精品解析：天津市武清区天和城实验中学2025-2026学年高二上学期第二次形成性练习数学试题

高二年级第一学期第二次形成性练习（数学学科） 考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一､单选题（每题5分，共45分） 1. 准线方程为的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由准线方程求出抛物线的标准方程即可求解. 【详解】由题意可知抛物线开口向下，故设抛物线方程为. 因为抛物线的准线方程为，所以，即，所以该抛物线的标准方程为． 故选：D. 2. 数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意逐一检验选项即可. 【详解】对于选项A：令，可得，不合题意； 对于选项B：代入检验均可，符合题意； 对于选项C：令，可得，不合题意； 对于选项D：令，可得，不合题意； 故选：B. 3. 已知，，且，则（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直得到的值，进而求出. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以， 故选：A 4. 设为实数，已知直线，，若，则（ ） A. 6 B. C. 6或 D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线一般形式下的平行条件计算即可. 【详解】因为，所以，解得或． 当时，，满足与平行； 当时，，可判断此时与重合，舍去； 所以. 故选：A． 5. 在等差数列中,,,则公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设公差为,根据题意将已知条件化为和的形式,解方程组即可得到结果. 【详解】设公差为,则 , 解得. 故选:C. 6. 已知双曲线，则顶点到渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线方程可以写出渐近线方程和顶点坐标，再用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由双曲线可得渐近线方程为，上顶点坐标为， 所以顶点到渐近线的距离为. 故选：C 7. 设数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，计算数列前5项确定周期，进而求出指定项. 【详解】数列中，，且，则， ，因此数列是周期为4的数列， 所以. 故选：C 8. 已知双曲线的左顶点为，离心率为，抛物线上一点到其焦点的距离为.若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由定义求出抛物线方程，再由渐近线和离心率求出双曲线方程. 【详解】因为上一点到其焦点的距离为， 由定义可得，得，所以抛物线方程为. 代入点，可得， 双曲线左顶点为，渐近线斜率为， 由得，直线的斜率为， 因渐近线与直线平行，则，即， 两边平方得，将代入，得，解得（故）， 所以，则，双曲线方程为. 故选：A. 9. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.若曲线，且点分别在曲线和圆：上，则两点间的最大距离为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先由椭圆的定义，结合题中条件，得到曲线的方程为，设点，记圆：的圆心为，其半径为，结合圆的性质，得到，进而可求出最大值. 【详解】因为， 表示曲线上的点到两定点，的距离之和为， 即， 根据椭圆定义，曲线表示以和为焦点，以为长轴长的椭圆， 设椭圆的方程为， 则，，所以， 其方程为； 记圆：的圆心为，其半径为， 根据圆的性质可得，， 因为点在椭圆上，所以， 又在显然单调递减，所以， 则，所以，即两点间的最大距离为. 故选：B. 第Ⅱ卷（非选择题） 二､填空题（每题5分，共30分） 10. 过两点A(5,y)，B(3,－1)的直线的倾斜角是135°，则y等于________． 【答案】－3 【解析】 【分析】利用直线斜率与倾斜角关系和斜率公式可得答案. 【详解】因为斜率k＝tan 135°＝－1，所以，得y＝－3． 故答案为：. 11. 已知数列的前项和为，满足，则的通项公式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据进行求解，得到答案. 【详解】当时，， 当时， ， 当时，， 故， 故答案为： 12. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点.若线段AB中点的横坐标为3，则____________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据抛物线的焦点半径公式得焦点弦长，由此计算． 【详解】设点,由题意可得. . 故答案为：8. 13. 若点都在直线上，则数列的前项和取得最小时的等于__________． 【答案】7或8. 【解析】 【分析】根据点在线上可得，从而可求得，，，从而可得结果. 【详解】由题意得： 令得：；得： 可知：，，，即 的最小值为或 本题正确结果：或 【点睛】本题考查等差数列前项和的最值问题，关键是根据数列的通项公式求得变号项，注意当某项等于零时，存在最值相等的情况. 14. 已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为______：公共弦长为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，再由弦长公式计算可得公共弦长为. 【详解】易知两圆相交，将两圆方程相减可得，即； 所以两圆公共弦所在直线的方程为； 易知圆的圆心为，半径为； 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为：； 15. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，，直线PQ是的内角平分线，，.则双曲线C的离心率______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出图形，延长交于点，由题可得为等腰直角三角形，结合双曲线的定义可得，根据离心率公式求解即可. 【详解】 不妨设在右支上，则， 因为，故，故， 取的中点为，则，而，在直线上， 而，故在的延长线上， 由，可得，而为角平分线， 所以，故， 故，故， 所以，即， 所以. 故答案为：. 三､解答题（每题15分，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知圆的方程为：. （1）若直线与圆C相交于两点，且，求实数的值； （2）过点作圆C的切线，求切线方程. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）由圆的方程可得圆心与半径，利用点到直线距离公式以及弦长公式，可得答案； （2）利用分类讨论思想，分斜率存在与不存在两种情况，根据切线的判定，结合点到直线距离公式，可得答案. 【小问1详解】 圆的方程为：，则圆的圆心为，半径为2， 直线与圆相交于，两点，且， 圆心到直线的距离， ，，解得或. 【小问2详解】 由已知得，点在圆外， 切线的斜率不存在时，直线，与圆相切； 切线的斜率存在时，可设切线为，即， 由切线的定义可知，，解得， 故切线方程为； 综上所述，切线方程为或. 17. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差后，借助等差数列求和公式与基本量计算即可得； （2）借助等差数列求和公式与作差法计算即可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，有，即， 由，有，将代入得， 则或，又数列的公差不为， 故，则， 故数列的通项公式； 【小问2详解】 ， 则，又，故使成立的的最大值为. 18. 如图，在多面体中，平面，，四边形为矩形，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 连接，交于点，可得是的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面. （2） ； （3） . 【解析】 【分析】（1）连接交于点，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由（2）得平面的法向量为，再由， 结合点面距的向量计算公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以为原点，以正方向分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，，， 可得，， 设平面的法向量为，则有， 取，可得，，所以， 又由，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 则， 故平面与平面夹角余弦值为. 【小问3详解】 解：由（2）知：平面的法向量为， 又由， 则， 所以点到平面的距离为. 19. 已知数列满足，，，设数列 （1）求证数列为等差数列； （2）求数列的通项公式； 【答案】（1） 因为， 所以， 所以 又因为， 所以， ， ， （为常数） 所以数列是公差为的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义证明； （2）由（1）的结论求得即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：， 所以， 所以， . 20. 已知椭圆E：的离心率为，且左、右顶点以及下顶点所构成的三角形的面积为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线l：与椭圆E交于A、B两点，与y轴交于点P（与A、B不重合），线段AB的垂直平分线与AB交于点D，与y轴交于点Q，O为坐标原点．若，求直线l的斜率． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由离心率为及已知三角形的面积，解方程组即可求出，得到椭圆方程； （2）设，联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理得到，求得AB的垂直平分线方程，进而求出的坐标，再根据条件，即可求得斜率. 【小问1详解】 由题设知：， 解得， ∴椭圆E的标准方程为：. 【小问2详解】 设， 由l：得l与轴的交点， 联立，消y得： 则，即 且， ∴AB的中点，即 ∴AB的垂直平分线方程为：， 令，得，∴ ∵ ∴ ∴，解得 所以直线l的斜率为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级第一学期第二次形成性练习（数学学科） 考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一､单选题（每题5分，共45分） 1. 准线方程为的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 2. 数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，且，则（ ） A. B. C. 6 D. 4. 设为实数，已知直线，，若，则（ ） A. 6 B. C. 6或 D. 或3 5. 在等差数列中,,,则公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知双曲线，则顶点到渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 设数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知双曲线的左顶点为，离心率为，抛物线上一点到其焦点的距离为.若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 9. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.若曲线，且点分别在曲线和圆：上，则两点间的最大距离为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题） 二､填空题（每题5分，共30分） 10. 过两点A(5,y)，B(3,－1)的直线的倾斜角是135°，则y等于________． 11. 已知数列的前项和为，满足，则的通项公式是___________． 12. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点.若线段AB中点的横坐标为3，则____________. 13. 若点都在直线上，则数列的前项和取得最小时的等于__________． 14. 已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为______：公共弦长为_____. 15. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，，直线PQ是的内角平分线，，.则双曲线C的离心率______. 三､解答题（每题15分，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知圆的方程为：. （1）若直线与圆C相交于两点，且，求实数的值； （2）过点作圆C的切线，求切线方程. 17. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的的最大值． 18. 如图，在多面体中，平面，，四边形为矩形，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 已知数列满足，，，设数列 （1）求证数列为等差数列； （2）求数列的通项公式； 20. 已知椭圆E：的离心率为，且左、右顶点以及下顶点所构成的三角形的面积为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线l：与椭圆E交于A、B两点，与y轴交于点P（与A、B不重合），线段AB的垂直平分线与AB交于点D，与y轴交于点Q，O为坐标原点．若，求直线l的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $