1.3二次根式的运算（第3课时）课时分层练 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

浙教版八下1.3二次根式的运算（第3课时） 课时分层练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 夯实基础 1．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如果一个三角形的面积为，一边长为，那么这条边上的高是（   ） A．4 B．3 C．2 D． 3．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 4．如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足关系式．已知导线的电阻为，时间导线产生100J的热量，则电流等于（   ） A．5A B． C． D． 6．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为1，，则⊙A的直径长为(   ) A． B． C． D． 7．将一组数，2，，，，…，，按下列方式进行排列： ，2，，，； ，，4，，； … 若2的位置记为，的位置记为，则这个数的位置记为（　　） A． B． C． D． 8．为整数，则正整数n的最小值为 ． 9．若，则xy的立方根为 ． 10．观察下列各式： 当n＝3时，， 当n＝4时，， 当n＝5时，， 根据以上规律，写出当n＝7时的等式是 ． 11．如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32． (1)求正方形ABCD和正方形ECFG的边长； (2)求阴影部分的面积． 能力提升 12．已知化简的结果是一个整数，则正整数a的最小值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 13．已知，则（　　） A． B． C． D． 14．如图所示，点，点分别在坐标轴上，第一象限中的点P坐标为，且满足，则a的值为（　　） A．2 B． C． D． 15．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为现在已知的三边长分别是，，，则三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 16．在实数范围内分解因式：2x2﹣6＝ ． 17．如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为 ． 18．将一组数，2，，，…，按图中的方法排列： ，2，，，，， ，4，，，，， ，，，，，，6 … 若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大数的位置记为 ． 19．如图，李明家有一块矩形空地，已知，．现要在空地中挖一个矩形水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中矩形水池的长为，宽为． (1)求矩形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为7元，且每平方米产草莓．若李明家将所收获的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 拓展培优 20．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝　 　，b＝　 　； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空： ＋　 　＝(　 　＋　 　)2； （3）若，且a、b、m、n均为正整数，求a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙教版八下1.3二次根式的运算（第3课时） 课时分层练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 夯实基础 1．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据题意求出、，再计算与的比值即可得解．正确进行计算是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 2．如果一个三角形的面积为，一边长为，那么这条边上的高是（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的应用，三角形面积公式，熟练掌握运算法则是解答关键． 利用三角形面积公式列出方程求解． 【详解】解：设这条边上的高为， 一个三角形的面积为，一边长为， ， 解得． 故选：A． 3．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】C 【分析】绝对值和二次根式都大于等于零，所以，，求得x，y的值，即可求得最后结果． 【详解】解：，，， ，， ，， ， 故选：C． 4．如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形面积求出阴影部分的长和宽，再求面积即可． 【详解】解：由图可知，阴影部分的长为＝4＝3（cm）， 宽为：cm， ∴阴影部分的面积为：3×＝6（）， 故选：C． 5．电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足关系式．已知导线的电阻为，时间导线产生100J的热量，则电流等于（   ） A．5A B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键． 根据焦耳定律公式求解电流，需将已知量代入公式，通过代数运算求出电流的值． 【详解】解：已知焦耳定律公式，其中，，，将这些值代入公式求解电流： ． 故选：C． 6．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为1，，则⊙A的直径长为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件可以求出线段AB的长度，然后根据直径等于2倍的半径，即可解答． 【详解】解：∵数轴上A、B两点表示的数分别为1和， ∴AB＝﹣1， ∵⊙A的直径为2AB＝2﹣2． 故选C． 7．将一组数，2，，，，…，，按下列方式进行排列： ，2，，，； ，，4，，； … 若2的位置记为，的位置记为，则这个数的位置记为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可． 【详解】解：这组数据可表示为：,… ∵， ∴为第4行，第3个数字． 故选：C． 8．为整数，则正整数n的最小值为 ． 【答案】5 【分析】把的被开方数配成一个最小的完全平方数,因5是质数,不需要进行分解质因数,容易看出n为5． 【详解】∵5是质数, 是整数, ∴正整数n的最小值是5． 故答案为：5． 9．若，则xy的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，立方根，解题关键是牢记两非负数和为0即这两个数分别为0． 由可得：求出的值即可求解． 【详解】解：由可得： 解得： 所以的立方根是． 故答案为：． 10．观察下列各式： 当n＝3时，， 当n＝4时，， 当n＝5时，， 根据以上规律，写出当n＝7时的等式是 ． 【答案】 【分析】根据题意得出相关规律，然后计算即可． 【详解】解：当n＝3时，， 当n＝4时，， 当n＝5时，， ∴当n＝n时，， ∴当n＝7时，， 故答案为：． 11．如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32． (1)求正方形ABCD和正方形ECFG的边长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1)正方形ABCD的边长为2，正方形ECFG的边长为4 (2)阴影部分的面积为12 【分析】（1）根据正方形的面积公式直接开平方得出正方形的边长即可； （2）用两个正方形的面积之和减去直角三角形ABD和直角三角形BGF的面积，即可得出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：∵正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32， ∴正方形ABCD的边长为，正方形ECFG的边长为． （2）阴影部分的面积为： 能力提升 12．已知化简的结果是一个整数，则正整数a的最小值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】根据二次根式的乘法法则计算得到，再根据条件确定正整数的最小值即可． 【详解】的结果是一个整数， 正整数的最小值是． 故选：C 13．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平方关系：，先代值，再开平方． 【详解】解： ， 故选C． 14．如图所示，点，点分别在坐标轴上，第一象限中的点P坐标为，且满足，则a的值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了坐标与图形、三角形的面积等知识，数形结合和添加合适辅助线是解题的关键．连接，过点P作轴于点C，过点P作轴于点D，根据已知得到，然后根据面积关系进行计算即可． 【详解】解：连接，过点P作轴于点C，过点P作轴于点D， ∵点，点，点P坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：C 15．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为现在已知的三边长分别是，，，则三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答． 根据题目中的面积公式可以求得的三边长分别是，，的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：， 的三边长分别是，，的面积为：， 故选：B． 16．在实数范围内分解因式：2x2﹣6＝ ． 【答案】2（x）（x） 【分析】先提取公因式2后，再把剩下的式子写成，符合平方差公式的特点，可以继续分解． 【详解】解：2x2﹣6 ＝2（x2﹣3） ＝2（x）（x）． 故答案为2（x）（x）． 17．如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】24 【分析】此题考查了二次根式的应用，利用二次根式化简求出两个小正方形的边长，得到大正方形的边长，求出大正方形的面积，即可得到阴影面积，正确掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴图中阴影部分面积为 故答案为24． 18．将一组数，2，，，…，按图中的方法排列： ，2，，，，， ，4，，，，， ，，，，，，6 … 若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大数的位置记为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探索，先将原数阵中的数全部化为算术平方根的形式，总结规律可得(m为正整数)在第m行的第4个，再由可得解．将原数阵中的数全部化为算术平方根的形式，从而发现规律是解题的关键． 【详解】将原数阵中的数全部化为算术平方根的形式，可得： ，2，，，，， ，4，，，，， ，，，，，，6 … 观察可知：(m为正整数)在第m行的第4个， ∴，在第169行的第4个， ∴这组数中最大数的位置记为， 故答案为： 19．如图，李明家有一块矩形空地，已知，．现要在空地中挖一个矩形水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中矩形水池的长为，宽为． (1)求矩形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为7元，且每平方米产草莓．若李明家将所收获的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)销售收入为3780元 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键． （1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，长方形空地的周长为： ． （2）解：由题意，得， ， ， （元）． 答：销售收入为3780元． 拓展培优 20．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝　 　，b＝　 　； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空： ＋　 　＝(　 　＋　 　)2； （3）若，且a、b、m、n均为正整数，求a的值． 【答案】（1），；（2）13，4，2，1（答案不唯一）；（3）7或13． 【分析】根据题意进行探索即可. 【详解】（1）∵， ∴， ∴a＝m2＋3n2，b＝2mn． 故答案为m2＋3n2，2mn． （2）设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝13，b＝2mn＝4． 故答案为13，4，1，2(答案不唯一)． （3）由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn． ∵4＝2mn，且m、n为正整数， ∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2， ∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝13． 学科网（北京）股份有限公司 $