精品解析：湖北省十堰市郧阳中学2025-2026学年高一上学期1月学情自测数学试题

湖北省十堰市郧阳中学2025-2026学年高一上学期1月学情自测数学试题 命题人：赵志勇 审题人：祝小雪 本试题卷共四页，十九题，全卷满分150分.考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则“函数的图象的一条对称轴为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知命题：，则为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 5. 下列几种说法中，不正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知，函数，若恒成立，则（ ） A. 的最小值为8； B. 的最小值为2； C. 的最小值为； D. 的最小值为. 7. 已知函数的定义域为，对任意的、，.若对任意、，有.则满足时实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，其中表示，二者中的较大值，设，且对任意的，均存在，使得成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点是函数的图象的一个对称中心 C. 函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象 D. 函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 10. 潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象．某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为，其中（单位：m）为港口水深，（单位：h）为时间（），该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为6h，且中午12点的水深为8m，为保证安全，当水深超过8m时，应限制船只出入，则（ ） A. B. 最高水位为10m C. 该港口从上午8点开始首次限制船只出入 D. 一天内限制船只出入的时长为4h 11. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 函数有8个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的值域为_____. 13. 已知，则________． 14. 已知实数x，y满足，，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值； （2）若是方程的两个根，求的值. 16. 已知函数是偶函数. （1）求实数的值； （2）若函数的最小值为，求实数的值. 17. 如图，射线和均为笔直的公路，扇形区域含边界是一个生态文化创业园区，其中分别在射线上．经测量得，扇形的圆心角为，半径为单位：千米根据发展规划，要在扇形区域外修建一条公路，分别与射线交于两点，并与扇形弧相切于点不与重合，设，假设所有公路的宽度均忽略不计． （1）试将公路的长度表示成的函数； （2）已知公路每千米的造价为千万元，问：建造这样一条公路，至少要投入多少千万元？ 18. 已知函数，. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若，求证：，并求的值； （3）令，则，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围. 19. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省十堰市郧阳中学2025-2026学年高一上学期1月学情自测数学试题 命题人：赵志勇 审题人：祝小雪 本试题卷共四页，十九题，全卷满分150分.考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解法，求得集合，再由对数函数的性质，求得集合，结合基本交集和补集的运算，即可求解. 【详解】由不等式，解得或，所以集合或， 再由集合， 可得，所以． 故选：A． 2. 已知函数，则“函数的图象的一条对称轴为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的图象的一条对称轴为，求出或，因此“函数的图象的一条对称轴为”是“”的必要不充分条件. 【详解】由函数的图象的一条对称轴为，得， 解得，又因为，所以或， 因此“函数的图象的一条对称轴为”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 3. 已知命题：，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接判断. 【详解】命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题， 所以为：. 故选：C 4. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式，二倍角的正弦，余弦公式化简，利用正弦函数的单调性比较大小即可. 【详解】， ， ， 由于在上单调递增，所以， 即， 故选：D 5. 下列几种说法中，不正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】取特例判断A，根据作差法判断BC，利用不等式性质判断D. 【详解】对于A，当时，满足，但不成立，故A错误； 对于B，因为，所以，即，故B正确； 对于C，因为，所以，即，故C正确； 对于D，因为，所以，所以， 又，所以，故D正确. 故选：A 6. 已知，函数，若恒成立，则（ ） A. 的最小值为8； B. 的最小值为2； C. 的最小值为； D. 的最小值为. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数、的单调性知其零点相等得出，利用基本不等式判断A；根据判断B；根据结合基本不等式判断C；化简，结合A选项判断D. 【详解】因为单调递增，单调递增，且恒成立， 所以与零点相等， 令可得；令可得， 所以​， 对于A选项：因，则，即， 故，所以，当且仅当，即取等号，所以A错误； 对于B选项：由可知，易知，， 所以，当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C选项：因，故， 所以，故， 当且仅当，即取等号，所以C正确； 对于D选项：由可知，， 由，所以， 故当且仅当时取最小值，所以D错误. 故选：C. 7. 已知函数的定义域为，对任意的、，.若对任意、，有.则满足时实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的单调性与奇偶性，由可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为函数的定义域为，对任意的、，. 令，可得，所以，， 令，可得，所以，， 所以函数为奇函数， 因为对任意、，有， 不妨设，则， 所以，函数在上为减函数， 由可得， 所以，，则，解得， 因此，满足时实数的取值范围为. 故选：A. 8. 已知函数，，其中表示，二者中的较大值，设，且对任意的，均存在，使得成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助指数函数、对数函数单调性求出函数在上的值域，再利用二次函数性质求出分段求出函数在上的值域，然后由值域的包含关系求出的范围即可. 【详解】函数在上分别单调递减和单调递增， 则函数在上单调递减，而， 因此当时，，此时， 当时，，此时， 则函数在上的值域为； 由对任意的，均存在，使得成立， 则函数在上的值域是函数在上的值域的子集， 函数图象开口向下，对称轴为，，，而， 当时，，则； 当时，，则； 当时，， 因此，解得， 综上，实数的取值范围是，所以实数的最小值为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点是函数的图象的一个对称中心 C. 函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象 D. 函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图象求得，对A，利用诱导公式，可得，即可判断正误；对B，将点代入验证，即可求解；对C，利用图象平移变换，即可求解；对D，根据条件得平移后的图象为，再利用偶函数的性质，即可求解. 【详解】由图易知，，得到，又，所以， 又由图知，图象过点，且点在的减区间内，则， 得到，所以，即， 对于A，因为，即，所以A错误， 对于B，因为，所以点是函数的图象的一个对称中心，故B正确， 对于C，因为函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，即，故C正确； 对于D，向右平移后的函数， 易知的定义域为，又， 所以为偶函数，图象关于轴对称，故D正确， 故选：BCD. 10. 潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象．某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为，其中（单位：m）为港口水深，（单位：h）为时间（），该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为6h，且中午12点的水深为8m，为保证安全，当水深超过8m时，应限制船只出入，则（ ） A. B. 最高水位为10m C. 该港口从上午8点开始首次限制船只出入 D. 一天内限制船只出入的时长为4h 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据余弦函数的图象和性质解出判断AB，解不等式判断CD即可. 【详解】依题意，解得，A正确； 当时，，解得，所以最高水位为10m，B正确； 由上可知，令，即， 解得或， 所以从上午8点开始首次限制船只出入，一天内限制出入时长为8h，C正确，D错误， 故选：ABC 11. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 函数有8个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出函数的图象，对于A：直接观察即可；对于B：通过求解；对于C：根据图象得到，，进一步计算求解；对于D：令，求出的根，代入，继续根据图象可求根的个数. 【详解】因为， 当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且，； 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 作出函数的图象如下： 对于A：关于x的方程有四个不同的根， 即函数与的图象有4个交点，由图象可得，故A错误； 对于B：由图可知，即，解得，故B正确； 对于C：由图象知，所以，且， 所以， 又由， 所以，故C正确； 对于D：对于函数，令，则， 即，因为，，， 可得， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 综合得函数有个零点，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的值域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法转化为指数函数和二次函数的值域问题求解即可. 【详解】令， 则原函数值域等价于函数的值域， 由指数函数性质可知，故函数的值域为. 故答案为： 13. 已知，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】观察可得，故，结合诱导公式求结论. 【详解】因为， 所以， 又， 所以， 故答案为：. 14. 已知实数x，y满足，，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用指数与对数运算，结合函数的单调性即可求解． 【详解】因为，所以， 又，所以， 即， 即有， 因为函数在上为增函数， 所以，所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值； （2）若是方程的两个根，求的值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解； （2）利用韦达定理得到，从而得到，再由同角三角函数的基本关系求出，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 解得； 【小问2详解】 因为是方程的两个根， 所以， ， 又， . 16. 已知函数是偶函数. （1）求实数的值； （2）若函数的最小值为，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用，即可得出结果； （2）根据（1）得到，通过换元，从而将问题转化成二次函数的最小值为，再利用二次函数的性质即可求出结果. 【小问1详解】 因为，易知定义域为，又是偶函数， 由，得到恒成立， 整理得到，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 令，因为，所以，当且仅当，即时取等号， 故，对称轴， 当，即时，，得到， 当，即时，，得到（舍去）， 故. 17. 如图，射线和均为笔直的公路，扇形区域含边界是一个生态文化创业园区，其中分别在射线上．经测量得，扇形的圆心角为，半径为单位：千米根据发展规划，要在扇形区域外修建一条公路，分别与射线交于两点，并与扇形弧相切于点不与重合，设，假设所有公路的宽度均忽略不计． （1）试将公路的长度表示成的函数； （2）已知公路每千米的造价为千万元，问：建造这样一条公路，至少要投入多少千万元？ 【答案】（1）； （2）千万元． 【解析】 【分析】（1）根据，利用直角三角形求解即可； （2）转化为，利用三角恒等变换化简，求最值即可. 【小问1详解】 如图， 依题意可知， 所以，， 故； 【小问2详解】 要使得投入最少，则长度要最小， 因为 ， 因为，所以， 所以，所以， 又因为公路每千米的造价为千万元，所以建造这样一条公路，至少需要投入千万元． 18. 已知函数，. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若，求证：，并求的值； （3）令，则，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：若，则， ， 设， 则， 两式相加得，即，则， 故. （3） 【解析】 【分析】（1）化简函数的解析式，利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的值域； （2）利用指数运算可证得，然后利用倒序相加法可求得所求代数式的值； （3）令，，由结合参变量分离法可得，利用双勾函数的单调性求出函数在区间上的值域，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 ， 当时，函数为增函数， 则函数的最大值为，函数的最小值为， 所以，函数的值域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 设，当时，， 则函数等价于， 若函数在区间上有零点，则等价于在上有零点， 即在区间上有解， 所以，在区间上有解， 所以，， 设，则，则， 因为函数在区间上单调递增，且，， 当时，，所以，， 所以，实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 19. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0或1； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，利用换元法计算可得； （2）依题意可得在上有解，参变分离可得在上有解，结合对勾函数的单调性求出的取值范围，即可得解； （3）依题意可得，根据的单调性，求出的最值，即可得到，换元得到，参变分离，结合函数的单调性，计算可得. 【小问1详解】 当时，由可得，， 令，则，解得或， 即或，解得或， 的“准不动点”为0或1； 【小问2详解】 由得，， 即在上有解， 令，由可得，则在上有解， 故，当时，在上单调递增，，则，解得， 的取值范围； 【小问3详解】 由得，， 即，则， 又由指数函数的性质可知在上单调递增，，则， 即， 令，则，从而，则， 又在上均为增函数，则，， ，即，所以实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $