图形在旋转过程中，图形上的每一点都绕旋转中心转了同样长的路程 C.中心对称图形的对称中心只有一个，而轴对称图形的对称轴可以不止一条 D.等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图形 6.如图是贵州苗族刺绣纹样，若将它绕其中心旋转一定角度后能够与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（　 　） 第6题图 A.45° B.90° C.120° D.180° 7.在平面直角坐标系中，点M（－2，3）与点N关于x轴对称，则将点M平移到点N的过程可以是（　 　） A.向上平移6个单位长度 B.向下平移6个单位长度 C.向左平移4个单位长度 D.向右平移4个单位长度 8.如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，连接AD，BC，以下结论错误的是（　 　） 第8题图 A.AO＝CO B.∠BAO＝∠CDO C.S△AOB＝S△AOD D.△AOD与△COB关于点O成中心对称 9.在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失.现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以将图形进行以下的操作（　 　） 第9题图 A.先逆时针旋转90°，再向左平移 B.先顺时针旋转90°，再向左平移 C.先逆时针旋转90°，再向右平移 D.先顺时针旋转90°，再向右平移 10.如图，将△ABC沿BC方向平移3 cm得到△DEF，若△ABC的周长为24 cm，则四边形ABFD的周长为（　 　） 第10题图 A.30 cm B.24 cm C.27 cm D.33 cm 11.如图，点O是等边△ABC内一点，OA＝2，OB＝2，OC＝4，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，则S△ABC－S△AOC的值为（　 　） 第11题图 A.5 B.4 C. D. 12.如图，在平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点A（－1，0）.点A第一次向上平移1个单位长度至点A1（－1，1），接着又向右平移1个单位长度至点A2（0，1），然后再向上平移1个单位长度至点A3（0，2），向右平移1个单位长度至点A4（1，2），…，照此规律平移下去，点A2 026的坐标是（　 　） 第12题图 A.（1 010，1 011） B.（1 011，1 012） C.（1 011，1 013） D.（1 012，1 013） 二、填空题（每小题4分，共16分） 13.如图，将△ABC沿着射线AC的方向平移到△DEF的位置，若点D是AC的中点，AF＝12 cm，则平移的距离为 cm. 第13题图 14.已知点P（a－1，a＋2）关于原点的中心对称点在第三象限，则a的取值范围是 . 15.如图，△ABC的顶点坐标分别为A（3，6），B（1，3），C（4，2）.如果将△ABC绕C点顺时针旋转90°，得到△A'B'C，那么点A的对应点A'的坐标为 . 第15题图 16.如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论，其中正确的是 .（填序号） 第16题图 ①△AED≌△AEF；②BE＋DC＝DE； ③S△ABE＋S△ACD＞S△AED；④BE2＋DC2＝DE2. 三、解答题（本大题共9个小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（10分）如图，将△ABC沿直线l向右平移4 cm得到△FDE. （1）若∠B＝45°，求∠BDF的度数； （2）若BC＝6 cm，求BE的长. 18.（10分）如图，将一块直角三角板ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB延长线上的点E重合，连接CD. （1）三角板旋转了 度，△CBD的形状是 ； （2）求∠BDC的度数. 19.（10分）按要求作图： （1）如图1，以点O1为对称中心，画出与如图所示图形成中心对称的图形； （2）如图2，四边形ABCD是四边形A1B1C1D1绕点O2按顺时针方向旋转90°后得到的，请画出旋转前的四边形A1B1C1D1. 20.（10分）如图，△AGB与△CGD关于点G成中心对称，若点E，F分别在GA，GC上，且AF＝CE，求证：BF＝DE. 21.（10分）如图，在平面直角坐标系内，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（－3，4），B（－4，2），C（－1，1），D（－1，3）. （1）以原点O为对称中心，请直接画出与四边形ABCD成中心对称的四边形A1B1C1D1； （2）将四边形ABCD先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到四边形A2B2C2D2. ①请直接画出四边形A2B2C2D2； ②请直接写出这次平移中，点A到点A2的距离是多少个单位长度. 22.（12分）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式.图中的三角形①、③、⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上. （1）如图，三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“翻折”）；也可以看作由三角形①先沿直线l1翻折得到三角形②，再由三角形②沿直线l2翻折得到三角形③，请在网格中作出三角形②和直线l2； （2）通过问题（1），我们可以发现：图形的一次平移可以通过 次翻折来实现； （3）基于问题（2）的发现，于是聪明的你提出一个猜想：图形的一次平移能否通过两次旋转实现？例如：三角形⑤可以看成由三角形③经过一次平移得到；也可以看作三角形③先绕着点O1 （填“顺”或“逆”）时针旋转 °得到三角形④；再将三角形④绕着点O2 （填“顺”或“逆”）时针旋转 °得到三角形⑤.完成以上填空并在网格中作出三角形④. 23.（12分）如图1，在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC.以点B为旋转中心，将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF，连接DF. （1）求证：DF＝DE； （2）如图2，若AB⊥BC，其他条件不变，探究AD，DE，EC之间的关系，并证明. 24.（12分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，给出如下定义： 点P的“第Ⅰ类变换”：将点P向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度； 点P的“第Ⅱ类变换”：将点P向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度. （1）①已知点A（3，0），对点A进行1次“第Ⅰ类变换”后得到的点的坐标是 ； ②点B为平面内一点，若对点B进行1次“第Ⅱ类变换”后得到点（0，2），则点B的坐标是 ； （2）已知点C（m，n），若对点C连续进行5次“第Ⅰ类变换”，再连续进行4次“第Ⅱ类变换”后得到点D，求点D的坐标（用含m，n的代数式表示）； （3）点P的坐标（－10，3），对点P进行“第Ⅰ类变换”和“第Ⅱ类变换”共计20次后得到点Q，请问是否存在一种上述两类变换的组合，使得点Q恰好在y轴上？如果存在，请求出此时点Q的坐标；如果不存在，请说明理由. 25.（12分）定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫作等补四边形. 【理解定义】 （1）如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D（B，C除外），连接AD，把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点为E.请根据给出的定义判断，四边形ADCE是否为等补四边形，并说明理由； 【类比探究】 （2）如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，若四边形ABCD的面积为8，求BD的长； 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠A＋∠C＝180°，BD＝a（a＞0），求四边形ABCD面积的最大值（用含a的代数式表示）. 　　　　 　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $