湖北省云学联盟2025-2026学年高一下学期6月教学质量检测数学试题

**基本信息** 高一数学期末检测题，以统计抽样、立体几何、解三角形等为载体，通过分层抽样应用（题1学生人数估算）、圆锥旋转体体积比（题7）等问题，考查数学眼光、思维与语言，梯度覆盖基础与创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|统计抽样、立体几何直观图、向量基底|结合实际情境（题1学生人数抽样），考查空间观念（题2直观图还原）| |多选题|3/18|复数运算、正方体动态几何|正方体动点轨迹（题10），体现批判性思维| |填空题|3/15|向量平行、三角形外接圆、内切球|球与正方体相切（题14），考查几何直观| |解答题|5/77|解三角形形状判断、圆柱与三棱锥综合|圆柱中体积最值与二面角（题19），综合空间观念与运算能力|

2025-2026学年度下学期教学质量检测题 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的、 1.某校高一年级有1800名学生，其中男女生人数之比为3：2，现用比例分配的分层随机抽样方 法抽取一个容量为120的样本，其中身高在165cm以下的女生人数为32，则该校高一年级 女生身高在165cm以下的人数为 A.320 B.360 C.420 D480 2.如图，△AOB的斜二测画法的直观图为等腰直角△4'OB',其中OA'=1,则下列说法中锆误 的是 A.O4-2 B.OB-V2 C.△AOB的面积为V2 D.∠OAB= 3.下列说法正确的是 A.用一个平面去截棱雄，截面与棱锥底面之间的部分是棱台 B.垂直于同一直线的两条直线平行 C.若两个相交平面垂直于同一平面，则相交平面的交线垂直于这个平面 D.若直线与平面平行，则直线平行于平面内的任一直线 4.已知函数f)=sin2x+孕，将f)的图像向左平移p(o>0个长度单位后得到g的图像， 若函数(x)为偶函数，则o的最小值为 A合 B.若 C. 2元 3 D. 3 5,已知单位向量a,的夹角为60°，给出以下结论：(1)a-2,-2a可以作为平面内的一个基 底；(2)-=1；(3)若a-与的夹角为6，则cos6-；(4)⊥(G-2动.其中正确结论的 个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 第1页共4页 6.如图，在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,D、E分别在边AB、AC上，设∠ADE=0, x-acos(B+0)+bcos(4-0),y=ccos0, A.xy B.x-y C.x≤y D.x与y的大小与取值有关 7.如图所示，圆锥S0的侧面展开图为半圆，其轴截面为△SAB, 过O作OC.LSB于点C,线段OC绕SO旋转一周所得的曲面将 圆锥S0分成上下两部分，则这两部分几何体的体积之“为 A.5:3 B.9:7 C.1:1 D.11:5 8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a(cosB-2cosC=(2c-b)cosA,a=3,则 △ABC面积的最大值为 3 A. B.√3 C.3 D.2W3 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 9.设复数z满足(1+2025)=2i,为复数z的共轭复数，则下列说法正确的是 A.V B.的虚部为-i C.2是个纯虚数 D复数z对应的点位于复平面的第一象限 10.正方体ABCD-A:B1CD1的棱长为2，E为BC的中点，P为棱A4:上的动点，则下列结斑正 确的是 A.A:E⊥C:D B.A1E与平面ABCD所成角的余弦值为 C.若过点E的截面与平面B1CD,平行，则截面多边形的周长为6√2 D.若点E在平面PB1D1内的投影为点M,则点M的轨迹为圆弧 t1.设a∈(0，引，若x-cosa,-cos2a,cos4a,且x+1-22,则下列结正确的是 A.a=2 B.x+y+z=0 C.xyz= 8 D.x2+y2+22=3 第.2页共4页 三、填空题：本题共3小题.每小题5分，共15分. 12.已知向量d=(1,0),-(-1,V3,(V3,),若a-2b平行于，则实数k= 13在△ABC中，角A、B、C满足tanA+tanB+tanC--tanA-tanB,其外接圆半径为1，则c=_-一 14.正方体ABCD-AB1CD1的棱长为2，其内切球为球O,若球O1与球O及正方体的三个面均 相切，则球O1的表面积为一· 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题3分)如图，在△ABC中，AB⊥AC,D、E分别为边AC、BC上的动点. (1)若AD=DC,BE=2EC,AEOBD=P,P=AE,求的值； (2)若AB=AC,BE=EC,A龙在BD方向上的投影向量为BD,求t的最小值。 B 16.(本小题15分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知c=btanC. (1)若B为锐角，试判断△ABC的形状； (2)若B为钝角， (i)D在AC上，且CD=2AD,BD⊥BC,求角C; (i)求sinA+sinC的最大值， 第3页共4页二 17.(本小题15分)如图，正方体ABCD-AB1CD1的棱长为2mE为棱BC的中点，F为棱CD1 的中点 D (1)求异面直线AE与AC所成角的大小； (2)证明：A1E⊥平面AB1F. 18.(本小题17分)已知fx)=sin4x+2V3 sinxcosx-cos4x. (1)求x)的最小正周期及单调递增区间； (2)在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=2,fA)=1,求BC边上的 高AD的取值范围. 19.(本小题17分)如图所示，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，AB为圆柱的母线，BC为下底 面圆O的直径，D为BC上的动点（异于B,C)· (1)若点M为AC的中点，证明：点M为三棱锥A-BCD的外接球的球心； (2)当三棱锥A-BCD的体积最大时，求二面角B-AC-D的正弦值； (3)若P为圆柱侧面上的动点，求PAPD的最小值， 第4页共4页高一数学学科素养测评 评分细则 1.【答案】D 【解析】由题意可知，女生人数为720，由比例分配的分层随机抽样方法可知，120人的样本中女生人 数为48，所以高一年级女生身高在165cm以下的人数为弱×720-480.故选D. 2.【答案】D 【解析】在等腰直角△A'OB中，因为O'A'=1,所以OB'=√2， 由斜二测画法可知，OA=2O'A'=2,OB=0B'=V2,∠AOB=,所以A、B正确，D错误； △AOB的面积为OAOB=V2,C正确.故选D. 3.【答案】C 【解析】对于A,截面与底面位置关系未知，错误；对于B,垂直于同一直线的两条直线平行、相交或 异面：对于D,由线面平行的性质知，错误，故选C. 4.【答案】A 【解析】由题意可得g6w)-sin(2x+2p+)其为偶函数，所以2φ+k+片，9受+号k☑，故p的最小 值为登故选A. 5.【答案】C 【解析】由题意可知a-2与-2a不共线，可以作为平面内的一个基底，所以(1)正确；a2=62=1,a石- 所以可--a6-办1，所以1，所以（2)正确：（任-可不--衣-专所以eo6船-7 所以(3)错误：因为d(d-2=2-2a记-0，所以(4)正确.故选C. 6.【答案】B 【解析】在△ABC中，由余弦定理可得acosB+bcosA=c,由正弦定理可得asinB-=bsinA, xacos(B+0)+bcos(4-0)=acosBcos0-asinBsin0+bcosAcos0+bsinAsin0 =(acosB+bcosA)cos0-(asinB-bsinA)sin0=ccos0-y.B. 7.【答案】B 【解析】因为圆锥SO的侧面展开图为半圆，所以其轴截面△SAB为等边三角 形，设其边长为4，S0=SB-sine60°=2V5.过C作CD⊥S0与点D,则曲面是 CD为底面半径，OC为母线的圆锥的侧面.在Rt△OBC中，OC=OB-sin60°=√3； 第1页共6页 在R△0CD中，CD-0Cn60°万-多圆锥S0的体积为-x22W3-5,曲面上方的几何体 的体积为y1✉目'25-9所以两部分的体积比为：学997.故选B。 8.【答案】C 【解析】由a(cosB-2cosC)=(2c-b)cosA得sinA(cosB-2cosC)=(2sinC-sinB)cosA, 即sinAcosB--2 sinAcosC=2 sinCcosA--sinBcosA，,所以sin(A+B)=2sin(A+C),即sinC-2sinB,所以c=2b, 又co4--所以s4-or-画 2bc 4b2 所以SAAG4=921-04西s3.故选C. 4 4 9.【答案】ACD 【解析】因为z(1+2)2i所以z=1-引=1比，D正确：1+2，A正确：云1- 虚部为-1，B错误：z2=2i,C正确.故选ACD. 10.【答案】ACD 【解析】对于A,在正方体中，面对角线CD⊥面ABCD1,AEC面ABCD1,所以AE⊥CD,A正确； 对于B,连接AE,在正方体AC1中，AA1⊥面ABCD,即AE在平面ABCD内的射影为AE,所以 ∠AEA即为所求的线面角.在Rt△ABE中，AB=2,BE=1,故AE=V5;在Rt△AAE中，AA=2,AE=V5, 故AE=3,cos∠AEA5B错误；对于C,过点E与平面B1CD1平行的截面为正六边形，其边长为 √2，C正确；对于D,M是以BE、DE为直径的球的公共点，D正确.故选ACD 11.【答案】ABD 【解析】对于A,由x+1-22得cosa+1=2cos24a,所以cosa-2cos24a-l=cos8a,而a∈(0，)，故a+8a-2元， 即a=行，A正确； 对于B,c0s5+cos号+cosg-c0s(写-5+c0s(写+f+cosg-2 2coscos-号cosg-0,B正确： 对于C9gc0s号cos号cnsg宁之吃兰-， 。>9C错误， 对于D,222-cos2号os2号+o3g-(eos号+os号+os些+3)月D正确.放选ABD. 12.【答案】-2 【解析】由题意a-26=(3,-2W3,若a-26与平行，则(3，-2W3=(5,k),解得-2. 13.【答案】V2 【解析】在△ABC中，由taA+tanB+tanC-tanA-tanB得tanC=l,故C-芬所以c-2 RsinC--2lin=V2. 14,【答案】(28-16V3)元 第2页共6页 【解析】如图，AACC1是正方体的对角面，圆O、O1是球O与球O1的大圆， 设球0与球O1的半径分别为r,1,由题意可得=1，由OA=√3及相似关系可得， rih55,故rnr编-25， 所以球01的表面积为4x(2-V32-(28-16W3x 15.【解析】 (1):BF=2EC,即B为靠近C的三等分点，“店-A+AC, 所以正-正}+华AC,又因为B、P、D三点共线， 所以-4店+(1-)AD=A+'子AC 所以 2_14 所以严-花，故 6分 (2),△ABC为等腰直角三角形，∴.以A为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 设B(0,2),D(x,0)(x∈[0,2])，则E(1,1),AE=(1,1),BD=(x,-2), 故正在丽方向上的投影有量为需需-》停2D-品D,令m2x∈02小， x2+(-2)2 所以m0时，品-0， m=2-x(0,2]时，←2 m 1 1 1 4@24m-sm点之2立（当且仅当m=2时等号成立， 所以t的最小值为-分 .13分 16.【解析】 (1)在△ABC中，由c--btanC得sinC--SinBtanC,又tanC-sC, cosC 故sinB=cosC,显然C为锐角、 若B为锐角，由smB=cosC得B=牙-C,即B+C-2所以△ABC为直角三角形.4分 (2)若B为钝角，则B=2+C, (i)设CD=2AD=2,在Rt△BCD中，BC=2cosC,BD=2sinC, 在△ABD中，∠ABD=∠C,由正弦定理可得”而品即，C气所以5mA2 sPC, 在△ABC中，由正弦定理可得4C=C, 即hG可，所以sin4-cos2c②， 由0②得an2C-co2C,因为C为锐角，所以anC-C。9分 第3页共6.页 (i):B为钝角，B=登+C,0C<京0<sinC<要 simM+sinC-sim(B+C)+simC-sm（传+2C）+sinC--cos2C+sinC=1-2sin2C+sinC-一2(6inC-)}'+号sg 当且仅当sihC-∈(o,写时，等号成立.故simA+sinC的最大值为 .15分 17.【解析】 C (1)取AB中点P,连接PE,PA1, A By 因为E为BC的中点，所以PE为△ABC的中位线， 所以PE∥AC,PEAC-VAB2+BC=V2, 所以∠AEP即为异面直线AE与AC所成角（或其补角)。 B 在Rt△AA1P中，AP-AB=1,AA1=2,所以A1P=√A4P+AP=V5,连接AE, 在Rt△ABE中，BEBC-1,AB=-2,所以AE=VAB2+BE2=V5, 在Rt△A1AE中，AE=V5,AA=2,所以AB=√A1A2+AE-3, 在△A1PE中，由余弦定理可得coS∠ABP452+P2-AP_34回-=三∠A1BP=45。 2AEPE 23V2 3 所以异面直线A1E与AC所成角的大小为45°。7分 (2)在正方体AC1中，BC⊥面AB1,BC⊥AB1, 又AB⊥AB1,AB∩BC=B,所以AB1⊥面ABCD1, D C 因为A,EC面ABCD1,所以AB1⊥AE。 G 取B1C1的中点G,连接EG,AG, 因为EG∥BB,BB⊥面AB1CD1,BFC面A1B1CD1,所以EG⊥BF。 在正方形AB1CD1中，F为CD1的中点，G为B1C的中点， 所以Rt△AB1G≌Rt△B1CF, 所以∠GA1B1=∠FB1C1,∠A1GB1=∠B1FC1, 因为∠GAB1+∠A1GB1=90°，所以∠A1GB1+∠FB1C1=90°，所以A1G⊥BF, 又A1GnEG=G,所以BF⊥面AGE, 因为AEC面A1GE,所以BF⊥AE, 因为AB1∩BF=B1,所以A1E⊥平面AB1F。15分 18.【解析】 第4页共6页 (1)fx)=sinx+2v3sinx.cosx-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos?x)+2V3sinxcosx -sin'x-cos2x+23sinxcosx-V3sin2x-cos2x-2sin (2x- 所以)的最小正周期为T受元。 由2kms2x若s2k元+得k-gsxm+(k∈Z), 所以)的单调递增区间为km-若kr+](k∈2Z)6分 (2)因为0=2sm(24)-l,所以sm(2A-周=空又A∈(0，引，所以24-名-后4- 因为a=2,故△ABC的外接圆直径为2R-4. 又S AABC-besinA=-5aAD, 故AD-bc=4sinB4sinC-4 AsinBsinC-4 sinBsin(B+月-4sinB(侵inB+cosB） -2V3sin2B+2sinBcosB=V3(1-cos2B)+sin2B=sin2B-V3cos2B+V3 =2sm(2B-9W5, 因为△ABC为锐角三角形，所以 0<B<I 故B∈(G,引，2B-∈(（后，)，si(2B-司)∈（停，， 所以AD=2si(2B-)W3∈(（2V3,2+W]. ..17分 19.【解析】 (1)因为AB为圆柱的母线，BC为底面圆的直径，所以AB⊥BC 在Rt△ABC中，M为斜边AC的中点，所以MA=MB=MC. 又D为BC上的动点，BC为底面圆O的直径，所以BD⊥CD. 又因为AB⊥CD,BDOAB=B,所以CD⊥面ABD,枚CD⊥AD, 在Rt△ACD中，M为斜边AC的中点，所以MA=MD=MC 所以MA=MB=MC-MD,所以M为三棱锥A-BCD的外接球的球心.4分 (2)由(1)知，△BCD为直角三角形，斜边BC=2, 所以BD2+CD2=222BDCD,故BDCD<2BD=CD时等号成立)· 又VDSARCDAB-片BD-CD-ABS(BD--CD时等号成立)， 所以D为BC的中点时三棱锥ABCD的体积最大 连接DO,则DO⊥面ABC,过O作OP⊥AC于点P,连接DP, 第5页共6页， 则∠DPO为所求二面角的平面角， 又OD=l,OP-OCm子-2，所以an∠DP0-PE,sin∠DP0-S 故当三棱锥ABCD的体积最大时，二面角BACD的正弦值为 .10分 (3)过点P作与轴垂直的平面圆N,母线AB与圆N交于A1,过D的母线与圆N交于D1,过P的母 线与上底交于P1,与下底交于P2,则PA=PA+PP,PD=PD+PP 所以PAP币-PA+PP)(PD+PP)=PAPD+PAPP+PPPD+pPpP -PAPDI+PPPP-PN+NA)(PN+ND)-PPIPP2 -PN4PN-NDI+NA PNINAND-PPPP2 设∠ANP=a,∠PND1=B,则∠AND=a+B, 所以PAPD-1-cosB-cosa+cos(a+0-|PPPp, 因为1-cosf-cosa+cos(a+)-1+cos(a+)-cosa-cosf=2cos22-2cos4cos"生 2 cosaB=1 ≥2co22-2c0s学2-2(c0s学-)》-之（当且仅当 cosatp1' 即a=f=时，等号成立)， 22 又P阿HP严（圆）-1（当且仅当pP严时等号成立）. 所以PAP元-1-cosB-cosa+cos(a+f)-|PPPP}-1=-3 即P4PD的最小值为-子17分 第6页共6页 2025-2026学年度下学期教学质量检测题 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.某校高一年级有1800名学生，其中男女生人数之比为3：2，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为120的样本，其中身高在165cm以下的女生人数为32，则该校高一年级女生身高在 165cm以下的人数为 A. 320 B. 360 C. 420 D 480 2.如图，△AOB 的斜二测画法的直观图为等腰直角△A'O'B'，其中O'A'=1,则下列说法中错误的是 A. OA=2 C. △AOB 的面积为 3.下列说法正确的是 A.用一个平面去截棱锥，截面与棱锥底面之间的部分是棱台 B.垂直于同一直线的两条直线平行 C.若两个相交平面垂直于同一平面，则相交平面的交线垂直于这个平面 D.若直线与平面平行，则直线平行于平面内的任一直线 4.已知函数 将f(x)的图像向左平移φ(φ>0)个长度单位后得到g(x)的图像，若函数g(x)为偶函数，则φ的最小值为 B. C. 5.已知单位向量 ，的夹角为60°，给出以下结论： 可以作为平面内的一个基底； (3)若 与的夹角为，则 (4)⊥(-2).其中正确结论的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第 1 页共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 6.如图,在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,D、E分别在边AB、AC上,设∠ADE=,x= acos(B+)+ bcos(A-), y=ccos, 则 A. x>y B. x=y C. x<y D. x与y的大小与θ取值有关 7.如图所示，圆锥SO的侧面展开图为半圆，其轴截面为△SAB，过O作OC⊥SB于点 C，线段OC绕SO旋转一周所得的曲面将圆锥SO分成上下两部分，则这两部分几何体的体积之比为 A. 5:3 B. 9:7 C. 1:1 D. 11:5 8. 在△ABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c, 若a(cosB-2cosC)=(2c-b)cosA, a=3, 则△ABC面积的最大值为 B. C.3 D. A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9.设复数z满足 为复数z的共轭复数，则下列说法正确的是 A. B. 的虚部为-i C. z²是个纯虚数 D 复数z对应的点位于复平面的第一象限 10. 正方体. 的棱长为2，E为BC的中点，P为棱AA₁上的动点，则下列结论正确的是 A. A₁E⊥C₁D B. A₁E与平面 ABCD 所成角的余弦值为 C.若过点E的截面与平面B₁CD₁平行，则截面多边形的周长为( D.若点E在平面PB₁D₁内的投影为点M，则点M的轨迹为圆弧 11. 设 若x=cosα, y=cos2α, z=cos4α, 且. 则下列结论正确的是 A. B. x+y+z=0 C. D. 第.2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题：本题共3小题.每小题5分，共15分. 12.已知向量 若 平行于，则实数 13 在△ABC中,角A、B、C满足 ，其外接圆半径为1，则c= . 14.正方体 的棱长为2，其内切球为球O，若球O₁与球O及正方体的三个面均相切，则球O₁的表面积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. (本小题13分)如图,在△ABC中, AB⊥AC, D、E分别为边AC、BC上的动点. (1)若 求λ的值； (2)若 在 方向上的投影向量为 求t的最小值。 16. (本小题15分)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知c=btanC. (1)若B为锐角，试判断△ABC的形状； (2)若B为钝角, (i) D在AC上,且CD=2AD, BD⊥BC,求角C; (ii)求 sinA+sinC的最大值. 第 3 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 17.(本小题15分)如图，正方体. 的棱长为2，E为棱BC的中点，F为棱 的中点. (1)求异面直线 与AC所成角的大小； (2) 证明: 18. (本小题17分)已知 (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2)在锐角 中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=2,f(A)=1,求BC边上的高AD的取值范围. 19.(本小题17分)如图所示，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，AB为圆柱的母线，BC为下底面圆O 的直径,D为BC上的动点 (异于B,C). (1)若点M为AC的中点，证明：点M为三棱锥A-BCD 的外接球的球心； (2)当三棱锥A-BCD的体积最大时，求二面角B-AC-D 的正弦值； (3)若P 为圆柱侧面上的动点，求 的最小值. 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $