安徽师范大学附属中学2024年高中自主招生考试数学试卷

机密★启用前 安徽师范大学附属中学 2024年高中自主招生考试数学试题 说明 1.全卷共5页，满分150分，考试用时120分钟 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选择其他答案，答案不能答在试题上. 4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔做答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上： 如需改动，先划掉原来的答案，然后在写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答 的答案无效 5.考生务必保持答题卡的整洁.考试结束时，将试卷和答题卡一并交回 一，选择题（本大题6小题，每小题5分，共30分）在每个小题列出的四个选项中，只有一个是正确 的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑. 1.如图，它是由六个面积为1的正方形组成的矩形，其中有A,B,C,D,E,F,G七点，则以这七个点为 顶点能组成面积为1的三角形的个数是 () A.7 B.9 C.10 D.14 G FED 2.如果关于x的方程lz-2-1川=a有且仅有三个整数解，则a的值是 () A.0 B.1 C.2 D.3 3.如图，点D在半圆上，直径AB=10,AD=4,点C在弧BD上移动，连结AC,作DH⊥AC于 H.连结BH,点C在移动的过程中，BH的最小值是 () ◇ A.2v21 B.2V21-2 C.2V22 D.2V22-2 4.若对于任何实数a,关于x的方程x2-2ax-a+2b=0都有实数根，则实数b的范围是（) AbE日 B.b≤-1 C.b≤0 D≤司 五已知等式++到十红++习十g+记+习=1成立，则五：中回能为0的数有 几个？ A.0,1 B.0,1,2 C.1 D.0 6.一条直线平分三角形的周长和面积，那么该直线必通过三角形的 A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心 二填空题（本大题9小题，每小题5分，共45分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡的相应位 置上. 7.已知a是方程x2-5x+1=0的一个根，那么a2+a-2= 8.如图所示，边长为1和边长为3的两个正方形内接于一圆，则此圆的半径为 g.化简根式V一云-立 10.关于z的不等式(2a-z+a-5动>0的解集为x<9,则关于x的不等式x>b的解集为 11.如图所示，四边形ABCD,AECF都是矩形，且AB=3.BC=11.AF=7,AE=9,则两个矩形 重叠的阴影部分面积为 2 12.如图，△POA1,△P2A1A2,·,△PnAn-1A.是等腰直角三角形，点P,P,…,Pn在函数y= c>0)的图象上，斜边0A1,A4,…,An-1An都在正轴上，则点An的坐标是” 13.对于某一自变量为x的函数，若当x=0时，其函数值也为xo,则称点(0，x0)为此函数的不 动点。若函数)=十6的图象上有两个关于原点对称的不动点。则实数。6应满足的条件为 14.如图所示，已知l1∥2∥13，且h与2的距离为2,2与4的距离为1，正三角形ABC的三个顶点 分别在l1,l2,l3上，则AB= B 15.甲、乙、丙三人做游戏：他们在三张卡片上写三个整数m,n.k(0<m<n<)每人每次摸一张卡 片，并按卡片上写的数字取等量的石子（如卡片上写m就取m粒石子），在每人各摸一张卡片并取 出石子后算完成一次游戏，然后再继续进行，当他们]进行了V(N≥2)次游戏后，甲得20粒石子 乙得10粒石子，丙得9粒石子，并且知道最后一次乙摸的k,则第一次摸n的是 三.解答题：本大题共7题，满分75分.请在答题卷相应位置上写出必要的推理计算过程 3 16.(7分)如图，已知平行四边形ABCD,AM⊥BC于M,AN⊥CD于N,证明△ABC~△MAN 17.(8分)求方程x2-2+2y-61=0的正整数解。 18.(12分)如图.直线AB.AC分别切圆O于B.C两点，P为弧BC上任意一点，PD⊥BC,PE⊥AC,PF⊥AB. 求证：PD2=PE·PF. 19.(12分)实践与探究 操作一：如图(1)有正方形纸片ABCD,将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形 ABCD的内部的M点处，再将纸片沿过A的直线折叠，使AD与AM重合.则可得到很多有 趣的性质，例如由∠AME+∠AMF=90°+90°=180°→E,M,F三点共线，我们还可以得到 ∠EAF= 度 探究一：如图（②）保持∠EAF的大小不变，使角的一边交BC于点B:另一边交CD于点F,连结 EF,探究BE,DF,EF满足的数量关系为： ,请证明. 探究二：如图(3).过E,F分别作与边平行的线段EPFQ,两线段相交于点H,如果正方形的边长 BC=3,BE=1,试求长方形EHFC与长方形QAPH的面积之比， 探究三：如图(3)，EP,FQ是与边平行的线段，如果保持探究二中，矩形EHFC与QAPH的面积 之比不变，是否有∠EAF也保持不变？请证明你的结论 D E 图(1) 图(2) 图(3 4 20.(12分)对a>b>c>0.作二次方程x2-(a+b+c)x+ab+bc+ca=0. (1)若方程有实数根，求证：a,b,c不能成为一个三角形的三条边长： (②若方程有实数根xo,求证：a>xo>b+c; (3)若方程有实根6,9时，求正整数a,b.c. 21.(12分)如图(1)所示，抛物线y=ax2+br+c经过A(1.0),B(4,0),C(0,2)三点 (①)求该抛物线的解析式： (②在抛物线上是否一点D,使得以A,C,D的顶点的三角形与△OAC相似，如有请求出满足要 求的所有点，如果没有，请说明理由. (3)如图(2)所示，点P,Q为抛物线上的动点，满足PC⊥QC,请证明直线PQ必定通过一个定点， 并求出这个定点的坐标. OA B B 图(1) 图(2) 22.(12分)货轮上卸下若干只箱子，其总重量为10吨，每只箱子的重量不超过1吨，为了保证能把这 些箱子一次运走，问至少需要多少辆载重3吨的汽车？ 分