2026年中考数学重难点一轮复习：二次函数

2026年中考数学重难点一轮复习：二次函数 一、单选题 1．已知抛物线（为常数，）经过点，开口向下，对称轴为直线．下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 3．将抛物线经过下面的平移可得到抛物线的是（    ） A．向右平移3个单位，向下平移4个单位 B．向右平移3个单位，向上平移4个单位 C．向左平移3个单位，向下平移4个单位 D．向左平移3个单位，向上平移4个单位 4．将二次函数沿x轴对折，再向右平移1个单位，得到的抛物线必定经过（    ） A． B． C． D． 5．对于抛物线y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 7．抛物线的对称轴是直线，且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，（），其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知抛物线（，是常数，）经过点．下列结论： ①关于的方程有两个不相等的实数根，即，；②；③． 其中，正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题 9．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则a+b+2c 0（填“>”“=”或“<”）． 10．如图，直角坐标系中，点A(1，4)，点B(1，0)，点C(0，3)，点M(m，0)是x轴上y一动点，点N是线段AB上一个动点，若，则m的取值范围是 ． 11．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为实数）；③m（am+b）≤﹣a（m为实数）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有 （只填写序号）． 12．已知抛物线交x轴于点A，B (B在x轴正半轴上），交y轴于点C，△ABC是等腰三角形，则a的值为 ． 13．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A；将C1绕点A旋转180°得到C2，交x轴于A1；将C2绕点A1旋转180°得到C3，交x轴于点A2…如此进行下去，直至得到C2021，若点P（4041，m）在第2021段抛物线上，则m的值为 ． 14．在平面直角坐标系中，已知抛物线：．若，，为抛物线上三点，且总有．结合图象，则m的取值范围是 ． 15．抛物线是常数，经过两点，且． 下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④若关于的不等式的解集为，则； ⑤点在抛物线上，若，总有，则． 其中正确的结论是 （填写序号）． 三、解答题 16．已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； 17．在直角坐标系中，设函数（是常数，）． (1)若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式； (2)已知，当（是实数，）时，该函数对应的函数值分别为若，求证：． 18．已知抛物线G：（，m为常数）的对称轴与直线（，k为常数）相交于x轴上一点P． (1)求m与n的数量关系； (2)若直线与y轴交于点Q，且， ①把直线绕点Q顺时针旋转得到的直线与抛物线G相交于A、B两点，若，求m的值； ②将直线向上平移个单位，得到的直线与抛物线G的两个交点的横坐标满足，求m的取值范围． 19．某商店购进一批单价为8元的商品，经调研发现，这种商品每天的销售量y（件）是关于销售单价x（元）的一次函数，其关系如下表： x(元) 10 11 12 13 14 y（件） 100 90 80 70 60 （1）求y与x之间的关系式； （2）设商店每天销售利润为w（元），求出w与x之间的关系式，并求出每天销售单价定为多少时利润最大？ 20．在学习了函数的有关知识后，小强同学对函数的图象和性质进行了探究． (1)当时， ①把图中的图象补充完整，并写出一条该函数的性质； ②如果关于x的方程有四个解，请直接写出对应m的取值范围． (2)在平面直角坐标系中，若某点的横、纵坐标均为整数，则称此点为“整点”，将过点平行于x轴的直线记为p，函数图象与p所围区域（不包含边界）记为Q，当Q中恰好有个“整点”时，求a的取值范围． 21．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且．    (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)判断的形状并证明你的结论； (3)如图2，点P在拋物线上的第二象限内且满足，求出点P的坐标． 22．已知抛物线（b，c是常数）的顶点坐标为，与y轴交于点B． (1)求b，c的值； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，抛物线过点，且与直线交于B、C两点，点B的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为抛物线上位于直线上方的一点，过点D作轴交直线于点E，点P为对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值； （3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与轴交点，二次函数的性质等知识，熟记二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的开口、对称轴以及经过的点，即可判断出二次函数的大体图象，进而根据二次函数图象的性质即可判断出各选项． 【详解】解：A.、根据题意，由开口向下可知，对称轴为直线，且经过点，可知，，故该选项错误，不符合题意； B、经过A.选项分析，抛物线与轴有两个交点，，故该选项错误，不符合题意； C、∵抛物线的对称轴为直线，且经过点， ∴点与点是对称点 当时，代入抛物线解析式得，故该选项错误，不符合题意； D、根据顶点坐标的几何意义，所以当时，函数值最大，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 2．A 【分析】根据二次函数的对称轴以及开口方向可知，离对称轴越远，函数值越大，判断即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为：， ∴对称轴为：， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∵， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了比较函数值的大小，根据二次函数开口方向以及对称轴结合点到对称轴的距离是解本题的关键． 3．D 【分析】根据函数平移口诀：左加右减，上加下减，依次检验各选项即可得到正确答案． 【详解】解：A、将抛物线向右平移3个单位，向下平移4个单位，得到抛物线，不符题意； B、将抛物线向右平移3个单位，向上平移4个单位，得到抛物线，不符题意； C、将抛物线向左平移3个单位，向下平移4个单位，得到抛物线，不符题意； D、将抛物线向左平移3个单位，向上平移4个单位，得到抛物线，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的平移，正确掌握平移口诀是解题的关键． 4．A 【分析】先求出二次函数沿x轴对折后的解析式，再求出平移后的解析式，再将各点坐标代入验证即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴关于轴对称的解析式为= ∴折叠后抛物线的顶点坐标为（-1，-4） ∴顶点向右平移1个单位后的坐标为（0，4），此时抛物线的解析式为： 当时，，所以，（-1，-3）在折叠后的函数图象上，故选项A符合题意； 当时，，所以，（1，3）不在折叠后的函数图象上，故选项B符合题意； 当时，，所以，（2，0.5）不在折叠后的函数图象上，故选项C符合题意； 当时，，所以，（-2，0.5）不在折叠后的函数图象上，故选项D符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键． 5．C 【分析】先由题意得到关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围，然后再确定抛物线的顶点坐标的取值范围，据此即可得出答案. 【详解】解：由题意得：a+(2a-1)+a-3>0，解得：a>1， ∴2a-1>0， ∴<0， ， ∴抛物线的顶点在第三象限， 故选C. 【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标公式，熟知抛物线的顶点坐标公式是解题的关键. 6．D 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y=x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y=x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：令y=﹣2x2+8x﹣6=0， 即x2﹣4x+3=0， 解得x=1或3， 则点A（1，0），B（3，0）， 由于将C1向右平移2个长度单位得C2， 则C2解析式为y=﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5）， 当y=x+m1与C2相切时，    令y=x+m1=y=﹣2（x﹣4）2+2， 即2x2﹣15x+30+m1=0， △=﹣8m1﹣15=0， 解得m1=， 当y=x+m2过点B时， 即0=3+m2， m2=﹣3， 当时直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点， 故选D． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 7．C 【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据抛物线对称轴为直线，且经过点，即可得出，根据图象可得，，即可判断①，根据和关于对称轴对称，得出，即可判断③，根据，代入，即可判断④，根据抛物线与轴有两个交点，得出，即可判断②，根据当时，，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线对称轴，经过点， ， ， 根据图象可得，， ∴，故①正确， ∵抛物线对称轴为直线，经过点， ∴和关于对称轴对称， 时，， ∴，故③错误， ， ∴，故④错误， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，，故②正确， 当时，， 当时，， ∴， ∴， 即，（），故⑤正确， 故正确的有3个， 故选：C． 8．A 【分析】由可确定抛物线的对称轴，再根据抛物线的对称性可得抛物线经过，然后根据二次函数与一元二次方程的关系即可判定①；先根据抛物线经过点结合可得，可判定③；根据二次函数的性质可得当时，，然后判定②． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为， ∵抛物线经过点， ∴抛物线必经过，即关于的方程有两个不相等的实数根，即、，故①正确； ∵抛物线经过点， ∴，即， ∵， ∴，即③正确； ∵抛物线经过点和，且， ∴抛物线开口向下，当时，；故②正确； ∴正确的有三个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 9．＜ 【分析】由抛物线开口向下，则a＜0，抛物线与y轴交于y轴负半轴，则c＜0，对称轴在y轴左侧，则b＜0，因此可判断a+b+2c与0的大小 【详解】∵抛物线开口向下 ∴a＜0 ∵抛物线与y轴交于y轴负半轴， ∴c＜0 ∵对称轴在y轴左侧 ∴﹣＜0 ∴b＜0 ∴a+b+2c＜0 故答案为＜． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，正确利用图象得出正确信息是解题关键． 10． 【分析】根据题意可设点N（1，n），其中，从而得到，，再由，根据勾股定理可得，然后设，则，根据二次函数的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图， ∵点A(1，4)，点B(1，0)， ∴AB⊥x轴， ∵点N是线段AB上一个动点， ∴可设点N（1，n），其中， ∵点C(0，3)，点M(m，0)， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 设，则， ∴当时，y有最小值，此时， ∵， ∴当时，y随n的增大而增大，当时，y随n的增大而减小， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的性质、勾股定理是解题的关键． 11．①②③④⑤ 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断①；根据函数的增减性可判断②；由抛物线开口方向及对称轴可得x＝﹣1时y最大，从而判断③；由对称轴可得b＝2a，由x＝﹣1时y＜0可判断④；根据函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的图象有两个交点可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交点在y轴正半轴， ∴a＜0，c＞0， 又∵对称轴是直线x＝﹣1， ∴， ∴ ∴abc＞0，故①正确； ∵对称轴是直线x＝﹣1，抛物线开口向下， ∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小， ∵k是实数， ∴k2+2＞k2+1＞﹣1， ∴a（k2+2）2+b（k2+2）+c＜a（k2+1）2+b（k2+1）+c， 即a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1），故②正确； ∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，a﹣b+c） ∴y最大＝a﹣b+c＝﹣a+c， ∴am2+bm+c≤﹣a+c， 即m（a+b）≤﹣a， 故③正确； 由图象知，x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， ∵b＝2a， ∴3a+c＜0， ∴c＜﹣3a，故④正确； 根据图象可知，函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的图象有两个交点， ∴ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根， 故⑤正确， 故答案为：①②③④⑤． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像的性质． 12．或或 【分析】根据抛物线的解析式，分别求出A、B、C的坐标，表示出AB、BC、AC的长，然后分三种情况讨论即可． 【详解】解：令x=0，得：y=4，所以C(0，4)，令y=0，得：=0， ∴， ∴x1=，x2=－3， ∴A（-3，0），B（，0）（a＜0）， ∴AC=，AB=，BC=． ∵△ABC是等腰三角形， ∴分三种情况讨论： ①AB=AC， ∴=5，解得：a=； ②AC=BC， ∴=5，解得：a=±（正数舍去）， ∴a=－； ③AB=BC， ∴=，解得：a=． 综上所述：a的值为或或． 故答案为或或． 【点睛】本题考查了抛物线的性质．解题的关键是分类讨论． 13．1 【分析】由于每次变化时，开口方向变化但形状不变，则 ，故开口向上时a=1，开口向下时a=-1；与x轴的交点在变化，可发现规律抛物线Cn与x轴交点的规律是（2n-2，0）和（2n，0），由两点式 求出解析式，最后把x=4041代入解析式即可求得m的值． 【详解】解：由抛物线C1：y=-x(x-2)， 令y=0，即-x(x-2)=0，解得 ∴与x轴的交点为O（0,0），A（2,0）. 抛物线C2的开口向上，且与x轴的交点为 ∴A（2,0）和A1（4，0）， 则抛物线C2：y= （x-2）（x-4）； 抛物线C3的开口向下，且与x轴的交点为A1（4，0）和A2（6，0）， 则抛物线C3：y= -（x-4）（x-6）； 抛物线C4的开口向上，且与x轴的交点为A2（6，0）和A3（8，0）， 则抛物线C4：y=（x-6）（x-8）； 同理： 抛物线C2021的开口向下，且与x轴的交点为，A2019（4040，0）和A2020（4042，0）， 则抛物线C2021：y=-（x-4040）（x-4042）； 当x=4041时，y=- 1×1×（-1）=1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，正确求出第C2021的解析式是解答本题的关键． 14． 【分析】根据a＞0时，抛物线上的点离对称轴水平距离越小，纵坐标越小，作出图形，根据进而结合图象列出不等式，即可求解． 【详解】解：∵的对称轴为， ，，为抛物线上三点，且总有如图， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是画出大致图象，掌握a＞0时，抛物线上的点离对称轴水平距离越小，函数值越小． 15．①③⑤ 【分析】根据抛物线的对称性，增减性，对称轴的两种表示方法，抛物线与不等式，解答即可. 【详解】解：∵抛物线是常数，经过两点，且． ∴，，， ∴， ∴； 故①正确； ∵抛物线是常数，经过两点，且． ∴是方程的两个不相等的实数根， ∴； 故②错误； ∵抛物线经过点， ∴， ∵， 解得， ∵， ∴， ∴； ∴； 解得， 故③正确； ∵关于的不等式的解集为， ∴, ∴的两个根为,， ∵关于的不等式的解集为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴, 故④错误； ∵点在抛物线上，抛物线的对称轴为，，总有， ∴，且， 解得， ∵ ∴． 故⑤ 正确， 故答案为：①③⑤． 【点睛】本题考查了抛物线的对称性，抛物线与不等式，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键. 16．(1)，； (2)面积的最大值为，． 【分析】（）直接由待定系数法求出二次函数的解析式，再令，解方程求解即可； （）过点作轴的垂线交于点，连接、，先求出直线解析式，则，当取最大值时，的面积最大，设，则，故有，利用二次函数的性质求最值即可解答； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与几何图形的综合等，熟练掌握知识点并能够综合运用知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得， ∴二次函数的表达式为， 当时， ， 解得，， ∴； （2）解：过点作轴的垂线交于点，连接、， 设直线的表达式为， 把、代入得：， 解得， ∴直线的表达式为， 则， ∴当取最大值时，的面积最大， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴， ， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时，点的坐标为． 17．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，代数式的化简，并利用配方法判断代数式的取值范围，第（2）小问的关键是利用，首先对代数式化简，然后配方说明的范围． （1）使用待定系数法求二次函数解析式，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可． （2）已知，则，容易得到，利用，即代入，对代数式进行化简，并配方得出，最后注意利用条件判断，得证． 【详解】（1）由题意，得 解得, 所以，该函数表达式为． （2）由题意，得，， 所以 ， 由条件，知， 所以． 18．(1) (2)①；②或 【分析】（1）先根据直线的解析式可得点的坐标，再求出抛物线的对称轴，从而可得，由此即可得出答案； （2）①先求出点的坐标为，再求出旋转后的直线为，然后根据抛物线的对称轴求出点的坐标为，最后将点代入抛物线的解析式即可得； ②先求出平移后直线的解析式为，再与抛物线的解析式联立可得，解方程可得或，然后分和两种情况，根据建立不等式，解不等式即可得． 【详解】（1）解：直线， 当时，，解得， 所以． 抛物线的对称轴为直线， 由题意得：， 所以． （2）解：①由（1）知，，抛物线的对称轴为直线， ∵直线与轴交于点，且， ∴，， ∴把直线绕点顺时针旋转得到的直线为， 直线为与抛物线相交于点，且， 点的横坐标为，纵坐标为1，即， 由（1）可知，， ∴抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得； ②将代入，得． ∴． 由题意得：平移后直线的解析式为，即为， 联立， 整理得：， 此方程根的判别式， 解得或， （Ⅰ）当，即时，则， ， ， 解得，符合题设； （Ⅱ）当，即时，则， ， ， 解得，符合题设； 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数与一次函数的性质是解题关键． 19．(1) ；(2) ，当x=14时，利润最大. 【分析】(1)设一次函数的解析式为：y=kx+b，根据待定系数法，即可求解； (2)由题意得：，进行配方，即可得到答案. 【详解】(1)设一次函数的解析式为：y=kx+b， 根据题意得：，解得：， ∴一次函数的解析式为：； (2)由题意得：， 即：=， ∴当x=14时，利润最大. 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据题意，列出二次函数的解析式，是解题的关键. 20．(1)①见详解，性质：图象关于直线对称（答案不唯一）；② (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象求自变量的范围，解题关键是掌握二次函数的图象与性质． （1）①当时，可得到和，分别得出对称轴，与坐标轴的交点，再补全函数图象，写出一条性质；②方程有四个解，将代入，得到，结合图象求得m的取值范围是； 分、两种情况讨论，结合函数图象，分别求出a的取值范围． 【详解】（1）解：①当时，， 和， ∴两函数对称轴均为直线， 令，得， 解得，， 又的顶点坐标为， ∴和的图象在x轴和x轴上方， 补全的图象如图所示． 图象的性质：图象关于直线对称；当或时，y随着x的增大而增大等． ②方程有四个解，即， 从图象上看，就是直线与函数的图象有四个交点，所以m的取值范围是 （2）分两种情况讨论： ①当时，区域Q为函数的图象与直线围成的封闭区域，若在此区域内存在10个“整点”，由Q关于直线对称，故“整点”也呈对称分布，对称轴每侧各五个“整点”． （ⅰ）如果对称轴右侧的“整点”为，，，，，其呈“刀把型”，如图所示． 当时，， 当时，． 由图象得，．解得． （ⅱ）如果对称轴右侧“整点”为，，，，，其呈T型，如图所示． 当时，， 当时，． 由图象得，．解得． ②当时，与p围成的封闭区域中，“整点”分布以为中心，两边呈对称展开，如图所示，所以“整点”数均为奇数，封闭区域Q内“整点”数不存在恰好为个的情况． 综上所述，或． 21．(1)， (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）因为点在抛物线上，所以将点代入函数解析式即可求得； （2）由函数解析式可以求得其与轴、轴的交点坐标，即可求得、、的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状； （3）连接并延长，交的延长线于点，首先求得，进而得到直线的解析式为，求得的坐标为，进一步得到直线的解析式为，联立方程组解答即可得解． 【详解】（1）解：点在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为； ， 顶点的坐标为． （2）是直角三角形，理由如下： 当时， ，． 当时，， ，， ，，． ，，， ． 是直角三角形． （3）如图，连接并延长，交的延长线于点，   ，， 由（2）知是直角三角形， ， ， 设直线的解析式为，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设的坐标为， ， 解得：(不合题意，舍去)或， 的坐标为， 设直线的解析式为，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立得：， 解得：（不合题意，舍去）或， 点的坐标为 【点睛】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式． 22．(1) (2)存在，，，， 【分析】本题考查二次函数图象的性质、等腰三角形的分类讨论、解一元二次方程等知识，解答关键是应用勾股定理构造方程． （1）根据顶点坐标公式列方程求解即可； （2）分别讨论、、的情况，利用勾股定理构造方程问题可解． 【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴； （2）存在，    由（1）得， ∵当时，， ∴． 存在点，使得是等腰三角形， 设， 则，，， 情况：当时， 即， 解得， 所以，； 情况：当时， 即， 解得， 所以，， 情况：当时， 即， 解得或， 所以，（舍去） 综上得：满足条件的点有，，，． 23．（1）抛物线的解析式；（2）的最小值为；（3）点Q的坐标：、． 【分析】（1）将点B的坐标为代入，，B的坐标为，将，代入，解得，，因此抛物线的解析式； （2）设，则，，当时，有最大值为2，此时，作点A关于对称轴的对称点，连接，与对称轴交于点P．，此时最小； （3）作轴于点H，连接、、、、，由，，可得，因为，，所以，可知外接圆的圆心为H，于是设，则，或，求得符合题意的点Q的坐标：、． 【详解】解：（1）将点B的坐标为代入， ， ∴B的坐标为， 将，代入， 解得，， ∴抛物线的解析式； （2）设，则， ， ∴当时，有最大值为2， 此时， 作点A关于对称轴的对称点，连接，与对称轴交于点P． ，此时最小， ∵， ∴， ， 即的最小值为； （3）作垂直对称轴于点H，连接、、、， ∵抛物线的解析式， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， 可知外接圆的圆心为H， ∴ 设， 则， 或 ∴符合题意的点Q的坐标：、． 【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周角定理是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $