精品解析：重庆市巴川系2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

巴川系高28届高一（上）期末考试 数学试卷 命审单位：量子学校 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知扇形的弧长为，半径为4，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 6. 幂函数在上单调递增，则函数（）图象过定点（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的所有实数根的和是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若角是第二象限角，则不可能在第三象限 B. C. 若且，则为第三象限角 D. 若角的终边经过点，则 11. 已知函数、的定义域均为，，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 为奇函数 C. 的周期为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 13. 已知，，且，则的最小值为______． 14. 已知，，分别是函数与的零点，若，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）求的值； （2）已知，先化简再求值． 16. 已知. （1）若的解集为，求关于的不等式的解集； （2）解关于的不等式. 17. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，重庆名茶永川秀芽用95℃的水冲泡，等茶水温度降至55°C饮用，口感最佳．巴川某学校的科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 （1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用表中的前两组数据求出相应的解析式． （2）根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：放置时间越长，茶水温度越接近室温）； （ⅱ）求用95℃的水刚泡好的永川秀芽达到最佳饮用口感的放置时间．（参考数据：，） 18. 已知函数，． （1）求的定义域； （2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明： （3）若，，，求的取值范围． 19. 已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． （1）求函数与函数的解析式与定义域； （2）用分段函数的形式写出函数的解析式； （3）函数（）在上有三个零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴川系高28届高一（上）期末考试 数学试卷 命审单位：量子学校 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合，由集合并集的定义求得结果. 【详解】∵，∴，即， ∵，∴，∴， ∴. 故选：B. 2. 已知扇形的弧长为，半径为4，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由扇形面积公式即可求得结果. 【详解】因为扇形的弧长，半径， 所以. 故选：B 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将函数化为分段函数，作图即可求解. 【详解】， 作出函数图象，如图： 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 4. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，将与中间值进行比较即可求出答案. 【详解】，即， ， ， 故. 故选：D. 5. 与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用终边相同的角的概念可得结果. 【详解】因为，故与角终边相同的角是. 故选：C. 6. 幂函数在上单调递增，则函数（）图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数定义求得，然后由指数函数的性质求得定点坐标. 【详解】由题意可知，∴， ∴，令，即，， ∴函数图象过定点. 故选：C. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为， 且， 函数为奇函数，CD选项错误； 又当时，，B选项错误. 故选：A. 8. 已知定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的所有实数根的和是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设，求出方程的解，利用函数的奇偶性作出函数在时的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】设，则关于的方程， 等价，解得或， 当时，，此时不满足方程． 作出当时，的图象如下图： 当时，对应个实根，且这三个根之和为， 当时，对应个实根，且这四个根之和为， 因为函数是奇函数，所以方程对应个实根，且这四个根之和为， 因此关于的方程的所有实数根的和是. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由不等式的基本性质求得结果. 【详解】∵，∴，A选项正确； ∵，∴，B选项错误； 当时，，此时，C选项错误； ∵，，即，∴，D选项正确. 故选：AD. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若角是第二象限角，则不可能在第三象限 B. C. 若且，则为第三象限角 D. 若角的终边经过点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意写出的范围，从而求得的范围，取的值即可判断A选项；利用诱导公式化简等式左边即可判断B选项；由分别判断所在象限，即可判断C选项；根据三角函数的定义求得，判断D选项. 【详解】∵，∴， 当时，在第一象限， 当时，在第二象限， 当时，在第四象限， 故不可能在第三象限，A选项正确； ，B选项正确； 当时，在二、三象限，当时，在一、二象限， 所以若且，则为第二象限角，C选项错误； ，D选项正确. 故选：ABD. 11. 已知函数、的定义域均为，，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 为奇函数 C. 的周期为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知得，将转化为，给、取值推导奇偶性和周期性解决问题. 【详解】对于A选项，，A对； 对于C选项，因为，所以， 所以， 令，则①， 所以②， ①②可得， 所以，则， 所以，因此的周期为，故C正确； 对于B选项，令，， 令，，， 则，故，， 故为偶函数，所以B不正确； 因为，故的图象关于直线对称， 且，， 令，，则，令，，， 则，，， 所以，且， 则，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用构造齐次式，然后弦化切求得结果. 【详解】已知， 则 故答案为： 13. 已知，，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知，，分别是函数与的零点，若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，分别是函数，与图象交点的横坐标，根据同底的指数函数与对数函数的关系及直线的特点可得两个交点关于直线对称，可得，根据的范围得到的范围即可求解. 【详解】因为是函数的零点， 所以是方程，即方程的根， 所以是函数与图象交点的横坐标， 同理是函数与图象交点的横坐标， 函数与函数的图象关于直线对称， 直线也关于直线对称， 因此两个交点关于直线对称， 所以， 又因为，由图象可知， 所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）求的值； （2）已知，先化简再求值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将两边平方，利用同角三角函数关系求出，根据的范围判断，再利用同角三角函数关系即可求解. （2）利用诱导公式对进行化简，联立，，求得，代入即可求出答案. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 因为，所以，又，所以， 所以， 则. 【小问2详解】 ， 联立，解得， 所以. 16. 已知. （1）若的解集为，求关于的不等式的解集； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解集与一元二次方程的根的关系求出，代入求解分式不等式即可得答案； （2）不等式可化为，分为，和三种情况，分别求解即可. 【小问1详解】 因为的解集为，所以为方程的两个根， 所以，解得， 所以不等式可化为，移项通分得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 即，可化为， 令，解得，， 函数开口向上， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 17. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，重庆名茶永川秀芽用95℃的水冲泡，等茶水温度降至55°C饮用，口感最佳．巴川某学校的科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 （1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用表中的前两组数据求出相应的解析式． （2）根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：放置时间越长，茶水温度越接近室温）； （ⅱ）求用95℃的水刚泡好的永川秀芽达到最佳饮用口感的放置时间．（参考数据：，） 【答案】（1）选模型②，解析式为 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由表格数据可知函数单调性及变化快慢，选模型②，把前组数据代入求出的值，即可得到函数解析式； （2）（i）利用指数函数的性质求解； （ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可． 【小问1详解】 由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型为单调递增的函数，不符合， 模型为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故选模型， 则，解得， 所以； 【小问2详解】 （i）因为当趋于无穷大时，无限接近于，所以推测实验室室温为； （ii）令，则， 所以， 即刚泡好的永川秀芽达到最佳饮用口感的放置时间为． 18. 已知函数，． （1）求的定义域； （2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明： （3）若，，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） ， ∴函数在上的单调递减， 任取，且， 则， ∵，∴，，，即， ∴， 即函数在上的单调递减， （3） 【解析】 【分析】（1）由函数定义域定义建立不等式，即可求得的定义域； （2）通过分离常数后，判断函数在上的单调性，然后由定义法证明结论； （3）研究函数在上的值域，从而得到，由（2）中结论得到，从而表示出的范围，结合基本不等式得到的最大值，然后由所在区间，建立不等式求得的取值范围． 【小问1详解】 ∵，即，∵，∴， ∴，∴， ∴的定义域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，∴ 由（2）可知， 当时，，则，即， 当时，，则，即， ∵，且，∴，∴ 由（2）可知函数在上的单调递减， ∴，∴， ∴， ∵，当且仅当，即时取等号， ∴， 当，，显然， 当时，，要想， 则，即. ∴. 19. 已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． （1）求函数与函数的解析式与定义域； （2）用分段函数的形式写出函数的解析式； （3）函数（）在上有三个零点，求的取值范围． 【答案】（1），定义域为，，定义域为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由函数奇偶性定义列出关系式，然后解得，由函数解析式求得函数定义域； （2）由（1）写出及其定义域，求解集，由解集讨论的取值范围，然后通过对数的运算化简函数解析式，即可求得答案； （3）代入函数，求得函数，令，并讨论的取值得到两个方程，由二次方程的解的个数讨论的取值，然后借助二次函数零点存在性建立不等式组，求得的取值范围． 【小问1详解】 由题意可知， ∴，即 ∵，即，∴， ∵，∴， ∴，定义域为，，定义域为. 【小问2详解】 ， 由（1）可知函数定义域为， 当，即，则，又∵， ∴当时，，即， ∴， ∴当时，，即， ∴， 故， 【小问3详解】 ， ， 令，即， 当时，，即，∴， 当时，，即，∴， 当时，方程无解，要想有三个解，则二次方程需存在三个不同解，显然不成立， 当时，，则只有一个解，不成立， ∴，方程的解为，又∵， 则，∴，∴，∴ ∴二次方程需在存在两个不同解， 令，开口向上，且对称轴为， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 则，，则， 解得， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $