寒假预习衔接：正比例与反比例应用题(专项训练)-2025-2026学年六年级下册数学北师大版

寒假预习衔：正比例与反比例应用题 1．某物流公司要将一批货物运往加工厂，如果要一次把这些货物全部运走，货车的载质量与所需车辆的数量如下表。 载质量/吨 2.5 3 5 数量/辆 48 40 24 （1）货车的载质量与所需车辆的数量成反比例吗？为什么？ （2）如果用载质量为4.8吨的货车来运，一共需要多少辆？ 2．某工厂有一批煤，每天烧煤的质量和可烧的时间关系如下表。 每天烧煤的质量/吨 0 3 6 9 15 20 … 可烧的时间/天 0 30 15 10 6 4.5 … （1）判断每天烧煤的质量和可烧的时间是不是成反比例，并说明理由。 （2）如果该工厂平均每天烧煤的质量是5吨，那么这批煤可烧多少天？ 3．明明家的鱼缸有A，B两根进水管，先打开A管，中途打开B管。如图表示从开始加水到蓄满水的进水时间和鱼缸中水的体积的关系。 （1）从0分到6分，鱼缸中水的体积和进水时间成比例吗？如果成，成什么比例？如果不成比例，理由是什么？ （2）A管每分进水多少升？B管呢？ 4．一种硬笔书法练习本，数量和总价的关系如表． 数量/本 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 4 8 12 16 20 24 … （1）在图中，描出总价与数量之间的对应点，并连接各点． （2）总价与数量有什么关系？为什么？ 5．某厂要生产一批豆浆机，平均每天产量和所需时间如表。 平均每天产量/台 200 300 500 所需时间/天 75 50 30 （1）平均每天产量和所需时间成 　 　 比例。 （2）现要在20天内完成生产任务，平均每天产量至少要达到多少台？ 6．聪聪读一本书，每天读的页数和所需要的天数如表。 每天读的页数 20 30 40 60 …… 需要的天数 12 8 6 4 …… （1）书的页数一定，每天读的页数和所需的天数成什么比例？说明理由。 （2）聪聪如果想15天读完这本书，平均每天读多少页？ 7．在一张长方形彩纸上摆满小正方形，每个小正方形面积与所需小正方形的数量如表： 每个小正方形的面积/cm2 4 9 16 所需小正方形的数量/个 216 96 54 （1）每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成 　 　 比例关系。 （2）如果采用面积是36cm2的小正方形来摆满这张长方形彩纸，需要多少个小正方形？（用比例方法解答） 8．工厂要生产一批零件。胡师傅先做了一段时间，然后李师傅加入，两人共同完成（两人每时生产的零件数不变）。具体数据如图。 （1）胡师傅每时生产多少个零件？ （2）胡师傅与李师傅每时生产的零件数之比是多少？ 9． 时间/时 1 2 3 4 5 6 … 路程/千米 90 … ①先把上表补充完整，再根据表中的数据，在图中描出时间和路程的对应点，再把这些点按顺序连起来． ②时间和路程成　 　 比例，理由是　 　 ． ③利用图象估计一下，2.5时行　 　 千米，行675千米需要　 　 小时． 10．某物流公司将120t货物运往一加工厂，如果要一次把所有货物全部运出，车辆的载质量与所需车辆的数量如下表． 载质量/t 2.5 3 5 10 数量/辆 48 40 　 　 　 　 （1）请把上表填写完整．车辆的载质量和所需车辆的数量成什么比例关系？ （2）如果用载质量为6t的卡车来运，一共需要多少辆？ （3）如果用15辆卡车来运，每辆卡车运多少吨？ 11．如图中线段AB表示一辆汽车行驶的路程与时间的关系． ①这辆汽车行驶了多长时间？行驶了多少千米？ ②这辆汽车2.5小时行驶了多少千米？ ③这辆汽车行驶900km要多长时间？ 12．新冠肺炎疫情期间，口罩需求量大幅上升。某工厂接到任务紧急生产一批口罩，下面是每时生产口罩的数量与完成任务总共需要的时间的关系。 每时生产口罩的数量/万只 2 3 4 6 时间/时 72 48 36 24 （1）每时生产口罩的数量与时间有什么关系？（1分） （2）如果每时生产8万只口罩，那么完成这项任务一共需要多少时？（4分） 13．邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友。每包的本数和包数如下表。 每包的本数/本 10 20 40 包数/包 60 30 15 （1）判断每包的本数和包数是不是成反比例，并说明理由。 （2）如果打包成6包，那么每包多少本？ 14．下面的图象表示小强从甲地到乙地不同的速度和所对应的时间。 （1）在这个过程中，哪种量没有变？ （2）速度和所对应的时间成什么比例关系？ （3）不计算，观察图象，如果每小时行40km，那么从甲地到乙地大约需要多少小时？ 15．认真观察图像，回答问题。 （1）图像中这两种量成正比例关系吗？为什么？ （2）根据所列出的两种量的关系。完成下表。 x 1 2.5 15 y 200 16．用24个边长1cm的小正方形，你能拼成几种不同的长方形？ （1）认真思考，完成表格。 长/cm 宽/cm （2）从表中，你发现长和宽有怎样的比例关系？ 17．如图方格纸上的“点”表示轮船的航行速度。 （1）轮船的行驶速度是 　 　 千米/时，轮船行驶所用时间和路程成 　 　 比例。 （2）这艘轮船2.5时行驶了多少千米？ （3）这艘轮船行了180千米，行驶了多少时？ 18．一辆汽车的行驶路程和耗油量如表： 路程/km 18 36 54 72 90 耗油量/L 2 4 6 8 10 （1）根据表中的数据，在如图中描出行驶的路程和耗油量对应的点，按顺序连起来。路程与耗油量是否成正比例？请你说明理由。 （2）如果这辆汽车出发时油表上显示有油40L，到达某地时油表上显示有油15L，这时它行驶了多少千米？ 19．下面是某学校一个漏水的水龙头的滴水情况统计表。 滴水量/mL 20 40 60 80 100 …… 时间/分 1 2 3 4 5 …… （1）滴水量和时间成 　 　 比例。 （2）这个水龙头每时滴水多少升？ （3）如果用一个底面积是10dm2，高是3dm的圆柱形水桶接漏的水，那么多长时间能接满？（水桶的厚度忽略不计） 20．书房的面积是16m2，刚好用了32块地砖，卧室的面积是20m2，用同样的地砖，需要多少块？ 21．下表是一个水龙头打开后出水量的情况。 打开时间/秒 10 20 30 40 …… 出水量/L 2 4 6 8 …… （1）水龙头打开的时间和出水量成（ 　 　 ）比例。（填“正”或“反”） （2）水龙头打开的时间是50秒时，出水量是多少升？ 22．王老师准备用72元钱去买笔记本．如果每本价格是2元，能买多少本？如果每本价格是3元、4元或6元呢？ 每本价格/元 2 3 4 6 数量/本 　 　 　 　 　 　 　 　 观察上表，你有什么发现？ 23．如图，甲、乙两车运货的吨数与次数的关系如图． （1）甲车的运货量与运货次数成什么比例关系？乙车呢？ （2）甲、乙两车各运货6次，运货量相差多少吨？ 24．一列火车匀速行驶时，路程与时间的关系如表． 时间/小时 1 2 3 4 5 … 路程/千米 120 240 … （1）完成上表． （2）根据表格中的数据，这列火车行驶的路程与时间成什么比例？ （3）如果A、B两城相距420千米，需要多少小时可以从A城到达B城？ 25．一辆汽车在高速公路上行驶的路程与耗油量的关系如下表： 行驶路程/km 50 100 150 200 250 … 耗油量/L 5 10 15 20 25 … （1）根据表中的数据，在图中描出这辆汽车行驶的路程和耗油量所对应的点，再把它们按顺序连起来． （2）这辆汽车在高速公路上行驶的路程和耗油量成什么比例？为什么？ （3）根据图象推算，这辆汽车行驶350千米的耗油量． （4）这辆汽车出发时油箱里有汽油40升，如果汽车要在高速公路上行驶460千米，你认为司机在途中需要加油吗？ 26．装配一批机器，每天装配的数量和需要的天数如下表。 每天装配的数量/台 40 80 100 160 200 400 需要的时间/天 40 20 16 10 8 4 （1）每天装配的数量和需要的时间成反比例关系吗？说明理由。 （2）如果每天装配64台，需要多少天装配完？ 27．把相同体积的水倒入底面积不同的杯子． 水的高度/cm 30 20 15 10 5 … 杯子的底面积/cm2 10 15 20 30 60 … 水的高度和杯子的底面积成反比例吗？为什么？ 28．如图的图象表示长颈鹿的奔跑情况． （1）长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间成 　 　 比例关系． （2）请你计算一下，长颈鹿16分钟跑多少千米？ 29．科技小组制作了一个弹簧秤，弹簧的长度是8厘米。经验证，弹簧的长度与所挂钩码的质量存在如下关系： 弹簧长度/cm 8 9 10 11 …… 钩码质量/kg 0 2 4 6 …… （1）钩码的质量和弹簧伸长的长度成什么比例关系？ （2）小亮用科技小组制作的这个弹簧秤称一个物体，弹簧的长度是14.8cm，这个物体的质量是多少千克？（用比例知识解答） 30．用一些纸装订同样的练习本，每本用纸的张数和装订的本数如表。 每本用纸张数/张 8 10 15 20 24 装订本数/本 75 60 40 　 　 　 　 （1）将如表补充完整。 （2）每本用纸张数和装订本数是否成反比例关系？为什么？ （3）如果用这些纸装订成50本练习本（每本用纸张数相同），每本用纸多少张？ 31．汽车数量与运货质量的数据如下表，根据表中的数据回答下面各题． 汽车数量/辆 1 2 3 4 5 6 7 运货质量/吨 4 8 12 16 20 24 28 （1）表中　 　 和　 　 是两种相关联的量，　 　 随着　 　 的变化而变化． （2）写出几组这两种量中相对应的两个数的比，求出比值，并比较比值的大小． （3）上面求出的比值表示的意义是什么？ （4）表中相关联的两种量成正比例吗？为什么？ 32．一辆汽车两次行驶的路程与耗油量如下表： 行驶路程/km 24 96 耗油量/L 2 8 （1）分别写出每次行驶路程与耗油量的比值，判断这两个比能否组成比例． （2）分别写出两次耗油量与对应行驶路程的比值，看看这两个比能否组成比例． 寒假预习衔：正比例与反比例应用题 参考答案与试题解析 1．某物流公司要将一批货物运往加工厂，如果要一次把这些货物全部运走，货车的载质量与所需车辆的数量如下表。 载质量/吨 2.5 3 5 数量/辆 48 40 24 （1）货车的载质量与所需车辆的数量成反比例吗？为什么？ （2）如果用载质量为4.8吨的货车来运，一共需要多少辆？ 【答案】（1）成反比例。理由是货车的载质量与所需车辆的数量的乘积一定。 （2）25辆。 【分析】（1）2.5×48＝4×30＝5×24＝120，得出：车辆的载重量×所需车辆的数量＝总重量，则车辆的载重量与所需车辆的数量的乘积一定，所以车辆的载重量与所需车辆的数量成反比例。 （2）设一共需要x辆卡车。因为车辆的载重量×所需车辆的数量＝总重量（一定），所以4.8乘x的积等于2.5×48的积，据此即可解答。 【解答】解：（1）2.5×48＝120（吨） 3×40＝120（吨） 5×24＝120（吨） 因为2.5×48＝3×40＝5×24＝120（一定），也就是货车的载质量与所需车辆的数量的乘积一定，因此货车的载质量与所需车辆的数量成反比例。 答：成反比例。理由是货车的载质量与所需车辆的数量的乘积一定。 （2）3×40÷4.8 ＝120÷4.8 ＝25（辆） 答：一共需要25辆。 【点评】本题考查了学生正反比例的判断情况，能运用统计表提供的信息解决问题．同时考查了学生理解分析问题的能力。 2．某工厂有一批煤，每天烧煤的质量和可烧的时间关系如下表。 每天烧煤的质量/吨 0 3 6 9 15 20 … 可烧的时间/天 0 30 15 10 6 4.5 … （1）判断每天烧煤的质量和可烧的时间是不是成反比例，并说明理由。 （2）如果该工厂平均每天烧煤的质量是5吨，那么这批煤可烧多少天？ 【答案】（1）3×30＝6×15＝9×10＝15×6＝20×4.5＝90 每天烧煤的质量和可烧的时间的乘积一定，所以每天烧煤的质量和可烧的时间成反比例。 （2）18天。 【分析】（1）根据每天烧煤的质量和可烧的时间的乘积判断。 （2）用这批煤的总质量除以每天烧煤的质量就是烧的天数。 【解答】解：（1）3×30＝6×15＝9×10＝15×6＝20×4.5＝90 每天烧煤的质量和可烧的时间的乘积一定，所以每天烧煤的质量和可烧的时间成反比例。 （2）30×3÷5＝18（天） 答：这批煤可烧18天。 【点评】本题考查了成反比例关系的判定及根据成反比例关系解决问题，关键是对题目中数量关系的分析。 3．明明家的鱼缸有A，B两根进水管，先打开A管，中途打开B管。如图表示从开始加水到蓄满水的进水时间和鱼缸中水的体积的关系。 （1）从0分到6分，鱼缸中水的体积和进水时间成比例吗？如果成，成什么比例？如果不成比例，理由是什么？ （2）A管每分进水多少升？B管呢？ 【答案】（1）成比例，成正比例； （2）A管每分进水1.2升，B管每分进水1.6升。 【分析】（1）从0分到6分，鱼缸中水的体积和进水时间的比值不变，所以鱼缸中水的体积和进水时间成比例，据此解答即可； （2）从0分到6分只有A管进水，可求出A管每分进水多少升，从6分到12分A、B管同时进水，后6分钟的用进水量减去这段时间A管的进水量，就是这段时间B管的进水量，由此即可求出B管每分进水多少升。 【解答】解：（1）从0分到6分，鱼缸中水的体积和进水时间的比值不变，鱼缸中水的体积和进水时间成比例，成正比例。 （2）A管：7.2÷6＝1.2（升） B管：（24﹣7.2）÷（12﹣6）﹣1.2 ＝16.8÷6﹣1.2 ＝2.8﹣1.2 ＝1.6（升） 答：A管每分进水1.2升，B管每分进水1.6升。 【点评】熟练掌握正比例和反比例的判定方法，是解答此题的关键。 4．一种硬笔书法练习本，数量和总价的关系如表． 数量/本 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 4 8 12 16 20 24 … （1）在图中，描出总价与数量之间的对应点，并连接各点． （2）总价与数量有什么关系？为什么？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）首先根据表中的数据描出各点，然后顺次连接个点即可． （2）因为单价（一定），所以总价和数量成正比例． 【解答】解：（1）作图如下： （2）4 因为单价（一定），所以总价和数量成正比例． 【点评】此题考查的目的是理解掌握正比例的意义及应用，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（即两个数的商）一定，这两种就叫做成正比例的量，它们的关系就是正比例关系． 5．某厂要生产一批豆浆机，平均每天产量和所需时间如表。 平均每天产量/台 200 300 500 所需时间/天 75 50 30 （1）平均每天产量和所需时间成 　反　 比例。 （2）现要在20天内完成生产任务，平均每天产量至少要达到多少台？ 【答案】（1）反；（2）750。 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例； （2）因为平均每天产量和所需时间成反比例，总台数不变，用总台数除以需要的天数即可解答。 【解答】解：（1）因为200×75＝15000 300×50＝15000 500×30＝15000 所以平均每天产量×所需时间＝15000（一定），乘积一定，所以平均每天产量和所需时间成反比例； （2）15000÷20＝750（台） 答：平均每天产量至少要达到750台。 故答案为：反。 【点评】熟练掌握判断两个相关联的量之间成什么比例的方法以及求平均数的方法是解题的关键。 6．聪聪读一本书，每天读的页数和所需要的天数如表。 每天读的页数 20 30 40 60 …… 需要的天数 12 8 6 4 …… （1）书的页数一定，每天读的页数和所需的天数成什么比例？说明理由。 （2）聪聪如果想15天读完这本书，平均每天读多少页？ 【答案】（1）反比例；因为每天看的页数和所需天数的乘积一定；（2）16页。 【分析】（1）平均每天看的页数×看完全书所需天数＝这本书的总页数，因为这本书的总页数不变，所以每天看的页数和看完全书所需天数成反比例关系； （2）根据题意，先用每天读的页数乘需要的天数求出这本书的总页数，然后再除以15即可求解。 【解答】解：（1）20×12＝30×8＝40×6＝60×4＝…… 所以因为每天看的页数和所需天数的乘积一定，所以每天读的页数和所需的天数成反比例。 （2）20×12÷15 ＝240÷15 ＝16（页） 答：平均每天读16页。 【点评】此题还考查了正比例、反比例的意义，要熟练掌握。 7．在一张长方形彩纸上摆满小正方形，每个小正方形面积与所需小正方形的数量如表： 每个小正方形的面积/cm2 4 9 16 所需小正方形的数量/个 216 96 54 （1）每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成 　反　 比例关系。 （2）如果采用面积是36cm2的小正方形来摆满这张长方形彩纸，需要多少个小正方形？（用比例方法解答） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）每个小正方形的面积×小正方形的数量＝长方形彩纸的面积；长方形彩纸的面积一定，每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成反比例关系。 （2）长方形彩纸的面积＝36×需要小正方形个数，由此解答。 【解答】解：（1）长方形彩纸的面积一定，每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成反比例关系。 （2）设需要多x个小正方形。 36x＝216×4 36x÷36＝216×4÷36 x＝24 答：（1）每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成反比例关系。 （2）需要24个小正方形。 故答案为：反，24。 【点评】解决此题关键是根据比值一定或乘积一定，先列出比例，进而根据比例的性质先把比例式转化为乘积式来解比例得解；注意等号要对齐。 8．工厂要生产一批零件。胡师傅先做了一段时间，然后李师傅加入，两人共同完成（两人每时生产的零件数不变）。具体数据如图。 （1）胡师傅每时生产多少个零件？ （2）胡师傅与李师傅每时生产的零件数之比是多少？ 【答案】（1）600个；（2）3：2。 【分析】（1）求胡师傅每时生产多少个零件，用1200除以2即可解答； （2）用7200减1200，求二人（8﹣2）小时生产的零件数，除以（8﹣2）；再求李师傅每小时生产零件数，用胡师傅每时生产的零件数比李师傅每时生产的零件数，据此解答。 【解答】解：（1）1200÷2＝600（个） 答：胡师傅每时生产600个零件。 （2）（7200﹣1200）÷（8﹣2） ＝6000÷6 ＝1000（个） 1000﹣600＝400（个） 600：400＝3：2 答：胡师傅与李师傅每时生产的零件数之比是3：2。 【点评】此题考查了正比例的知识，要求学生掌握。 9． 时间/时 1 2 3 4 5 6 … 路程/千米 90 … ①先把上表补充完整，再根据表中的数据，在图中描出时间和路程的对应点，再把这些点按顺序连起来． ②时间和路程成　正　 比例，理由是　路程÷时间＝速度（一定）　 ． ③利用图象估计一下，2.5时行　225　 千米，行675千米需要　7.5　 小时． 【答案】见试题解答内容 【分析】①1小时行驶90千米，2小时行驶2个90千米，即180千米；3小时行3个90千米，即270千米；4小时行4个90千米，即360千米；5小时行5个90千米，即450千米；6小时行6个90千米，即540千米……然后填表，并在图中描出时间与路程对应的点，并这些点按顺序连起来． ②在这里速度一定，根据路程、速度、时间三者之间的关系，路程÷时间＝速度（一定），再根据两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就是成正比例的量，由此即可判定时间和路程成正比例． ③根据表示时间、路程的拆线统计图即可估计2.5小时所行的路程、行675千米年需要的时间． 【解答】解：①先把上表补充完整，再根据表中的数据，在图中描出时间和路程的对应点，再把这些点按顺序连起来． 时间/时 1 2 3 4 5 6 … 路程/千米 90 180 270 360 450 540 … ②时间和路程成 正比例，理由是 路程÷时间＝速度（一定）． ③如图 用图象估计一下，2.5时行 225千米，行675千米需要 7.5小时． 故答案为：正，路程÷时间＝速度（一定），225，7.5． 【点评】此主要是考查正、反比例的辨别，关键是看这两种相关联量中所对应的数的比值（商）一定还是积一定． 10．某物流公司将120t货物运往一加工厂，如果要一次把所有货物全部运出，车辆的载质量与所需车辆的数量如下表． 载质量/t 2.5 3 5 10 数量/辆 48 40 　24　 　12　 （1）请把上表填写完整．车辆的载质量和所需车辆的数量成什么比例关系？ （2）如果用载质量为6t的卡车来运，一共需要多少辆？ （3）如果用15辆卡车来运，每辆卡车运多少吨？ 【答案】见试题解答内容 【分析】2.5×48＝3×40＝120，得出：运用车辆的载重量×所需车辆的数量＝总重量，则用总重量分别除以5，10求出各用的辆数．填写统计表． （1）由统计表中的数量可以看出，车辆的载重量与所需车辆的数量的乘积一定，所以车辆的载重量与所需车辆的数量成反比例． （2）运用总重量除以6就是运用卡车的辆数． （3）运用总重量除以卡车的量数15就是每辆卡车运多少吨． 【解答】解：3×40÷5 ＝120÷5 ＝24（辆） 3×40÷10 ＝120÷10 ＝12（辆） 载质量/t 2.5 3 5 10 数量/辆 48 40 24 12 （1）因为2.5×48＝120（吨） 3×40＝120（吨） 因为车辆的载重量与所需车辆的数量的乘积一定， 所以车辆的载重量与所需车辆的数量成反比例． （2）120÷6＝20（辆） 答：用载重量6吨的卡车来运，一共需要20辆． （3）120÷15＝8（吨） 答：每辆卡车运8吨． 故答案为：24；12． 【点评】本题考查了学生正反比例的判断情况，能运用统计表提供的信息解决问题．同时考查了学生理解分析问题的能力． 11．如图中线段AB表示一辆汽车行驶的路程与时间的关系． ①这辆汽车行驶了多长时间？行驶了多少千米？ ②这辆汽车2.5小时行驶了多少千米？ ③这辆汽车行驶900km要多长时间？ 【答案】见试题解答内容 【分析】①找出这辆汽车的终点，根据图表找出对应的时间和路程． ②先根据“路程÷时间＝速度”求出汽车的速度，进而根据“速度×时间＝路程”进行解答即可． ③先根据“路程÷速度＝时间”求出汽车行驶900km所需时间． 【解答】解：①这辆汽车的终点，根据图表找出对应的时间是3小时，路程是180千米． 答：这辆汽车行驶了3小时，行驶了180千米． ②180÷3＝60（km/h），60×2.5＝150（km）． 答：这辆汽车2.5小时行驶了150千米． ③900÷60＝15（h）． 答：这辆汽车行驶900km要15小时 【点评】此题考查了学生从统计图中挖掘信息以及处理数据的能力，同时考查了正反比例的知识和对行程问题的掌握． 12．新冠肺炎疫情期间，口罩需求量大幅上升。某工厂接到任务紧急生产一批口罩，下面是每时生产口罩的数量与完成任务总共需要的时间的关系。 每时生产口罩的数量/万只 2 3 4 6 时间/时 72 48 36 24 （1）每时生产口罩的数量与时间有什么关系？（1分） （2）如果每时生产8万只口罩，那么完成这项任务一共需要多少时？（4分） 【答案】（1）反比例； （2）18。 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：（1）因为每时生产口罩的数量与时间的积一定，所以每时生产口罩的数量与时间成反比例。 （2）2×72÷8＝18（时） 答：完成这项任务一共需要18小时。 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 13．邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友。每包的本数和包数如下表。 每包的本数/本 10 20 40 包数/包 60 30 15 （1）判断每包的本数和包数是不是成反比例，并说明理由。 （2）如果打包成6包，那么每包多少本？ 【答案】（1）10×60＝20×30＝40×15＝600，每包的本数和包数的乘积一定，所以每包的本数和包数成反比例。 （2）100本。 【分析】（1）根据每包的本数和包数的乘积一定，确定每包的本数和包数成反比例。 （2）根据总本数÷包数＝每包的本数列除法算式解答。 【解答】解：（1）10×60＝20×30＝40×15＝600，每包的本数和包数的乘积一定，所以每包的本数和包数成反比例。 （2）10×60÷6＝100（本） 答：每包100本。 【点评】两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例；若既不是比值一定也不是乘积一定，两种量不成比例。 14．下面的图象表示小强从甲地到乙地不同的速度和所对应的时间。 （1）在这个过程中，哪种量没有变？ （2）速度和所对应的时间成什么比例关系？ （3）不计算，观察图象，如果每小时行40km，那么从甲地到乙地大约需要多少小时？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）图中标出5个点：速度是100时时间是1，速度是50时时间是2，速度是20时时间是5，速度是10时时间是10，速度是5时时间是20，由此得出路程没有变化。 （2）观察图象发现速度和时间的关系是反比例关系。 （3）观察图象，如果每小时行40km，那么从甲地到乙地大约需要2.5小时。 【解答】解：（1）图中标出5个点：速度是100时时间是1，速度是50时时间是2，速度是20时时间是5，速度是10时时间是10，速度是5时时间是20，由此得出路程没有变化。 （2）观察图象发现速度和时间的关系是反比例关系。 （3）观察图象，如果每小时行40km，那么从甲地到乙地大约需要2.5小时。 【点评】此题主要考查反比例的意义。解题的关键是掌握反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 15．认真观察图像，回答问题。 （1）图像中这两种量成正比例关系吗？为什么？ （2）根据所列出的两种量的关系。完成下表。 x 1 2.5 15 y 200 【答案】（1）成正比例关系。 （2）20，50，10，300。 【分析】（1）正比例图像是一条直线，反比例图像是一条平滑的曲线。 （2）根据比值一定，求出对应的值，填入表中。 【解答】解：（1）图像是一条直线，所以两种量成正比例关系。 （2） x 1 2.5 10 15 y 20 50 200 300 【点评】本题考查正比例图像的判断及根据图像解决问题，根据是根据图像分析数量关系。 16．用24个边长1cm的小正方形，你能拼成几种不同的长方形？ （1）认真思考，完成表格。 长/cm 宽/cm （2）从表中，你发现长和宽有怎样的比例关系？ 【答案】 长/cm 24 12 8 6 宽/cm 1 2 3 4 反。 【分析】（1）24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24，用24个小正方形拼成的长方形，由此进行解答； （2）判断两个相关的量之间成什么关系，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，就成反比例，即可解答。 【解答】解：（1）根据分析知拼成后图形的面积不变，拼成后长方形的长和宽可分下列情况： 长/cm 24 12 8 6 宽/cm 1 2 3 4 所以能拼成4种不同的长方形； （2）长方形的面积＝长×宽 24×1＝24（平方厘米） 12×2＝24（平方厘米） 8×3＝24（平方厘米） 6×4＝24（平方厘米） 面积一定，就是乘积一定，长和宽成反比例关系。 【点评】本题的关键是根据拼成后面积不变，分情况讨论组成长方形的长和宽 17．如图方格纸上的“点”表示轮船的航行速度。 （1）轮船的行驶速度是 　20　 千米/时，轮船行驶所用时间和路程成 　正　 比例。 （2）这艘轮船2.5时行驶了多少千米？ （3）这艘轮船行了180千米，行驶了多少时？ 【答案】（1）20，正；（2）50；（3）9。 【分析】（1）速度＝路程÷时间，据此代入数据计算即可；判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例； （2）速度×时间＝路程，据此代入数据解答即可； （3）根据路程÷速度＝时间，代入数据解答即可。 【解答】解：（1）120÷6＝20（千米/时），轮船的行驶速度是20千米/时； 20÷1＝20（千米/时） 40÷2＝20（千米/时） 60÷3＝20（千米/时） ...... 路程÷时间＝20（一定），商一定，所以轮船行驶所用时间和路程成正比例。 （2）20×2.5＝50（千米） 答：这艘轮船2.5时行驶了50千米。 （3）180÷20＝9（时） 答：行驶了9时。 故答案为：20，正。 【点评】熟练掌握判断两个相关联的量之间成什么比例的方法以及路程、速度、时间三者间的关系是解题的关键。 18．一辆汽车的行驶路程和耗油量如表： 路程/km 18 36 54 72 90 耗油量/L 2 4 6 8 10 （1）根据表中的数据，在如图中描出行驶的路程和耗油量对应的点，按顺序连起来。路程与耗油量是否成正比例？请你说明理由。 （2）如果这辆汽车出发时油表上显示有油40L，到达某地时油表上显示有油15L，这时它行驶了多少千米？ 【答案】（1）；因为比值一定，所以路程与耗油量成正比例。 （2）225。 【分析】（1）根据统计表中的数据完成统计图，判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；由此解答即可； （2）先求出耗油量是多少升，再求出每升油能够行驶多少千米，进而求出这时它行驶了多少千米。 【解答】解：（1） 18÷2＝36÷4＝54÷6＝72÷8＝90÷10……，因为比值一定，所以路程与耗油量成正比例。 （2）（40﹣15）×（18÷2） ＝25×9 ＝225（千米） 答：这时它行驶了225千米。 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。 19．下面是某学校一个漏水的水龙头的滴水情况统计表。 滴水量/mL 20 40 60 80 100 …… 时间/分 1 2 3 4 5 …… （1）滴水量和时间成 　正　 比例。 （2）这个水龙头每时滴水多少升？ （3）如果用一个底面积是10dm2，高是3dm的圆柱形水桶接漏的水，那么多长时间能接满？（水桶的厚度忽略不计） 【答案】（1）正；（2）1.2升；（3）1500分钟。 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例； （2）用每分钟的滴水量乘1小时，就是这个水龙头每时的滴水量； （3）根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据求出圆柱形水桶的体积，再除以每分钟的滴水量即可解答。 【解答】解：（1）因为20÷1＝20（mL） 40÷2＝20（mL） 60÷3＝20（mL） …… 滴水量÷时间＝20（mL）（一定），商一定，所以滴水量和时间成正比例。 （2）1小时＝60分钟 20×60＝1200（mL） 1200mL＝1.2L 答：这个水龙头每时滴水1.2升。 （3）20毫升＝0.02升＝0.02立方分米 10×3÷0.02 ＝30÷0.02 ＝1500（分钟） 答：1500分钟能接满。 故答案为：正。 【点评】本题考查了判断两个相关联的量之间成什么比例的方法、工作量、工作效率、工作时间的关系以及圆柱体积的计算方法。 20．书房的面积是16m2，刚好用了32块地砖，卧室的面积是20m2，用同样的地砖，需要多少块？ 【答案】40块。 【分析】根据题意知道，地砖的面积一定，房子的面积÷地砖的块数＝地砖的面积（一定），所以房子的面积与方砖的块数成正比例，由此列出比例解答即可。 【解答】解：设用同样的地砖，需要X块。 16：32＝20：X 16X＝640 X＝40 答：用同样的地砖，需要40块。 【点评】关键是判断出房子的面积与方砖的块数成正比例，由此解决问题。 21．下表是一个水龙头打开后出水量的情况。 打开时间/秒 10 20 30 40 …… 出水量/L 2 4 6 8 …… （1）水龙头打开的时间和出水量成（ 　正　 ）比例。（填“正”或“反”） （2）水龙头打开的时间是50秒时，出水量是多少升？ 【答案】（1）正；（2）10升。 【分析】（1）两种相关联的量，若比值（商）一定，则成正比例；若乘积一定，则成反比例。 计算出水量与打开时间的比值：2÷10＝0.2，4÷20＝0.2，6÷30＝0.2，8÷40＝0.2。比值始终为0.2（一定），说明出水量随着打开时间的变化而变化，且比值固定。 （2）由（1）已知成正比例，比值（出水量和时间的商）是0.2，即出水量＝打开时间×0.2，据此解答。 【解答】解：（1）2÷10＝0.2（升/秒） 4÷20＝0.2（升/秒） 6÷30＝0.2（升/秒） 8÷40＝0.2（升/秒） 比值始终为0.2（一定），说明出水量随着打开时间的变化而变化，且比值固定。 答：水龙头打开的时间和出水量成正比例。 （2）50×0.2＝10（升） 答：水龙头打开50秒时，出水量是10升。 故答案为：正。 【点评】本题考查了正比例和反比例应用题知识，结合题意分析解答即可。 22．王老师准备用72元钱去买笔记本．如果每本价格是2元，能买多少本？如果每本价格是3元、4元或6元呢？ 每本价格/元 2 3 4 6 数量/本 　36　 　24　 　18　 　12　 观察上表，你有什么发现？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据数量＝总价÷单价，分别用72元除以2元、3元、4元和6元求出可以购买的本数，填入表格，再根据总价一定，单价与数量的乘积一定，它们乘反比例关系求解即可． 【解答】解：72÷2＝36（本） 72÷3＝24（本） 72÷4＝18（本） 72÷6＝12（本） 表格如下： 每本价格/元 2 3 4 6 数量/本 36 24 18 12 观察上表发现： 2×36＝3×24＝4×18＝6×12＝72 即单价×数量＝总价（一定），单价和数量成反比例关系． 【点评】本题考查了总价、数量和单价之间的关系，同时考查了根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，再做出选择． 23．如图，甲、乙两车运货的吨数与次数的关系如图． （1）甲车的运货量与运货次数成什么比例关系？乙车呢？ （2）甲、乙两车各运货6次，运货量相差多少吨？ 【答案】见试题解答内容 【分析】成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．用字母表示k（一定）．成正比例关系的图象是经过原点的一条直线． （1）根据图中数据，算一算甲、乙中两种变量之间的比值是否一定即可． （2）先求出1次甲比乙多运多少，再求出6次甲比乙多运多少即可． 【解答】解：（1）甲：6（一定），是比值一定，所以甲车的运货量与运货次数成正比例关系． 乙：4（一定），是比值一定，所以乙车的运货量与运货次数成正比例关系． （2）18÷3﹣12÷3 ＝6﹣4 ＝2（吨） 2×6＝12（吨） 答：甲、乙两车各运货6次，运货量相差12吨． 【点评】此题考查成正比例量，判定两个变化的量是不是成正比例关系，关键是看两个量的比值是否为定值．并且知道正比例关系的图象是经过原点的一条射线． 24．一列火车匀速行驶时，路程与时间的关系如表． 时间/小时 1 2 3 4 5 … 路程/千米 120 240 … （1）完成上表． （2）根据表格中的数据，这列火车行驶的路程与时间成什么比例？ （3）如果A、B两城相距420千米，需要多少小时可以从A城到达B城？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据路程、速度、时间三者之间的关系即可分别求出火车的路程，然后填表． （2）根据两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就是成反比例的量，它们的关系是反比例关系．即形如xy＝k（一定），x、y是成反比例的量，x与y成反比例关系．依此即可求解． （3）根据时间＝路程÷速度即可解答． 【解答】解：（1）120×3＝360（千米） 120×4＝480（千米） 120×5＝600（千米） 填表如下： 时间/小时 1 2 3 4 5 … 路程/千米 120 240 360 480 600 … （2）因为路程÷时间＝速度（一定），所以这列火车行驶的路程与时间成正比例； （3）420÷120＝3.5（小时） 答：需要3.5小时可以从A城到达B城． 【点评】此题是考查辨析两种量成正、反比例．关键是看这两种相关联量中所对应的数的比值（商）一定还是积一定． 25．一辆汽车在高速公路上行驶的路程与耗油量的关系如下表： 行驶路程/km 50 100 150 200 250 … 耗油量/L 5 10 15 20 25 … （1）根据表中的数据，在图中描出这辆汽车行驶的路程和耗油量所对应的点，再把它们按顺序连起来． （2）这辆汽车在高速公路上行驶的路程和耗油量成什么比例？为什么？ （3）根据图象推算，这辆汽车行驶350千米的耗油量． （4）这辆汽车出发时油箱里有汽油40升，如果汽车要在高速公路上行驶460千米，你认为司机在途中需要加油吗？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据统计表中的数据完成统计图． （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；由此解答即可． （3）根据耗油量＝汽车行驶的路程除以每升油行驶的路程，计算即可． （4）计算460千米需要多少升汽油，与40升进行比较，即可得出结论． 【解答】解：（1）统计图如下： （2）50÷5＝100÷10＝150÷15＝10（一定），即：汽车行驶的路程÷耗油量＝每升油行驶的路程（一定）， 所以这辆汽车行驶的路程和耗油量成正比例． （3）350÷10＝35（升） 答：这辆汽车行驶350千米的耗油量为35升． （4）460÷10＝46（升） 46＞40 答：司机在途中需要加油． 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断． 26．装配一批机器，每天装配的数量和需要的天数如下表。 每天装配的数量/台 40 80 100 160 200 400 需要的时间/天 40 20 16 10 8 4 （1）每天装配的数量和需要的时间成反比例关系吗？说明理由。 （2）如果每天装配64台，需要多少天装配完？ 【答案】（1）每天装配的数×需的时间＝总工作量（一定），所以每天装配的数量和需要的时间成反比例；（2）25天。 【分析】（1）根据表可知每天装配的数与需的时间的乘积一定，据此可的每天装配的数量和需要的时间成反比例； （2）由（1）可知，每天装配的数量和需要的时间成反比例，用它们的乘积除以每天装配的台数即可解答。 【解答】解：（1）40×40＝1600（台） 80×20＝1600（台） 100×16＝1600（台）…… 即：每天装配的数×需的时间＝总工作量（一定），所以每天装配的数量和需要的时间成反比例。 （2）40×40÷64 ＝1600÷64 ＝25（天） 答：需要25天装配完。 【点评】掌握反比例的意义是解决此题的关键。 27．把相同体积的水倒入底面积不同的杯子． 水的高度/cm 30 20 15 10 5 … 杯子的底面积/cm2 10 15 20 30 60 … 水的高度和杯子的底面积成反比例吗？为什么？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据水的体积＝杯子的底面积×水面的高度，列式计算，通过计算可得：水的体积一定，也就是水的高度和杯子的底面积的乘积一定，所以杯子的底面积和水的高度是成反比例的量，据此即可得解． 【解答】解：水的高度和杯子的底面积成反比例． 因为30×10＝300（立方厘米） 20×15＝300（立方厘米） 15×20＝300（立方厘米） 10×30＝300（立方厘米） 5×60＝300（立方厘米） 通过计算可得：水的体积一定，也就是水的高度和杯子的底面积的乘积一定，所以杯子的底面积和水的高度成反比例． 【点评】此题主要考查反比例的意义和圆柱的体积公式的灵活应用． 28．如图的图象表示长颈鹿的奔跑情况． （1）长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间成 　正　 比例关系． （2）请你计算一下，长颈鹿16分钟跑多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）通过观察图可知，速度（一定），所以长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间成正比例关系． （2）设16分钟跑x千米，据此列比例解答． 【解答】解：（1）因为速度（一定），所以长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间成正比例关系． （2）设16分钟跑x千米， 5x＝4×16 x x＝12.8 答：长颈鹿16分钟跑12.8千米． 故答案为：正． 【点评】此题考查的目的是理解掌握正比例的意义及应用，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（即两个数的商）一定，这两种就叫做成正比例的量，它们的关系就是正比例关系． 29．科技小组制作了一个弹簧秤，弹簧的长度是8厘米。经验证，弹簧的长度与所挂钩码的质量存在如下关系： 弹簧长度/cm 8 9 10 11 …… 钩码质量/kg 0 2 4 6 …… （1）钩码的质量和弹簧伸长的长度成什么比例关系？ （2）小亮用科技小组制作的这个弹簧秤称一个物体，弹簧的长度是14.8cm，这个物体的质量是多少千克？（用比例知识解答） 【答案】（1）正比例关系；（2）13.6千克。 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 （2）设这个物体的质量是x千克，由（1）可知，弹簧伸长的长度与钩码的质量成正比例关系，据此用弹簧的长度减去弹簧原来的长度与x的比等于0.5，据此列式解答即可。 【解答】解：（1）当弹簧的长度是8厘米时，钩码质量是0kg； 当弹簧的长度是9厘米时，钩码质量是2kg，即弹簧伸长（9﹣8）厘米； 当弹簧的长度是10厘米时，钩码质量是4kg，即弹簧伸长（10﹣8）厘米； 当弹簧的长度是11厘米时，钩码质量是6kg，即弹簧伸长（11﹣8）厘米； ...... （9﹣8）：2＝0.5 （10﹣8）：4＝0.5 （11﹣8）：6＝0.5 ...... 弹簧伸长的长度：钩码的质量＝0.5（一定），商一定，所以钩码的质量和弹簧伸长的长度成正比例关系。 （2）设这个物体的质量是x千克。 （14.8﹣8）：x＝0.5 0.5x＝6.8 x＝13.6 答：这个物体的质量是13.6千克。 【点评】熟练掌握判断两个相关联的量之间成什么比例的方法以及利用正比例解题的方法是解题的关键。 30．用一些纸装订同样的练习本，每本用纸的张数和装订的本数如表。 每本用纸张数/张 8 10 15 20 24 装订本数/本 75 60 40 　30　 　25　 （1）将如表补充完整。 （2）每本用纸张数和装订本数是否成反比例关系？为什么？ （3）如果用这些纸装订成50本练习本（每本用纸张数相同），每本用纸多少张？ 【答案】（1）30；25； （2）因为8×75＝10×60＝15×40＝20×30＝24×25＝定值，所以每本用纸张数和装订本数成反比例关系； （3）12张。 【分析】（1）根据积都是600，用600除以20和24即可； （2）判断练习本每本的页数和装订的本数之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 （3）用600除以50即可。 【解答】解：（1） 每本用纸张数/张 8 10 15 20 24 装订本数/本 75 60 40 30 25 （2）因为8×75＝10×60＝15×40＝20×30＝24×25＝定值，所以每本用纸张数和装订本数成反比例关系。 （3）10×60÷50 ＝600÷50 ＝12（张） 答：每本用纸12张。 故答案为：30；25。 【点评】根据反比例的定义进行判断即可。 31．汽车数量与运货质量的数据如下表，根据表中的数据回答下面各题． 汽车数量/辆 1 2 3 4 5 6 7 运货质量/吨 4 8 12 16 20 24 28 （1）表中　汽车数量　 和　运货质量　 是两种相关联的量，　运货质量　 随着　汽车数量　 的变化而变化． （2）写出几组这两种量中相对应的两个数的比，求出比值，并比较比值的大小． （3）上面求出的比值表示的意义是什么？ （4）表中相关联的两种量成正比例吗？为什么？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意知：表中有汽车数量和运货质量两种量，它们是两种相关联的量，一个量变大，另一个量也随着变大，它们的比值一定，所以汽车数量和运货质量成正比例关系． （2）4：1＝4，8：2＝4，12：3＝4，16：4＝4，它们的比值相等． （3）根据题意可知，这个比值表示每辆汽车的运货质量． （4）相关联的两种量成正比例，因为它们的比值一定． 【解答】解：（1）表中有汽车数量和运货质量两种量，它们是两种相关联的量，一个量变大，另一个量也随着变大，它们的比值一定，所以汽车数量和运货质量成正比例关系． （2）4：1＝4，8：2＝4，12：3＝4，16：4＝4，它们的比值相等． （3）根据题意可知，这个比值表示每辆汽车的运货质量． （4）相关联的两种量成正比例，因为它们的比值一定． 故答案为：汽车数量；运货质量；运货质量；汽车数量． 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断． 32．一辆汽车两次行驶的路程与耗油量如下表： 行驶路程/km 24 96 耗油量/L 2 8 （1）分别写出每次行驶路程与耗油量的比值，判断这两个比能否组成比例． （2）分别写出两次耗油量与对应行驶路程的比值，看看这两个比能否组成比例． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意，先写出两次行驶路程与耗油数量的比，然后分别求出比值，通过比较比值判断出两次行驶路程与耗油数量的比能否组成比例．如果比值相等，能组成比例，反之则不能． （2）先写出两次行驶的路程的比，与两次耗油量的比，然后分别求出比值，通过比较比值判断出两次行驶路程与耗油数量的比能否组成比例．如果比值相等，能组成比例，反之则不能． 【解答】解：（1）行驶路程与耗油数量的比分别是： 24：2 96：8 24：2＝12 96：8＝12 12＝12 所以这两个比能组成比例． （2）两次耗油量与对应行驶路程的比分别是： 2：24 8：96 2：24 8：96 所以这两个比能组成比例． 【点评】解答此题的关键是明确比例的判定方法，即两个比的比值相同就能组成比例，然后再进一步解答． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $