精品解析：江西上饶市2026届高三上学期第一次高考模拟考试数学试题

上饶市2026届高三年级第一次高考模拟考试 数学试题 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第I卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效． 3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效． 4．本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用并集概念求出答案. 【详解】由，无解；由，解得；由 ，解得 ，所以，所以， 故选：C 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直接代入求得即可. 【详解】因为，代入得：， 所以虚部为， 故选：D. 3. 已知函数，则（ ） A. 4 B. 9 C. 16 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】令，解得 ，再利用原式求解. 【详解】因为，令，解得 ， 所以． 故选：C. 4. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标运算求解. 【详解】，，则，， 由，得，解得 . 故选：B 5. 将6个相同的小球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子都要有小球，则不同的放球方法共有（ ） A. 4种 B. 6种 C. 10种 D. 12种 【答案】C 【解析】 【分析】根据隔板法来解决相同元素分组问题，通过在元素之间插入隔板来将元素分成不同的组. 【详解】本题是6个相同的小球放入3个不同的盒子，且每个盒子至少有1个小球的组合问题，可以使用隔板法， 将6个小球排成一排，中间形成5个空隙，在这5个空隙中插入2个隔板， 即可将小球分成3份，每份至少有1个， 因此，不同的放法共有种， 故选：C． 6. 已知，且，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】运用对数运算性质及换底公式即可求解. 【详解】，由得， 则 所以 故选：A． 7. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 对定义域内的任意两个不相等的实数恒成立 D. 若实数满足，则 【答案】C 【解析】 【分析】，对于A选项，利用偶函数的定义求出 是定义域为的偶函数，从而得到结论；对于B选项，求出，，结合奇函数的定义得到结论；对于C选项，对于函数，利用导数法求出函数的单调性；对于D选项，利用是定义域为的偶函数和的单调性得到结论． 【详解】， 对于A选项，对任意的， ， 所以函数是定义域为的偶函数，，故A正确； 对于B选项，， 故函数为奇函数，故B正确； 对于C选项，对于函数， 令，解得 ； ，解得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，故C错误； 对于D选项，由函数是定义域为的偶函数 同时函数的单调递增区间为，单调递减区间为 所以可得，即，故D正确． 故选：C． 8. 已知正方体的棱长为4，棱上的点满足与交于点 ．若平面 经过点且与垂直，则平面 截该正方体所得截面的面积为（ ） A. 4 B. 7 C. 4 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，先证得平面 ，则平面平面 ，由平面基本性质可作出五边形为平面 ，求出梯形的面积和的面积，即可求解. 【详解】如图，设的中点为， 是正方体，是正方形， ，， ，平面, 平面， 与交于点 ，平面，， 是正方体的棱长为，为的中点， ， ， ， ， ， ，， ，，平面BDF， 平面 ． 平面 经过点且与垂直，平面平面 ， ，是的中点，， 在上取点，使得，连接，则， 在上取点，使得，连接，则， 取的中点，连接 ，则， 取的中点， 为的中点，，， 在上取点，连接 ，则， 连接，连接，故平面平面 ， 则截面五边形为平面 ， 梯形中，， 则梯形的面积． 中，，又， 所以， 即． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 偶函数 C. 图象关于点中心对称 D. 在区间上单调递减 【答案】BC 【解析】 【分析】化简函数的解析式，可得出，再利用余弦函数的基本性质逐项判断即可. 【详解】根据题意，， 所以函数， 所以函数是周期为 的偶函数，A错误，B正确． 函数的图象关于点中心对称，C正确， 函数在区间上不单调，D错误． 故选：BC． 10. 已知函数，则（ ） A. 在点（2，a-4）处的切线方程为 B. 若有两个极值点，则 C. 当 时，有两个零点 D. 当时，直线与的图象一定有三个不同的交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，利用导数的几何意义求解；选项B，由有两个极值点可以得到有两个不同的根，则 ，从而求得的范围；选项C，当 时，由前面分析可知存在两个极值点，则是有两个不同的根，利用根与系数的关系即二次函数的图像得到一正一负，且正根大于，不妨设，利用导数法得到的单调性， 求出，，结合的单调性得到，从而得解；选项D，直线与相交，则，解得考虑二次部分，，由，得到 ，设，求出，得到不是的根，故该方程有3个根，得到结论． 【详解】选项A， ， 在点（2，a-4）处的切线方程为， 即切线方程为，选项A正确． 选项B，， 有两个极值点，有两个不同的根， ，，选项B正确． 选项C，当 时，由前面分析知存在两个极值点， 是有两个不同的根， ，，一正一负，且正根大于， 不妨设，则的解为或， 的解为， 当时单调递增， 当时单调递减，当时单调递增， ，， ， ， 当 时，有三个零点，选项C错误． 选项D，直线与相交， 则， 解得考虑二次部分，， ，，， 设，， 不是的根，所以该方程有3个根，选项D正确． 故选：ABD. 11. 对任意有序正实数对，若存在过点的直线与双曲线交于两点，且为线段的中点，则称该数对为有效数对，否则称为无效数对，则下列数对中是有效数对的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】分别设出后代入到双曲线方程，使用点差法，将之作差并结合中点坐标即可得到，分别把选项代入，求得的直线与双曲线联立，需要满足化简后的式子有2个解，即化简后的二次函数，以此判断选项是否满足题意即可. 【详解】设直线的斜率为 ，， 则有，， 两式相减得，即， 又为的中点，即，且， 所以，且直线与双曲线有两个交点， 对于A：此时数对为，则，直线，双曲线 ， 联立，得， ，满足直线与双曲线有两个交点，故A正确； 对于B：此时数对为，则 ，直线 ，双曲线， 联立，此时无解，不满足直线与双曲线有两个交点，故B错误； 对于C：此时数对为，则，直线，双曲线， 联立，得， ，不满足直线与双曲线有两个交点，故C错误； 对于D：此时数对为，则，直线，双曲线， 联立，得， ，满足直线与双曲线有两个交点，故D正确； 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则___________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程确定焦点，进而求解即可. 【详解】因为抛物线的顶点到焦点距离为，故，故， 故答案为：12． 13. 在边长为3的正方形中，三点分别在上，满足，则五边形面积的最大值是___________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据平面向量的概念，以及正切函数的概念，求出各边长的表达式，再根据三角形面积公式以及基本不等式，求出结果即可. 【详解】设，则， 因为且，所以， 在直角 中，，所以 同理可得， 所以， ， 因为，当且仅当时，即时等号成立， 所以五边形EFDCG面积的最大值是7． 14. 方程的整数解的组数为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】变形给定等式，再利用列举法求出整数解的组数. 【详解】原方程变形得，即， 由是整数，得或，或或， 而方程组与各有2组解，方程组与各有4组解， 所以原方程共有12组解. 故答案为：12 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2025年“十一”黄金周期间，上饶市文旅局对五大热门景区（三清山、婺源、龟峰、葛仙村、望仙谷）的游客数据进行了统计．已知前五日每日总游客接待量（，单位：万人次）与全市旅游综合收入，单位：亿元的抽样数据如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 29 32 36 30 28 6 7 8 6.5 5.5 （1）根据数据建立旅游综合收入关于游客接待量的线性回归方程，并预测第六日游客接待量达到38万人次时，该市旅游综合收入的估计值； （2）在“十一”黄金周期间，望仙谷景区单日客流量超过承载上限（5万人次）的概率为0.4．黄金周七天中随机抽取三天，记客流量超过承载上限的天数为，求的分布列及数学期望． 参考数据：． 参考公式：． 【答案】（1），8.7亿元 （2） 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）因为，由求出，由求出 再由回归方程求解旅游综合收入的估计值即可； （2）由题意可知，，根据二项分布概率公式求解分布列，再根据二项分布的期望求解期望. 【小问1详解】 因为 所以． 所以回归方程为：，当时， 当第六日游客接待量达到38.0万人次时，该市旅游综合收入的估计值为8.7亿元． 【小问2详解】 由题意可知， 则 所以的分布列为： 0 1 2 3 P . 16. 在平面四边形中，，将沿 翻折至 ，满足 ． （1）证明：平面 平面； （2）求平面 与平面 的夹角的余弦值． 【答案】（1）在平面四边形中， ， ， 在空间中，由 得 平面 又 平面， 平面 平面，得证． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明 ，可得 面 ，再结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求解平面 和平面 的法向量，进而求解夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，， 分别为轴和轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 因为平面 平面，所以轴平面 ， 则 ． 所以 ． 设平面 一个法向量为，则， 即，令 ，则 ． 设平面 一个法向量为，则， 即，令，则 ． 设平面 与平面 的夹角 ， 则. 17. 已知递增的等差数列满足，数列的各项均为正数，，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列公差为，根据题意求得 ， ，进而求得数列的通项公式为，再根据又，得，即数列为等比数列，最后根据等比数列通项公式求解即可； （2）分类讨论当为奇数和偶数时的各项，分别求和再求解即可. 【小问1详解】 设等差数列公差为，则，由得 ， 由得，所以 ，所以， 所以数列的通项公式为； 又， 由数列的各项均为正数得，即， 又，所以数列为首项为2且公比为2的等比数列， 所以. 【小问2详解】 当为奇数时，记，则有 当为偶数时，． 所以，记，则有 所以. 18. 已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）如图，斜率存在且不为0的直线与相交于点（在的左侧），，分别为左右焦点，设直线的斜率分别为，且． ①求证：直线过定点； ②设直线相交于点，求证：为定值． 【答案】（1） （2）①直线方程为，与椭圆联立， 消去得， 设，由韦达定理得： 直线的斜率，直线的斜率， 因此：， 即，整理得， 所以，故直线过定点. ②直线的方程，因为， 故直线可写为：，即： 直线过和，其方程为：， 联立直线与的方程，消去后解得，即； 同理，，由题知在的左侧，易得在左半椭圆，故， 所以：. 【解析】 【分析】（1）由焦距为，在椭圆上，联立关于的方程求解即可； （2）①联立直线和椭圆的方程可得，利用和韦达定理得，化简整理可得，即可求得直线过定点; ②联立直线与的方程可得，进而求得和，在求解即可. 【小问1详解】 如图所示， 设椭圆的左、右焦点分别为、，因为焦距为，在椭圆上， 所以且轴，故， 又由于，所以得， 故椭圆方程为 【小问2详解】 ①略 ②略 19. 已知函数， （1）求证：当时，； （2）记在的唯一零点为，求证：； （3）在（2）的条件下记，求证：． 【答案】（1）设， 则 所以在上单调递增，当时，，即 （2）依题意， 当时，， 当时，， ，即 ，所以单调递增； 当时，，， 即 ，所以单调递增， 所以在单调递增. 又 所以存在唯一使得 同理存在唯一使得． 则 又，且在上单调递增，所以，即． （3）因为,所以 由（1）知 当时结论显然成立，当时 ． 所以. 【解析】 【分析】（1）设，通过判断增减性和极值，进而证明； （2）依题意，分析单调性，由，得存在唯一使得，同理可证存在唯一使得．即得，又，且在上单调递增，即可通过单调性证明； （3）由，得再由（1）知，再利用裂项相消求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上饶市2026届高三年级第一次高考模拟考试 数学试题 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第I卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效． 3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效． 4．本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. 4 B. 9 C. 16 D. 25 4. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 将6个相同的小球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子都要有小球，则不同的放球方法共有（ ） A. 4种 B. 6种 C. 10种 D. 12种 6. 已知，且，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 7. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 对定义域内的任意两个不相等的实数恒成立 D. 若实数满足，则 8. 已知正方体的棱长为4，棱上的点满足与交于点 ．若平面经过点且与垂直，则平面截该正方体所得截面的面积为（ ） A. 4 B. 7 C. 4 D. 7 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 偶函数 C. 图象关于点中心对称 D. 在区间上单调递减 10. 已知函数，则（ ） A. 在点（2，a-4）处的切线方程为 B. 若有两个极值点，则 C. 当 时，有两个零点 D. 当时，直线与的图象一定有三个不同的交点 11. 对任意有序正实数对，若存在过点的直线与双曲线交于两点，且 为线段 的中点，则称该数对为有效数对，否则称为无效数对，则下列数对中是有效数对的有（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则___________． 13. 在边长为3的正方形中， 三点分别在上，满足，则五边形面积的最大值是___________． 14. 方程的整数解的组数为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2025年“十一”黄金周期间，上饶市文旅局对五大热门景区（三清山、婺源、龟峰、葛仙村、望仙谷）的游客数据进行了统计．已知前五日每日总游客接待量（，单位：万人次）与全市旅游综合收入，单位：亿元的抽样数据如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 29 32 36 30 28 6 7 8 6.5 5.5 （1）根据数据建立旅游综合收入关于游客接待量的线性回归方程，并预测第六日游客接待量达到38万人次时，该市旅游综合收入的估计值； （2）在“十一”黄金周期间，望仙谷景区单日客流量超过承载上限（5万人次）的概率为0.4．黄金周七天中随机抽取三天，记客流量超过承载上限的天数为，求的分布列及数学期望． 参考数据：． 参考公式：． 16. 在平面四边形中，，将沿翻折至 ，满足 ． （1）证明：平面 平面； （2）求平面 与平面 的夹角的余弦值． 17. 已知递增的等差数列满足，数列的各项均为正数，，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）如图，斜率存在且不为0的直线与相交于点（在的左侧），，分别为左右焦点，设直线的斜率分别为，且． ①求证：直线过定点； ②设直线相交于点，求证：为定值． 19. 已知函数， （1）求证：当时，； （2）记在的唯一零点为，求证：； （3）在（2）的条件下记，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $