精品解析：广东中山市第一中学2025-2026学年八年级上学期数学知识梳理10.12

初二上数学知识梳理 一、单选题 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项A、B、D均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 选项C，不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列各线段能构成三角形的是（ ） A. 7cm、5cm、12cm B. 6cm、7cm、14cm C. 9cm、5cm、11cm D. 4cm、10cm、6cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系逐一判断即可 【详解】A、7+5=12，不能组成三角形，故本选项不符题意； B、6+7＜14，不能组成三角形，故本选项不符题意； C、9+5＞11，能组成三角形，故本选项符合题意； D、4+6=10，不能组成三角形，故本选项不符题意 故选：C 【点睛】本题考查了三角形三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成三角形． 3. 在平面直角坐标系中，点P（-2，3）关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. （-2，-3） B. （2，-3） C. （-3，2） D. （2，3） 【答案】A 【解析】 【分析】在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数． 【详解】解：点P（-2，3）关于x轴对称的点的坐标（-2，-3）． 故选A． 4. 如图，于点E，于点F，于点D，则中边上的高是线段（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，过三角形的一共顶点向对边作垂线，这个垂线段就叫做该顶点对边上的高，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴中边上的高是线段， 故选：C． 5. 如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠DAE的度数为（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 【答案】A 【解析】 【分析】在三角形ABC中，由∠B与∠C的度数求出∠BAC的度数，根据AE为角平分线求出∠BAE的度数，由∠BAD﹣∠B即可求出∠DAE的度数． 【详解】解：∵∠B＝30°，∠C＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°， 又∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE＝∠BAC＝50°， ∵AD是△ABC的高， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°， 则∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝10°， 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线的概念等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解本题的关键． 6. 下列说法中错误的是（ ） A. 三角形的内角平分线的交点到三边的距离相等 B. 斜边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等 C. 两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 D. 一边长相等的两个等腰直角三角形全等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，进行解答，即可． 【详解】A、三角形的内角平分线的交点到三边的距离相等，正确，不符合题意； B、斜边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等，，正确，不符合题意； C、两条直角边分别相等的两个直角三角形全等，，正确，不符合题意； D、一边长相等的两个等腰直角三角形全等，无法确定是直角边还是斜边，无法判定两个三角形全等，错误，符合题意． 故选：D． 7. 如图，已知，与交于点，添加一个适当的条件后，仍不能使得成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A：，，,有两条边和其中一边的对角相等，无法证全等．故A符合题意； B：∵，，，∴，故B不符合题意； C：∵，，，∴，故Ｃ不符合题意； D：∵，，，∴，故Ｄ不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟记定理内容是解题关键． 8. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点D、E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（　　） A. 15 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】根据和矩形的面积相等，进行求解． 【详解】在和中， 同理可得： ，， 且 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是和矩形的面积相等． 9. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角度数是（　　） A. 65° B. 65°或25° C. 25° D. 50° 【答案】B 【解析】 【分析】分三角形为钝角三角形和锐角三角形两种情况，结合条件可求得顶角或顶角的外角，再结合三角形内角和定理可求得其底角． 【详解】当该三角形为锐角三角形时，如图1， 可求得其顶角为50°， 则底角为×（180°﹣50°）＝65°， 当该三角形为钝角三角形时，如图2， 可求得顶角的外角为50°，则顶角为130°， 则底角为×（180°﹣130°）＝25°， 综上可知该三角形的底角为65°或25°， 故选B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质. 10. 如图，在等边三角形中，，D为内一点，且，E为外一点，且，连接，，有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质、全等三角形的性质和判定的应用．熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的性质和判定是解题的关键． 根据等边三角形的性质，得到等边三角形的边角关系，然后利用“边边边”证明，从而可证明结论①正确；利用“边角边”证明，从而可证明结论③正确；利用平行线的性质得出，再根据三角形的内角和定理求出，求得，则可证明是的中垂线，再根据含的直角三角形性质求出中边上的高，即可求得，即结论④正确；证明，则有，根据对顶角相等有，根据三角形的内角和定理可得，若，则，而不一定等于，故结论②错误； 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形， ，， ，， ， ，； 结论①正确； ， ， ，， ， ． 结论③正确； ， ， ，， 设， ， ， ， ， 解得：， ， ， 是的中垂线 ，， 边上的高为， ， 结论④正确； ，， ， ， 又， 若，则， 而不一定等于，故结论②错误； 故①③④正确，共3个结论正确， 故选C． 二、填空题 11. 若一个等腰三角形两边长分别为和2，则它的周长为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论，当腰长为2或腰长为4两种情况． 【详解】解∶当腰长是2时，则三角形的三边是2，2，4，不满足三角形的三边关系； 当腰长是4时，三角形的三边是4，4，2，，能构成三角形，此时三角形的周长， 故答案为∶． 12. 如图，小明沿倾斜角的山坡从山脚步行到山顶，共走了，则山的高度是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：依题意，中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含度角的直角三角形的性质，掌握度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 13. 如图，等边的边长为6，的角平分线交于点D，过点D作，交、于点E、F，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，角平分线的定义和平行线的性质，根据和分别平分和，和，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出，．然后即可得出答案． 【详解】解：解：∵在中，和分别平分和， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴的周长为， 故答案为：． 14. 如图，，，，点在线段上．若，，则________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．由，可得，结合题意可证明，得到，最后根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：， ， ， 又，， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，是角平分线，于点E，的面积为15，，，则的长是 _____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，面积法，利用角平分线性质定理作辅助线是解答本题的关键．过点D作于点F，根据角平分线性质定理可得，再利用面积法列方程并求解，即得答案． 【详解】过点D作于F， 是角平分线，，， ， ， 解得． 故答案为：4． 三、解答题 16. 如图，在中，，，是的垂直平分线，分别交于点D和E． （1）尺规作图：求作（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求的度数． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）根据是的垂直平分线，即可求作； （2）根据垂直平分线的性质即可求的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中， ∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 17. 已知点A(2a-b,5＋a),B(2b－1,-a＋b). (1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值； （2）若A、B关于y轴对称，求﹙4a+b﹚2014的值. 【答案】（1） ，（2）1. 【解析】 【分析】（1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：（1）∵点A，B关于x轴对称， ∴，  解得；  （2）∵A，B关于y轴对称，  ∴，  解得，  所以（4a+b）2016=[4×（-1）+3]2016=1． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 18. 在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出关于y轴对称的； （2）直接写出，，三点的坐标；． （3）点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的Q点有______个． 【答案】（1） 如图：即为所求， （2）， ， （3） 【解析】 【分析】本题考查轴对称作图，图形与坐标，熟练掌握轴对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键． （1）由点的对称性，作出图形即可； （2）关于轴对称的点的坐标特点：横坐标变为相反数，纵坐标不变，即可求解； （3）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图可知，， 点关于轴对称的点为，点关于轴对称的点为，点关于轴对称的点为， ， ， 【小问3详解】 如图：以为圆心，长为半径作圆，此圆与坐标轴有个交点， 以为圆心，长为半径作圆，此圆与坐标轴有个交点， 作线段的垂直平分线，此线与坐标轴有个交点， ∴是等腰三角形时，点坐标有个， 故答案为：． 19. 已知：如图，． 求证：是等腰三角形． 【答案】 证明：∵， ∴． ∴（全等三角形的对应角相等）． ∴（等角对等边）． ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理得到△ABD≌△DCA，根据全等三角形的性质、等角对等边证明结论． 【详解】略 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 20. 如图，四边形中，平分，，和互补． （1）求证：； （2）若，，求出的长度． 【答案】（1） 证明：作，交延长线于， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴，， 在与中，， ∴， ∴； （2）6 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理． （1）作，交延长线于，可知，结合题意可得，由角平分线的性质定理可得，进而利用“”可证，即可证明结论； （2）由（1）可知，，，可得，再利用“”可证，可得，由，即可求解． 利用角平分线的性质添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 在与中，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴． 21. 课本回归：如图，人教版八年级上册数学教材第面数学活动：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【猜想证明】 （1）试猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并证明你的猜想； 【探究应用】 （2）过点作交于点，若，求的度数． 【答案】（1） ， 证明：在和中， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． （）由，，根据全等三角形的判定定理“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”证明，得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明； （）由，得，而，所以，则，即可解答； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ， ，且， ， ， ， ． 22. 如图，为等边三角形，D、E分别是、上的点，且，与相交于点F． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，过点C作于点H，若，，求的长度． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）证明≌，得到，进而解题； （2）证明，进而结合全等三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质解题． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ∴≌， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵≌， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 23. 引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”． ① 　；② 　． （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°．请你说明CD是△ABC的等角分割线． （3）在△ABC中，若∠A=40°，CD为△ABC的等角分割线，请你直接写出所有可能的∠B度数． 【答案】（1）与；与 （2） 解：∵， ∴ ∵CD为角平分线 ∴ ∵ ∴是有两个角相等的三角形 ∵，， ∴与原来三角形是“等角三角形” ∴CD是△ABC的等角分割线． （3）60°；30°；； 【解析】 【分析】（1）由题意知，，可说明与是“等角三角形”，根据，可说明与是“等角三角形”，进而可得答案； （2）根据三角形内角和定理计算，由角平分线的定义可知，，可说明是有两个角相等的三角形，由，，，可说明与原来三角形是“等角三角形”，进而结论得证； （3）由题意可知，分4种情况求解：①当是有两个角相等的三角形，且时，如图1，由（2）可知，；②当是有两个角相等的三角形，且时， 如图2，由题意知，则，，进而可知的值；③当是有两个角相等的三角形，且时，与是“等角三角形”，如图3，，，根据求出的值即可；④当是有两个角相等的三角形，且时，与是“等角三角形”如图4，则，，根据求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵ ∴ 同理 ∴与是“等角三角形” ∵ ∴与是“等角三角形” 故答案为：与；与． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当是有两个角相等的三角形，且时，如图1， 由（2）可知，，满足CD为△ABC的等角分割线； ②当是有两个角相等的三角形，且时， 如图2， 由题意知， ∴， ∴， ∴时，满足CD为△ABC的等角分割线； ③当是有两个角相等的三角形，且时，与是“等角三角形”，如图3， ， ∵ ∴ ∴时，满足CD为△ABC的等角分割线； ④当是有两个角相等的三角形，且时，与是“等角三角形”如图4， ∴ ∵ ∴ ∴ 时，满足CD为△ABC的等角分割线； 综上所述，的度数为 或或 或 ． 【点睛】本题考查了角平分线，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于理解题意熟练掌握角度的求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二上数学知识梳理 一、单选题 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各线段能构成三角形的是（ ） A. 7cm、5cm、12cm B. 6cm、7cm、14cm C. 9cm、5cm、11cm D. 4cm、10cm、6cm 3. 在平面直角坐标系中，点P（-2，3）关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. （-2，-3） B. （2，-3） C. （-3，2） D. （2，3） 4. 如图，于点E，于点F，于点D，则中边上的高是线段（　　） A. B. C. D. 5. 如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠DAE的度数为（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 6. 下列说法中错误的是（ ） A. 三角形的内角平分线的交点到三边的距离相等 B. 斜边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等 C. 两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 D. 一边长相等的两个等腰直角三角形全等 7. 如图，已知，与交于点，添加一个适当的条件后，仍不能使得成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点D、E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（　　） A. 15 B. 20 C. 30 D. 40 9. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角度数是（　　） A. 65° B. 65°或25° C. 25° D. 50° 10. 如图，在等边三角形中，，D为内一点，且，E为外一点，且，连接，，有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 11. 若一个等腰三角形两边长分别为和2，则它的周长为_________． 12. 如图，小明沿倾斜角的山坡从山脚步行到山顶，共走了，则山的高度是______． 13. 如图，等边的边长为6，的角平分线交于点D，过点D作，交、于点E、F，则的周长为________． 14. 如图，，，，点在线段上．若，，则________． 15. 如图，在中，是角平分线，于点E，的面积为15，，，则的长是 _____． 三、解答题 16. 如图，在中，，，是的垂直平分线，分别交于点D和E． （1）尺规作图：求作（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求的度数． 17. 已知点A(2a-b,5＋a),B(2b－1,-a＋b). (1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值； （2）若A、B关于y轴对称，求﹙4a+b﹚2014的值. 18. 在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出关于y轴对称的； （2）直接写出，，三点的坐标；． （3）点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的Q点有______个． 19. 已知：如图，． 求证：是等腰三角形． 20. 如图，四边形中，平分，，和互补． （1）求证：； （2）若，，求出的长度． 21. 课本回归：如图，人教版八年级上册数学教材第面数学活动：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【猜想证明】 （1）试猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并证明你的猜想； 【探究应用】 （2）过点作交于点，若，求的度数． 22. 如图，为等边三角形，D、E分别是、上的点，且，与相交于点F． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，过点C作于点H，若，，求的长度． 23. 引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”． ① 　；② 　． （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°．请你说明CD是△ABC的等角分割线． （3）在△ABC中，若∠A=40°，CD为△ABC的等角分割线，请你直接写出所有可能的∠B度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $