精品解析：山东省济宁市金乡县青华园实验高中2025-2026学年高二上学期学情检测（三）数学试题

青华园实验高中高二数学学情检测（三） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 已知空间向量，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 2. 已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（ ） A. B. C. 与相交但不垂直 D. 3. 等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 63 B. 45 C. 49 D. 56 4. 设等差数列的前n项和为，若，则＝（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在等比数列中，是方程的两个根，则＝（　　） A. B. C. D. 2 7. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 48 B. 81 C. 93 D. 243 8. 如图，正方体中，，分别是和的中点，则平面与平面所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知等比数列的公比，其前n项和记为，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线方程，则下列结论正确的是（ ） A. 一个焦点为 B. 一条渐近线方程 C. 双曲线的右焦点到一条渐近线的距离是6 D. 双曲线的离心率是 11. 已知直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 点到直线的最大距离为 C. 直线一定经过第四象限 D. 当时，直线关于直线的对称直线为 三、填空题 12. 焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为________． 13. 圆与圆的公共弦长为______ 14. 各项均正的数列满足，则等于_______ 四、解答题 15. 已知双曲线的方程是． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，求的大小． 16. 等差数列的公差为d，数列的前n项和为 （1）已知，，，求d； （2）已知，求 17. 已知的三个顶点是． （1）求AB边的高所在直线的方程； （2）若直线l过点C，且点A，B到直线l的距离相等，求直线l的方程． 18. 如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 19. 已知等差数列的前项和为，，． （1）求的通项公式； （2）设，求证：数列是等比数列，并求数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青华园实验高中高二数学学情检测（三） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 已知空间向量，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量模长公式进行求解. 【详解】. 故选：D 2. 已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（ ） A. B. C. 与相交但不垂直 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据面法向量与直线方向向量的线性关系判断线面关系即可. 【详解】由题设，则，故. 故选：A 3. 等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 63 B. 45 C. 49 D. 56 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知求出公差，再利用求和公式得出结果. 【详解】设公差为，由可得， 解得，故． 故选：A. 4. 设等差数列的前n项和为，若，则＝（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】首先由求出，结合求出公差，最后根据等差数列通项公式求出. 【详解】因为，所以．又，所以公差，则． 故选：B 5. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量平行、垂直的坐标表示直接判断即可. 【详解】因为， ， 所以AB错误； 因为，所以不平行，C错误； 因为，所以，D正确. 故选：D 6. 在等比数列中，是方程的两个根，则＝（　　） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理和等比数列的性质得到答案. 【详解】由韦达定理得，由等比数列的性质得. 故选：B 7. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 48 B. 81 C. 93 D. 243 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和先确定公比，再计算得，从而计算得的值，即可得的值. 【详解】设等比数列的公比为，因为，， 若，则，得，则，故， 则，所以， 所以，所以. 故选：C. 8. 如图，正方体中，，分别是和的中点，则平面与平面所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以点为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】以点为坐标原点，，，的方向 分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，， ∴，. ∴平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为. ∵是平面的一个法向量， ∴. 故选：B 【点睛】本题考查了空间向量法求二面角，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 二、多选题 9. 已知等比数列的公比，其前n项和记为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助等比数列求和公式可计算出数列的通项公式，借助通项公式即可得A；借助作差法后对分奇偶进行讨论可得B；求出后对分奇偶讨论可得C、D. 【详解】由题意可得，即， 故， 对A：，故A正确； 对B：， 若为奇数，则， 若为偶数，则，随的增大而增大， 故，故B正确； 对C：， 当为奇数时，，且随的增大而减小， 当为偶数时，，随的增大而增大， 则当时，有最大值，即， 当时，有最小值，即， 故C错误，D正确. 故选：ABD. 10. 已知双曲线方程，则下列结论正确的是（ ） A. 一个焦点为 B. 一条渐近线方程 C. 双曲线的右焦点到一条渐近线的距离是6 D. 双曲线的离心率是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程，明确的值，进而求得的值，根据焦点坐标，渐近线方程，点到直线距离公式以及离心率计算公式，可得答案. 【详解】对于A，由双曲线方程，则，，即，该双曲线焦点为，故A错误； 对于B，由A可得，该双曲线的渐近线方程为，故B正确； 对于C，由A可知，该双曲线的右焦点为，不妨取渐近线，整理可得， 则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离，故C正确； 对于D，由A可知，该双曲线的离心率，故D错误. 故选：BC. 11. 已知直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 点到直线的最大距离为 C. 直线一定经过第四象限 D. 当时，直线关于直线的对称直线为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出直线恒过的定点可判断A；当时，点到直线的距离最大，求出最大距离可判断B；直线不一定经过第四象限可判断C；先求出直线与直线的交点，再求出直线上一点关于直线的对称点，由两点式即可求出，可判断D. 【详解】对于A，，令，可得：， 所以直线过定点，故A正确； 对于B，直线过定点，当时，点到直线的距离最大， 且最大距离为，故B正确； 对于C，直线过定点，不一定经过第四象限，故C错误； 对于D，当时，直线， 设直线关于直线的对称直线为， 一定经过直线和直线的交点，设为， 由可得：，所以， 在直线上任取一点关于直线的对称点一定在上， 所以，解得：， 所以，在直线上， 所以，化简可得：，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意，求出，利用双曲线焦点位置，即可写出其标准方程. 【详解】依题意，，解得 故该双曲线方程为：. 故答案为：. 13. 圆与圆的公共弦长为______ 【答案】 【解析】 【分析】联立两圆可得公共弦方程，再利用垂径定理可得公共弦长. 【详解】由已知圆的圆心为，半径 圆即的圆心为，半径， 联立两圆得，即， 所以公共弦方程为， 所以点到直线的距离， 所以弦长为， 故答案为：. 14. 各项均正的数列满足，则等于_______ 【答案】 【解析】 【分析】 根据可得，即可构造出等差数列，由等差数列的性质可求出，即可求得． 【详解】将两边同除以，得，则是首项为2，公差为1的等差数列，∴，则． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查利用构造法求数列的通项公式以及等差数列的定义的应用，属于基础题． 四、解答题 15. 已知双曲线的方程是． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，求的大小． 【答案】（1）； （2）2. 【解析】 【分析】（1）由双曲线方程直接写出渐近线方程； （2）由双曲线定义有，结合已知求即可. 【小问1详解】 由双曲线方程知：其渐近线方程为； 【小问2详解】 由双曲线定义，又， 所以，可得（负值舍）， 所以的大小为2. 16. 等差数列的公差为d，数列的前n项和为 （1）已知，，，求d； （2）已知，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n项和公式即可求出公差； （2）由有，则即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 又因为，所以 【小问2详解】 由，即， 所以 17. 已知的三个顶点是． （1）求AB边的高所在直线的方程； （2）若直线l过点C，且点A，B到直线l的距离相等，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据点斜式求得边的高所在直线的方程. （2）对是否与直线平行进行分类讨论，由点斜式或斜截式求得直线的方程. 【小问1详解】 直线的斜率为， 所以边的高所在直线的斜率为， 所以边的高所在直线的方程为. 【小问2详解】 直线的斜率为， 若直线与直线平行，则直线的方程为. 线段的中点坐标为， 若直线过，则直线的方程为. 18. 如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）平面， ， 又正方形中，， 平面， 平面， 又平面， ， 是的中点，， 且面面， 平面 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，进而有，最后利用线面垂直的判断定理证明平面； （2）以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面与的法向量，利用向量法求二面角即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意知： 则， 设平面的法向量为， 则， 令，得到， 又，则，且平面， 平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 所以二面角的余弦值为. 19. 已知等差数列的前项和为，，． （1）求的通项公式； （2）设，求证：数列是等比数列，并求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设公差为，依题意得到方程组，求出，，即可求出数列的通项公式； （2）由（1）得，即可证明数列是等比数列，再根据等比数列求和公式求出数列的前项和； 【详解】解：（1）设公差为， 因为， 所以，即． 因为，所以，即． 由①②，解得，， 所以． （2）由（1）得， 则，且． 所以数列是首项为4，公比为的等比数列， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $