2026年中考数学重难点一轮复习：反比例函数

2026年中考数学重难点一轮复习：反比例函数 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，反比例函数经过点，则反比例图象所在象限为（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 2．关于反比例函数，下列说法不正确的是（  ） A．双曲线过点 B．图象在第二、四象限 C．当，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 3．如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴于点，轴于点，若矩形的面积为3．则的值是（    ） A．3 B． C．6 D． 4．已知，在反比例函数为常数，的图象上，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．如图，的顶点在轴上，横坐标相等的顶点、分别在与图象上，则的面积为（　　） A． B． C． D． 6．如图，正方形ABCD的顶点分别在函数和的图象上，若轴，点C的纵坐标为4，则的值为（    ）    A．26 B．28 C．30 D．32 7．若，则函数和的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   8．如图，矩形的顶点A，B分别为反比例函数与，点C，D在x轴上，分别交y轴于点E，F，则阴影部分的面积为（   ） A． B．3 C． D．5 二、填空题 9．如图，点A在y＝（k＞0）图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于C．若＝，△AOB的面积为15，则k＝ ． 10．如图，在平面直角坐标系中，，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 11．若点（，）和点（，）在反比例函数图象上，则与的大小关系是： （填“＞”、“＜”或“=”）． 12．如图，矩形的顶点B和正方形的顶点E都在反比例函数的图象上，点B的坐标为，则点E的坐标为 ． 13．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ． 14．如图，矩形ABCD的边AB的解析式为y＝ax+2，顶点C，D在双曲线y＝（k＞0）上．若AB＝2AD，则k＝ ． 三、解答题 15．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象，直接写出满足时，x的取值范围； (3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交反比例函数的图象于点Q，若面积为，求点P的坐标． 16．如图，已知反比例函数y＝的图象经过第一象限内的一点A(n，4)，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为2． (1)求m和n的值； (2)若一次函数y＝kx+2的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求线段AC的长． 17．如图，P是反比例函数（x＞0）的图象上的一点，PN垂直x轴于点N，PM垂直y轴于点M，矩形OMPN的面积为2，且ON＝1，一次函数y＝x＋b的图象经过点P． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)设直线y＝x＋b与x轴的交点为A，点Q在y轴上，当△QOA的面积等于矩形OMPN的面积的时，直接写出点Q的坐标． 18．如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数的图象交于点A、B，与x轴交于点，若OC＝AC，且＝10 （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）请直接写出不等式ax＋b＞的解集． 19．如图，已知点A（4，a），B（﹣10，﹣4）是一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝图象的交点，且一次函数与x轴交于点C． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接AO，求△AOB的面积； （3）根据图象，直接写出不等式kx＋b≥的解集． 20．如图，反比例函数的图象经过点A、B，点A的坐标为(1，3)，点B的纵坐标为1，点C的坐标为(2，0)． (1)求该反比例函数的表达式； (2)求直线BC的表达式． 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，与x轴交于点C，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（-2，0），且tan∠ACO＝2． （1）求n的值； （2）求反比例函数和一次函数的解析式； （3）直接写出关于的不等式的解集．    22．如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝． （1）求y1，y2对应的函数表达式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】设反比例函数为：，把代入解析式，得到＞，从而可得答案． 【详解】解：设反比例函数为：，把代入解析式： ＞ 所以反比例函数的图像在第一，三象限， 故选A． 【点睛】本题考查非负数的性质，反比例函数的图像与性质，掌握以上知识是解题的关键． 2．D 【分析】反比例函数中的-4＜0，所以该函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大． 【详解】解：A、将x=-4代入，得y=1，∴双曲线经过点（-4，1），故本选项说法正确； B、∵反比例函数中k=-4＜0，∴该函数图象位于第二、四象限，故本选项说法正确； C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故本选项说法正确； D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项说法错误； 故选D. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大． 3．A 【分析】本题主要考查了反比例的图象与性质的应用．依据题意，根据四边形面积与反比例函数的关系即可得解． 【详解】解：由题意，设， ． 又， ． 故选：A． 4．D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． 根据反比例函数的图象性质，结合点A、B的纵坐标符号，分析k的正负对符号的影响，进而判断选项的正确性． 【详解】解：1. 反比例函数性质： 当时，函数图象位于第一、第三象限，同一象限内y随x的增大而减小． 当时，函数图象位于第二、第四象限，同一象限内y随x的增大而增大． 2. 分析选项： 当时： 点A的纵坐标为（负数），必在第三象限，故． 点B的纵坐标为2（正数），必在第一象限，故． 因此，，选项A和B均错误． 当时： 点A的纵坐标为（负数），必在第四象限，故． 点B的纵坐标为2（正数），必在第二象限，故． 因此，，选项D正确．选项C中不成立，因为． 故选：D． 5．D 【分析】作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，连接AN，根据题意得出AC∥y轴，可知S△AOC=S△ABC，即可得出S矩形AMNC=S平行四边形ABCD，根据反比例函数系数k的几何意义即可得出▱ABCD的面积为k1k2． 【详解】解：作轴于，轴于，连接， 则四边形AMNC是矩形， ∵的顶点在轴上，横坐标相等的顶点、分别在与图象上， ∴轴， ∴， ∴， 由反比例函数系数的几何意义可知，矩形的面积为， ∵，， ∴的面积为， 故选：D. 【点睛】本题考查了解析式的性质，平行四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义，掌握平行四边形的性质、反比例函数系数k=xy是解题的关键． 6．D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，涉及正方形性质， 连接交于，延长交轴于，设，，根据轴，可得，，，即知，从而，，由在反比例函数的图象上，在的图象上，得，，即得． 【详解】解：连接交于，延长交轴于，如图：   四边形是正方形， ， 设，， 轴， ，，， ，都在反比例函数的图象上， ， ， ， ，， 在反比例函数的图象上，在的图象上， ，， ； 故选：D． 7．D 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合判断，根据一次函数和反比例函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：A．反比例函数中，则，与一次函数中y随x的增大而增大相矛盾，故本选项不符合题意： B．反比例函数中，则，与一次函数中y随x的增大而减小相矛盾，本选项不符合题意； C．反比例函数中，则，而一次函数与y轴交于正半轴，，与前边的相矛盾，故本选项不符合题意； D．反比例函数中，则，与一次函数中y随x的增大而减小相一致，且与y轴交于负半轴，故本选项符合题意． 故选：D． 8．A 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图象上点的坐标特征，矩形的性质，设点的坐标为，，根据题意，利用函数关系式表示出线段，，，的长，再根据相似三角形的判定与性质得，的长，然后利用三角形的面积公式求解即． 【详解】解：设点的坐标为，， 则，， 点的纵坐标为， ∴， ∴， 点的横坐标为， ， ∵， ∴, ， ，， 阴影部分的面积为． 故选：A． 9．10 【分析】过点A作AD⊥y轴于D，则AD∥OC，由线段的比例关系求得△AOD的面积，再根据反比例函数的k的几何意义得结果． 【详解】解：过点A作AD⊥x轴于D，则AD∥OC， ∴＝＝， ∴， ∵△AOB的面积==15， ∴△AOD的面积=， 根据反比例函数k的几何意义得，|k|＝5， ∴|k|＝10， ∵k＞0， ∴k＝10． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的的几何意义的应用，平行线截线段成比例，关键是利用比例求出三角形AOD的面积． 10．1 【分析】本题考查了反比例函数的解析式的求法，解答本题的关键是用三角形相似的判定，确定边的对应比值，采用设参数的方法进行讲解，整体思想求解方程是解题的关键． 根据题意，作轴， 轴，证明，有，令，则，代入反比例函数，得，得，得，得，可求得m的值． 【详解】解：作轴，垂足为H，轴，垂足为M， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 令， 则， 代入反比例函数， 得 ， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：1． 11． 【分析】直接把点A（3，）和点B（5，）代入反比例函数，求出与的值，再比较出其大小即可． 【详解】解：∵点A（1，）和点B（2，）在反比例函数图象上， ∴=−3，， ∵ ， ∴＜， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，可以用直接代入法，进行比较，也可以利用函数增减性进行比较． 12． 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数，以及反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求出反比例函数的解析式，不妨设 ，那么，根据，求得值，得到点坐标． 【详解】点B的坐标为在反比例函数的图象上， 反比例函数的解析式为 四边形是正方形 又点在反比例函数图像上 不妨设 ，那么 ， 故答案为：． 13．0 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意可得，，代入计算即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．3 【分析】过点D作DE⊥y轴于E，过点C作CF⊥x轴，根据直线的解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB．易证△AED∽△BOA，根据相似三角形的性质可求出ED、AE，从而可得到点D的坐标（用a表示），同理可得到点C的坐标（用a表示），然后根据点D、C在反比例函数的图象上得到关于a的方程，就可求得D的坐标，代入y＝（k＞0）即可求得． 【详解】过点D作DE⊥y轴于E，过点C作CF⊥x轴，如图所示． ∵点A、B是直线y＝ax+2分别与y轴、x轴的交点， ∴A（0，2），B（﹣，0）， ∴OA＝2，OB＝﹣． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，AD＝BC． ∵AB＝2AD， ∴， ∴． ∵∠DEA＝∠AOB＝90°，∠EAD＝∠ABO＝90°﹣∠OAB， ∴△AED∽△BOA， ∴＝＝＝， ∴ED＝1，AE＝﹣， ∴点D（1，2﹣）． 同理：点C（1﹣，﹣）． ∵点C、D都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上， ∴1×（2﹣）＝（1﹣）•（﹣）， ∴a＝±1． ∵a＜0， ∴a＝﹣1， ∴点D的坐标为（1，3）， ∴k＝1×3＝3， 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了直线与反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、相似三角形的性质等知识，求得点D、C的坐标是解决本题的关键． 15．(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）将A点坐标代入即可得出反比例函数，求得函数的解析式，进而求得B的坐标，再将A、B两点坐标分别代入，可用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）由题意即求的x的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的x的取值范围； （3）由题意，设且，则，求得，根据三角形面积公式得到，解得即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为， 把代入，得， 点B坐标为， 一次函数解析式，经过，， ， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：∵， ，即反比例函数值小于一次函数值， 由图象可得； （3）解：由题意，设且， ， ， ， 解得，， 或． 16．(1)n =1，；(2)． 【分析】（1）由点A（n，4），AB⊥x轴，且点A在第一象限内，得AB=4，OB=n，利用△AOB的面积为2可求n的值，从而得到点A的坐标，代入反比例函数解析式即可求出m； （2）代入点A坐标即可求出一次函数的解析式，从而求出与x轴交点C的坐标，利用勾股定理即可求线段AC的长． 【详解】解：(1)由点A(n，4)，AB⊥x轴于点B，且点A在第一象限内，得AB=4，OB= n， 所以S△AOB＝， 由S△AOB＝2，得 n =1， 所以A(1，4)， 把A(1，4)代入中，得； (2)由直线过点A(1，4)，得 ， 所以一次函数的解析式为； 令，得 所以点C的坐标为(-1，0)， 由(1)可知OB=1， 所以BC=2， 在Rt△ABC中，． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用反比例函数y= 中k的几何意义求出A点坐标是解题的关键． 17．(1)， (2)(0，1)和(0，-1) 【分析】（1）利用矩形的面积和ON的值即可求出PM，进而得到P点的坐标，再利用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用一次函数的解析式求出A点的坐标，即可得到OA的长度；利用矩形的面积求出△QOA的面积，根据G点在y轴上，则有OG⊥OA，即可表示出△QOA的面积，进而求出OG的长度，则在y轴的正半轴和负半轴各有一个符合要求的G点，其坐标可得． 【详解】（1）∵PM⊥y轴，PN⊥x轴，矩形ONPM的面积是2，ON=1， ∴PM=ON=1， ∴PN=OM=2，即P点坐标为(1,2)， ∵反比例函数和一次函数都进过P点， ∴将P点坐标分别代入得：，， ∴k=2，b=1， ∴反比例函数的解析式为：和一次函数； （2）将y=0代入得x=-1， ∴直线与x轴的交点A的坐标为(-1,0)， ∴OA=1， ∵，=2， ∴， ∵G点在y轴上， ∴OG⊥OA，即， 又∵OA=1， ∴OG=1，即G点到x轴的距离为1， ∵G点在y轴上， ∴在y轴的正半轴和负半轴各有一个满足要求的G点， ∴G的坐标为：(0，1)、(0，-1)． 【点睛】本题考查了用待定系数法求解反比例函数、一次函数的解析式等知识，正确求出P点坐标是解答本题的关键． 18．（1），；（2）． 【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式； （2）根据一次函数和反比例函数图像结合已知不等式，数形结合直接可得． 【详解】（1）过点A作轴于点D ，OC＝AC，＝10 代入， 把，代入y＝ax＋b，得： ，解得 （2）联立 解得： 或（A点坐标） ax＋b＞的解集，即图像中一次函数的值大于反比例函数的值． ． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题，解一元二次方程，反比例函数与不等式，数形结合是本题的解题关键． 19．（1）反比例函数为，一次函数的解析式为；（2）42；（3）或． 【分析】（1）点、代入求得，，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）求得点的坐标，然后根据求得即可； （3）根据图象即可求得． 【详解】解：（1）点、是一次函数的图象与反比例函数图象的交点， ， 反比例函数为， 把代入得，， ， 把，代入得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）在中，令，求得， ， ； （3）不等式的解集为：或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求解析式，三角形面积，数形结合是解题的关键． 20．（1）y=;(2) y＝x－2 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求解； （2）根据（1）中的解析式求得点B的坐标，再进一步运用待定系数法求得一次函数的解析式． 【详解】解：（1）设所求反比例函数的解析式为（k≠0）． ∵点A（1，3）在此反比例函数的图象上， ∴，解得k=3． ∴所求反比例函数的解析式为． （2）设直线BC的解析式为y=k1x+b（k1≠0）． ∵点B的反比例函数的图象上，点B的纵坐标为1，设B（m，1）， ∴，解得m=3． ∴点B的坐标为（3，1）． 由题意，得，解得：． ∴直线BC的解析式为． 考点：1.反比例函数与一次函数的交点问题；2. 待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系． 21．（1）1；（2）；y=2x+4；（3）x＜-3或0＜x＜1 【分析】（1）过点A作AD⊥x轴于点D.根据正切三角函数值，计算，即可求n的值； （2）把A代入反比例解析式中，求得m的值即可解出反比例函数的解析式，再用待定系数法，代入A、C两点坐标，即可解得一次函数的解析式； （3）直接根据图象解题即可． 【详解】解：（1）如图，过点A作AD⊥x轴于点D. ∵A（n，6），C（-2，0）， ∴OD=n，AD=6，CO=2， ∵tan∠ACO＝2. ∴，即， ∴.    （2）把A（1，6）代入反比例函数，得. ∴反比例函数的解析式是. 把A（1，6），C（-2，0）代入一次函数y＝kx＋b，可得 ，解得. ∴一次函数的解析式是； （3）或. 解析：解方程组，得点B的坐标为（－3，－2）. 由图像知，双曲线位于直线上方的部分就是不等式的解集， 即或. 【点睛】本题考查反比例函数解析式求法、反比例函数图象与性质、一次函数解析式求法、一次函数图象与性质、图象的分析等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 22．（1）y1＝﹣x+2，y2＝﹣；（2）9；（3）x＜﹣3 【分析】（1）根据OC＝3，tan∠ACO＝，可求直线与y轴的交点坐标，进而求出点A、B的坐标，确定两个函数的关系式； （2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，进行计算即可； （3）由函数的图象直接可以得出，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集． 【详解】解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D， 在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝． ∴OD＝2，即点D（0，2）， 把点D（0，2），C（0，3）代入直线y1＝ax+b得， b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣， ∴直线的关系式为y1＝﹣x+2； 把A（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣x+2得，m＝﹣3，n＝﹣2， ∴A（﹣3，4），B（6，﹣2）， ∴k＝﹣3×4＝﹣12， ∴反比例函数的关系式为y2＝﹣，因此y1＝﹣x+2，y2＝﹣； （2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×4+×3×2＝9． （3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集为x＜﹣3． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法，线段与坐标的相互转化是解决问题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $