精品解析：山东省泰安市泰山中学2025-2026学年高一上学期1月自我诊断数学试题

山东省泰安市泰山中学2026年1月份高一上学期 自我诊断测试题 一、单选题 1. 已知集合. 若，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题是真命题的是（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知函数，有下列命题： ①为函数图象的一条对称轴； ②将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为； ③在上恰有3个零点，则实数的取值范围是； ④函数在上单调递减，其中错误的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 函数，满足对任意不相等的成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，，，且，则（    ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 若的定义域为，则 B. 若的值域为，则 C. 若的定义域为，则 D. 若在上单调递增，则 二、多选题 9. 下列结论中正确的有（ ） A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C. 若角为第二象限角，则角为第一象限角 D. 若角的终边过点，则 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 若函数，则的定义域为 B. 函数的值域为 C. 若直线与函数的图象有且只有4个公共点，则实数k的取值范围为 D. 函数的所有零点之和为 三、填空题 12. 计算______. 13. 已知角的终边经过点，则_____________． 14. 定义，函数，若在区间上的值域为，则的最大值为__________． 四、解答题 15. （1）计算； （2）计算． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的最大值及取得最大值时x的值； （3）当时，求的单调递增区间． 17. 已知函数的图象经过点. （1）求的值； （2）求不等式的解集； （3）若成立，求实数的取值范围. 18. 为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”.经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入为元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为（单位：元）. （1）求单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 19. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）先将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若对任意，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省泰安市泰山中学2026年1月份高一上学期 自我诊断测试题 一、单选题 1. 已知集合. 若，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得：，分和两种情况，结合包含关系分析求解. 【详解】因为则 (1)若，则，解得； (2)若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故选： C. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“”为全称量词命题，该命题的否定为“”. 故选：D. 3. 下列命题是真命题的是（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质，及不等式同向可加性和同向同正可乘性，以及作差法比较大小，即可求解. 【详解】当时，若，则，这是真命题，但是当时，显然，故A错误； 由可得，，利用同向不等式可加性得：，故B错误； 由， 因为，所以，即，故C正确； 若，则，这里，不妨取， 则，与相矛盾，故D错误； 故选：C. 4. 已知函数，有下列命题： ①为函数图象的一条对称轴； ②将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为； ③在上恰有3个零点，则实数的取值范围是； ④函数在上单调递减，其中错误的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简，根据对称轴处取得最值判断①；先求出，再根据余弦函数的性质判断②；根据零点求值判断③；根据正弦函数的单调区间判断④. 【详解】由 . 对于①，， 则为函数图象的一条对称轴，故①正确； 对于②，， 当时，， 由于在上的最大值为，所以，则， 所以的最大值为，故②正确； 对于③，当时，， 因为在上恰有3个零点， 所以，解得，故③错误； 对于④，当时，， 因为在上单调递减， 所以函数在上单调递减，故④正确. 故选：A. 5. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由图象得到，，则，再由五点法再结合单调性求出即可得到函数解析式. 【详解】由图可知,,则 由图像根据五点法，当 时,对应得到, 即，因为，所以或， 当，验证单调递增区间： 令， 当时，为其一个增区间，由图象可得位于减区间上，矛盾， 所以. 故选：D 6. 函数，满足对任意不相等的成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可判断函数在上严格单调递增，然后根据一次函数和指数函数的单调性列出不等式，求出解集即可. 【详解】因为函数对任意不相等的，都有， 所以函数在上严格单调递增. 因为，则有. 解得. 故选：B. 7. 已知函数的定义域为，，，且，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法，可判断A、B；利用赋值法，可得，又，由的值及可推导出，可判断C；由及可判断D. 【详解】对于A，令，则， 又，则，所以，故A错误； 对于B，令，则， 又，，所以，解得，故B错误； 对于C，令，则， 又，则， 由上可知，故， 所以，可得，即，故C正确； 对于D，由，得， 所以， ， 由选项C中分析知，所以，故D错误. 故选：C. 8. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 若的定义域为，则 B. 若的值域为，则 C. 若的定义域为，则 D. 若在上单调递增，则 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据定义域、值域、单调性的要求，结合二次函数的性质分析各选项，通过韦达定理、判别式等工具验证结论. 【详解】选项A：若定义域为，则对恒成立. 当时，恒成立； 当时，需且，即. 故，选项A错误. 选项B：若值域为，则需取遍所有正实数， 需且，即. 选项B中漏掉，错误. 选项C：若定义域为，则是方程的根. 由韦达定理，根的积为，解得. 验证：的解集为，符合，选项C正确. 选项D：在上递增，需在上递增且恒正. 的对称轴为，故，且， 即，选项D错误. 故选：C 二、多选题 9. 下列结论中正确的有（ ） A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C. 若角为第二象限角，则角为第一象限角 D. 若角的终边过点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，将转化为，从而得到与的终边相同，由的终边是第三象限角得到的终边是第三象限角；选项B，设扇形的半径为，利用扇形的弧长公式得到，从中解出，利用扇形面积求解即可；选项C，角为第二象限角得到，求得，对分奇偶讨论求解即可；选项D，利用任意角的三角函数的定义求解. 【详解】选项A，，与的终边相同，的终边是第三象限角，的终边是第三象限角，故选项A正确； 选项B，设扇形的半径为，圆心角为的扇形的弧长为， ，，扇形面积为，故选项B正确； 选项C，角为第二象限角，， ， 当时，，则角为第一象限角； 当时，， ，则角为第三象限角； 故选项C错误； 选项D，角的终边过点， ，，， 故选项D正确. 故选：ABD. 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本不等式和基本不等式等号成立的条件判断ACD，利用乘“1”法判断B. 【详解】选项A：因为，所以，当且仅当，即，时取等号， 所以有最大值为，A说法正确； 选项B：， 当且仅当，即，时取等号， 所以有最小值为，B说法正确； 选项C：因为，所以， 结合A中结论可得，当且仅当，时取等号， 所以有最小值为，C说法正确； 选项D：因为，当且仅当，即，时取等号， 与是正实数矛盾，D说法错误； 故选：ABC 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 若函数，则的定义域为 B. 函数的值域为 C. 若直线与函数的图象有且只有4个公共点，则实数k的取值范围为 D. 函数的所有零点之和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题设得，结合指数函数的性质及周期性求值域判断A、B；画出函数大致图象，数形结合判断C；解指数方程，利用周期性确定零点，最后求和判断D. 【详解】A：由题设，则定义域为，对； B：当时，当时，即为周期函数，故值域也为，对； C：由解析式可得函数图象如下，则直线与图象有且只有4个公共点， 若过则，过则， 结合图知，且，错； D：令，可得，结合周期性及函数图象知， 在上的零点有、、， 所以，所有零点的和为，对. 故选：ABD 三、填空题 12. 计算______. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂与对数的基本运算法则进行计算即可. 【详解】原式 故答案为： 13. 已知角的终边经过点，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，利用三角函数的诱导公式，可得答案. 【详解】由于角的终边经过点，故， 所以. 故答案为：. 14. 定义，函数，若在区间上的值域为，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得，画出函数图象，根据值域端点值求出对应的自变量，讨论确定的最大值. 【详解】当时，解得或， 由题意可得当或时，，当时，， 即，作出的图象如图所示： 当时，，令，解得，令，无解， 当时，，令，解得，令，解得， 当时，，令，解得，令，解得， 由图知：当，时，的值域为， 此时的最大值为； 当，时，的值域为，此时， 因为，所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15. （1）计算； （2）计算． 【答案】（1）；（2）5 【解析】 【分析】（1）由指数的运算性质即可求解； （2）由对数的运算性质即可求解. 【详解】（1） （2） 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的最大值及取得最大值时x的值； （3）当时，求的单调递增区间． 【答案】（1） （2）的最大值为，取得最大值时x的值为 （3）， 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式化简，然后利用最小正周期的公式计算可得结果； （2）根据正弦函数的最值求解即可； （3）根据正弦函数的单调性计算可得结果. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期为. 【小问2详解】 令，解得， 所以当时，取得最大值， 所以的最大值为，取得最大值时x的值为. 【小问3详解】 令，解得，， 当时，，当时，， 所以当时，的单调递增区间为，. 17. 已知函数的图象经过点. （1）求的值； （2）求不等式的解集； （3）若成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入点的坐标可得解析式； （2）判断奇偶性和单调性，利用性质可解不等式； （3）利用单调性转化为，结合基本不等式可求答案. 【小问1详解】 因为函数的图象经过点，所以，解得. 【小问2详解】 ，定义域为，，即为奇函数； 因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 等价于，即， 所以，解得或，故解集为. 【小问3详解】 由（2）可知函数为增函数，，所以； 等价于，即在恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以在上的最小值为， 所以，即， 实数的取值范围是. 18. 为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”.经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入为元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为（单位：元）. （1）求单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1） （2）当施用肥料为4千克时，该水果单株利润最大，最大利润是240元 【解析】 【分析】（1）利用该水果树单株产量乘以市场售价减投入总成本即可得出利润表达式； （2）根据定义域求每段函数的利润最大值比较后可得答案. 【小问1详解】 由题意可得， 即，整理得. 【小问2详解】 当时，是对称轴为且开口向上的抛物线， 所以当时，； 当时，， 因为，当且仅当即取等号， 所以； 综上所述，当施用肥料为4千克时，该水果单株利润最大，最大利润是240元． 19. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）先将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若对任意，，求实数的最小值． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）根据图象上的最值、周期和点的坐标，结合正弦函数的图象和性质求解即可； （2）先根据三角函数图象的伸缩变换得到，再求出在上的值域，将原问题转化为即可求解. 【小问1详解】 根据图象可得，，则， 因为，所以， 将代入的解析式，得， 结合图象知，解得， 因为，所以， 所以． 【小问2详解】 由（1）知， 将的图象向左平移个单位长度得的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍得的图象， 因为，所以，则， 所以， 故在上的值域为， 对任意的，，则只需即可， 所以，即实数的最小值为12． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $