精品解析：广东揭阳市揭东区第二中学2025-2026学年第一学期期末教学质量监测高二数学试卷

2025-2026学年度第一学期期末教学质量监测 高二级数学科试卷 命题审题人：高二数学备课组 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求.） 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，则复数的虚部为 A. B. C. D. 2 3. 在数列中，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知在中，，则外接圆的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 设是两个不同平面，是平面内的两条不同直线.甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 6. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，5，12，22称为五边形数，则五边形数所构成的数列的第5项是（    ） A. 32 B. 35 C. 51 D. 70 7. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的周期是 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于对称 10. 下列四个命题为真命题的是（ ） A. 若向量满足，，则 B. 若向量，，则在上的投影向量为 C. 若向量是与向量共线的单位向量，则 D. 已知向量，，则的最大值为 11. 为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则（ ） A. 若，则的最小值为3 B. 点到直线的距离的最小值为 C. 若存在点，使得过点可作两条相互垂直的直线与圆都相切，则的取值范围为 D. 过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则到直线距离的最大值为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则__________． 13. 若点在直线上，且，则的最小值为________. 14. 瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数，棱数及面数满足等式，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮，简洁的公式之一.如图是一个面数为26的多面体（其表面仅由正方形和正三角形围成），根据欧拉多面体公式可求得其棱数_______. 四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知在等差数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值． 16. 在第29个“世界读书日”到来之际，树人中学举办了读书知识竞赛，现从参加竞赛的同学中，选取100名同学并将其成绩(百分制，均为整数)分成六组:第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值，并估计这100名学生成绩的第85百分位数（保留一位小数）； （2）若先用分层抽样方法从得分在和的学生中抽取5人，然后再从抽出的5人中任意选取2人，调查其读书情况，求此2人得分不在同一组的概率. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，，是的中点，点在侧棱上， （1）求证：直线平面； （2）求的值，使得平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 19. 设集合为下述条件的函数的集合：①定义域为；②对任意实数、，都有. （1）判断函数是否为中元素，并说明理由； （2）若函数是奇函数，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末教学质量监测 高二级数学科试卷 命题审题人：高二数学备课组 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求.） 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式，求得各集合的具体范围，求交集即可. 【详解】 所以. 故选：C． 2. 设复数，则复数的虚部为 A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算化简求出即可. 【详解】解：， ∴的虚部为2. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，属基础题. 3. 在数列中，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知及递推关系得到是以3为周期的数列，进而确定. 【详解】，且， ，， ，，  所以是以3为周期的数列，则. 故选：B 4. 已知在中，，则外接圆的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理求得三角形外接圆的半径，进而得到三角形外接圆的周长. 【详解】设外接圆的半径为， 根据正弦定理可得，则， 故外接圆的周长为， 故选：D. 5. 设是两个不同平面，是平面内的两条不同直线.甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面平行的判定和性质分析判断即可. 【详解】由，是平面内的两条不同直线，得不到， 因为与可能相交，只要和的交线平行即可得到； 反过来，若，是平面内的两条不同直线，则和没有公共点， 所以由能得到， 故甲是乙的必要不充分条件. 故选：B. 6. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，5，12，22称为五边形数，则五边形数所构成的数列的第5项是（    ） A. 32 B. 35 C. 51 D. 70 【答案】B 【解析】 【分析】根据题图确定五边形中小石子增量关系，法1：根据规律写出第5项，法2：总结归纳得到第个五边形数为，即可得. 【详解】观察规律：第1项1，第2项5，第3项12，第4项22， 所以增量依次为，构成公差为3的等差数列， 法1：依上知，第5项为， 法2：总结归纳知，第个五边形数为， 当时，. 故选：B 7. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质及题干中垂直关系求得,进而可得解． 【详解】双曲线渐近线方程为，直线的斜率为， 又，所以渐近线与题中直线垂直，即，也即， 所以离心率． 故选：B． 8. 已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的定义、余弦定理，整理可得，再应用基本不等式求最值即可. 【详解】由抛物线的定义知，， 所以在中，由余弦定理得， 所以， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故， 所以的最大值为 故选：A. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的周期是 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于对称 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图像平移和三角函数的诱导公式可得，由此即可得到结果. 【详解】将函数的图象向左平移个单位，可得， 所以是奇函数，且图象关于直线对称. 故选：AC. 【点睛】本题主要考查了三角函数图像变换和诱导公式的应用，属于基础题. 10. 下列四个命题为真命题的是（ ） A. 若向量满足，，则 B. 若向量，，则在上的投影向量为 C. 若向量是与向量共线的单位向量，则 D. 已知向量，，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，给出作为反例即可；对于B，根据投影向量的计算公式直接求解即可；对于C，与向量共线的单位向量为或，直接判断；对于D，利用向量减法、向量模长及辅助角公式即可求解. 【详解】对于A，若，则显然有，，但与没有限制条件，故未必成立，故A错误； 对于B，在上的投影向量为，故B正确； 对于C，与向量共线的单位向量为或，故C错误； 对于D，若向量，， 则， 其中， 当且仅当时，取得最大值，故D正确. 故选：BD. 11. 为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则（ ） A. 若，则的最小值为3 B. 点到直线的距离的最小值为 C. 若存在点，使得过点可作两条相互垂直的直线与圆都相切，则的取值范围为 D. 过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则到直线距离的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，结合几何法可判断A，利用点到直线的距离公式，结合二次函数可判断B，利用切线问题转化为到圆心的距离问题，再结合二次函数可判断C，设，切点，，的斜率为，得到，再得到切点弦直线方程，进而得到直线过定点，即可判断D． 【详解】 由可得：，焦点，准线方程为， 过点作准线的垂线，垂足为， 则，故A正确； 设抛物线上的动点，则由点到直线的距离公式可得： ，故B错误； 设存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆相切，圆心, 则，即， 从而把问题转化为抛物线上存在点P到点的距离为，设， 则， 即，故C正确； 设，切点，，的斜率为， 由题意知切线斜率存在，设为， 联立得， ，即， ， 原方程为， ， 所以切线方程为：，即， 同理切线方程为：， 由于切线与切线相交于点， 所以有：与成立， 由于切点满足直线方程， 即直线方程为：，因为， 则，即， 所以直线恒过定点， 故到直线距离的最大值为，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式，由内而外，逐步计算，即可得出结果. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查求分段函数值，属于基础题型. 13. 若点在直线上，且，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，然后利用乘“”法代入，化简之后利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意可得，，且，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为. 故答案为： 14. 瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数，棱数及面数满足等式，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮，简洁的公式之一.如图是一个面数为26的多面体（其表面仅由正方形和正三角形围成），根据欧拉多面体公式可求得其棱数_______. 【答案】48 【解析】 【分析】 根据图形可知顶点数，代入欧拉多面体公式可求得结果. 【详解】该多面体面数，由图知，顶点数， 根据欧拉多面体公式得：棱数. 故答案为：. 【点睛】本题考查立体几何中的新定义运算的求解问题，关键是能够充分理解已知所给公式，属于基础题. 四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知在等差数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值． 【答案】（1）； （2）时取得最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据已知及等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）写出等差数列前n项和，应用其二次函数性质求最大值和对应n. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则， 故， 所以. 【小问2详解】 由，且， 所以， 故时取得最大，最大值为. 16. 在第29个“世界读书日”到来之际，树人中学举办了读书知识竞赛，现从参加竞赛的同学中，选取100名同学并将其成绩(百分制，均为整数)分成六组:第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值，并估计这100名学生成绩的第85百分位数（保留一位小数）； （2）若先用分层抽样方法从得分在和的学生中抽取5人，然后再从抽出的5人中任意选取2人，调查其读书情况，求此2人得分不在同一组的概率. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率和为1可求出的值，首先确定第百分位数位于，设其为，由，即可求得结果； （2）利用分层抽样知，在内的人数为2人，在内的人数为3人，利用列举法结合古典概型即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得： ，解得； 因为成绩在的频率为， 所以，第百分位数位于， 设其为，则， 解得，所以，第百分位数约为. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知：得分在和内的频率分别为0.04和0.06， 采用分层抽样知，抽取的5人，在内的人数为2人，在内的人数为3人， 设分数在[ 40，50 )内的2人为，分数在[ 50，60 )内的3人为， 则在这5人中抽取2人的情况有： ，，，，，，，，，，共有10种情况， 其中得分不在同一组的2人有：，，，，，，有6种情况， 所以概率为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，，是的中点，点在侧棱上， （1）求证：直线平面； （2）求的值，使得平面与平面夹角的余弦值为. 【答案】（1）因底面是边长为2的菱形，且 ，则 是等边三角形， 又因 是的中点，则，因，则 ， 因平面平面，平面 平面 ， 平面， 故直线平面. （2）或 【解析】 【分析】（1）先利用等腰三角形的性质证明，即得 ，再由面面垂直的性质即可得证； （2）取的中点为 ，连，证明 平面，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式列方程，求解即得的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为 ，连，因，，则 ，且 ， 因平面平面，平面 平面 ， 平面， 则 平面，易得 ，且，则两两垂直， 故可以点 为坐标原点，分别以为 轴建立空间直角坐标系. 则， 因点在侧棱上，，则，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 又因 平面，故可取平面的一个法向量为， 由题意， 解得或，均符合题意. 18. 已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积公式，可得关系，根据离心率，可得的关系，联立求解，即可得答案. （2）将直线与椭圆联立，结合韦达定理，设，可得，表达式，由题意得的表达式，化简整理，即可得答案. 【小问1详解】 由题意，所以， 因为，所以， 又离心率，解得， 联立解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 将直线与椭圆联立，得， 设，则， 又，所以， 所以 . 19. 设集合为下述条件的函数的集合：①定义域为；②对任意实数、，都有. （1）判断函数是否为中元素，并说明理由； （2）若函数是奇函数，证明：. 【答案】（1）是，理由： 函数的定义域为，满足条件①； 对任意实数、， ， 所以，满足条件②， 所以函数是中元素. （2） 由函数是上的奇函数，得， 假设，则对任意实数、， 都有， 取，，显然、是任意实数，且， 则， 即， 即， 化简得出， 这与矛盾，假设不成立，所以. 【解析】 【分析】（1）利用作差法结合新定义，推理判断即可； （2）利用奇函数的定义，借助反证法导出矛盾推理即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $