精品解析：新疆昌吉回族自治州2025-2026学年第一学期期末九年级 数学

2025-2026学年第一学期 九年级数学 （卷面分值：150分；考试时间：120分） 一、单选题（本大题共9题，每小题4分，共36分．） 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的定义，关键是根据“沿一条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合”判断轴对称图形，根据“绕某一点旋转后能与自身重合”判断中心对称图形． 【详解】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形； 故选：D． 2. 已知是方程的一个根，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. -2 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程的解的定义，将x=1代入已知方程列出关于b的新方程，通过解新方程来求b的值即可． 【详解】根据题意，得 即b−1=0， 解得，b=1. 故选：A. 【点睛】此题考查了一元二次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值. 3. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据一除，二移，三配，四变形的步骤进行配方即可． 【详解】解：， ∴， ∴； 故选B． 4. “买一张足球彩票中一等奖”这一事件的概率是（ ） A. 1 B. 0 C. 大于1 D. 大于0且小于1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率的意义及可能性的大小，根据概率的基本性质，概率值范围在0到1之间，中一等奖是可能但非必然事件． 【详解】解：∵“买一张足球彩票中一等奖”是随机事件，且可能发生但非必然发生， ∴其概率P满足， 故选：D． 5. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的抛物线的函数解析式是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“左加右减，上加下减”的平移规则求解即可． 【详解】解：把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的抛物线的函数解析式是， 故选：A． 6. 在同一直角坐标系中,一次函数y=ax-b和二次函数y=ax2-b的图象大致为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可得出答案． 【详解】A、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向上，故A错误； B、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＞0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故B错误； C、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＜0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下，故C错误； D、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＞0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故D正确； 故选D 【点睛】本题考查了二次函数的图象，熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等是解题关键. 7. 如图，在△ABC中，D为AB中点，DE∥BC交AC于E点，则△ADE与△ABC的面积比为（　　） A. 1：1 B. 1：2 C. 1：3 D. 1：4 【答案】D 【解析】 【分析】由DE∥BC，易得△ADE∽△ABC，又由D是边AB的中点，可得AD：AB=1：2，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ADE的面积与△ABC的面积之比． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵D是边AB的中点， ∴AD：AB＝1：2， ∴＝（）2＝． 故选：D． 【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键． 8. 如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出的长是解此题的关键．由垂径定理求出，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴，， ∵的直径为5， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9. 在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，设每组人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每组x人，则每个人都要与其他人比赛一场，而相同两人之间的比赛只算作一场，故总场次为场，据此列方程即可． 【详解】解：设每组人， 由题意得，， 故选：B． 二、填空题（本大题共6题，每小题4分，共24分．） 10. 抛物线的顶点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，利用配方法将二次函数化为顶点式，可求得顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴原抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值是 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查已知两点关于原点对称求参数，已知字母的值，求代数式的值． 根据关于原点对称的点的坐标特征，可得，的值，代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 12. 一个仅装有球的不透明布袋里共有12个球（只有颜色不同），若从中任意摸出一个球是红球的概率是，则这个布袋里红球的个数是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查概率公式，将摸出一个球是红球的概率乘以球的总数即可求出这个布袋里红球的个数． 【详解】解：， 故答案为：4． 13. 已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足OP=2，则直线l与⊙O的位置关系是__．． 【答案】相切或相交． 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d=r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r．分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论． 【详解】当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切； 当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜2=r，⊙O与直线l相交． 故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题． 14. 如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，C，E，和点B，D，F．已知，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出即可．本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：2． 15. 如图，在中，，，分别以点，为圆心、的长为半径画弧，与，的延长线分别交于点，．若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，勾股定理，等边对等角，求出，，则，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 解方程：（1）（2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）， ， ， ， ， ∴； （2）， ， ， 或， ∴． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法和因式分解法解方程，是解题的关键． 17. 已知：关于的方程（）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程， （）求出值即可求证； （）求出一元二次方程的两个根，根据为正整数，且方程的两个根均为整数即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴方程是关于的一元二次方程， ∵ ∴方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵，且为正整数， ∴， ∴，， ∵方程的两个根均为整数，且为正整数， ∴或． 18. 西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安．如图，这是摔碗酒瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接、，已知，碗深，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键． 根据垂径定理得出，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：是的中点， ， ． 设， ，则． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 的长为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，则点的坐标______； （2）将绕着点按顺时针方向旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】（1） （2）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了作图旋转变换和平移，根据旋转的性质，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）依据平移的规律，即可得到点的坐标； （2）依据旋转的性质，即可得到绕着点O按顺时针方向旋转得到的，即可得出点C的对称点的坐标． 【小问1详解】 解： 经过平移后得到，点的坐标为， 平移的方向和距离为：向下平移3个单位长度，向右平移5个单位长度， 点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求，点的坐标为． 20. 有A，B，C三种款式的帽子，E，F，G三种款式的围巾，小慧任意选一顶帽子和一条围巾、 （1）小慧选择A款式帽子的概率是_____． （2）利用画树状图或列表的方法，求出小慧恰好选中A款式帽子和E款式围巾的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键． （1）直接根据概率公式解答即可； （2）用列表法表示所有可能出现的结果情况，从中得出恰好选中A款式帽子和E款式围巾的情况，进而求出相应的概率． 【小问1详解】 解：小慧选择A款式帽子的概率是； 故答案为： 【小问2详解】 解：用列表法表示搭配的所有可能性结果如下： 帽子 围巾 A B C G AG BG CG E AE BE CE F AF BF CF 共有9种所有可能出现的结果，其中恰好选中A款式帽子和E款式围巾的有1种， 所以恰好选中A款式帽子和E款式围巾的概率为． 21. 某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润． 【答案】售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．设每件涨价元，每周可获利元，所售件数是件，每件的利润是元，根据利润每件的利润所售的件数，即可列出函数解析式，再根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大． 【详解】解：根据题意得：， ， 当时，有最大值，最大值为：6250， 此时售价为：元， 答：当售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元． 22. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．当与相切时，点恰好落在上，如图2． 请仅就图2的情形解答下列问题． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质及三角形的外角，找到角与角之间的等量关系，再通过等量代换即可证明； （2）添加辅助线后，证明三角形相似，得到对应角相等，所以角的正切值也相等，求出直角三角形的直角边长，再把放到直角三角形中，利用勾股定理求解． 【详解】解：（1）证明：连接，取轴正半轴与交点于点，如下图： ， 为的外角， ， ， ， ． （2）过点作的垂线，交与点，如下图： 由题意： 在中， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ， 由圆的性质，直径所对的角为直角； 在中，由勾股定理得： ， 即． 【点睛】本题考查了圆性质，等腰三角形的性质、直角三角形、相似三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、特殊角度的正切值，解答的关键是：掌握相关的知识点，会添加适当的辅助线，找到角与角、边与边的等量关系，通过等量代换，利用勾股定理建立等式求解． 23. 数学兴趣小组学习了矩形的性质与判定后，对多边形中的相似三角形作了如下探究： 【教材呈现】（1）如图1，在中，，于点，直接写出一个与相似的三角形； 【类比探究】（2）如图2，在矩形中，，点在上，，于点，求的长； 【拓展提升】（3）如图3，在四边形中，，，，点，分别在，上，且，垂足为，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质； （1）由，，得到， ∴，即可得到，； （2）由已知得到，再证明得到，接着证明，得到，代入计算即可得到； （3）如图，连接，过点作，过点作，过点作，垂足分别为，，过点作，垂足为，交于点，先证明，得到，即可证明，设，则，，在中利用勾股定理列方程求出，再证明得到，代入求值即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与相似的三角形为或； （2）在矩形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ∴，即， ； （3）如图，连接，过点作，过点作，过点作，垂足分别为，，过点作，垂足为，交于点. ，，， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 设，则， 即， ， 在中，， 解得，即， 在和中，，， ， 和中，， ， ， 在矩形中，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期 九年级数学 （卷面分值：150分；考试时间：120分） 一、单选题（本大题共9题，每小题4分，共36分．） 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是方程的一个根，则的值是（ ） A 1 B. 2 C. -2 D. -1 3. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 4. “买一张足球彩票中一等奖”这一事件概率是（ ） A. 1 B. 0 C. 大于1 D. 大于0且小于1 5. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的抛物线的函数解析式是（ ） A. B. C D. 6. 在同一直角坐标系中,一次函数y=ax-b和二次函数y=ax2-b的图象大致为(　　) A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，D为AB中点，DE∥BC交AC于E点，则△ADE与△ABC的面积比为（　　） A. 1：1 B. 1：2 C. 1：3 D. 1：4 8. 如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 9. 在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，设每组人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6题，每小题4分，共24分．） 10. 抛物线的顶点坐标是_______． 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值是 _____． 12. 一个仅装有球的不透明布袋里共有12个球（只有颜色不同），若从中任意摸出一个球是红球的概率是，则这个布袋里红球的个数是_____． 13. 已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足OP=2，则直线l与⊙O的位置关系是__．． 14. 如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，C，E，和点B，D，F．已知，则的长为________． 15. 如图，在中，，，分别以点，为圆心、的长为半径画弧，与，的延长线分别交于点，．若，则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 解方程：（1）（2） 17. 已知：关于的方程（）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 18. 西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安．如图，这是摔碗酒瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接、，已知，碗深，求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，则点的坐标______； （2）将绕着点按顺时针方向旋转得到，画出，并写出点的坐标． 20. 有A，B，C三种款式的帽子，E，F，G三种款式的围巾，小慧任意选一顶帽子和一条围巾、 （1）小慧选择A款式帽子的概率是_____． （2）利用画树状图或列表方法，求出小慧恰好选中A款式帽子和E款式围巾的概率． 21. 某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润． 22. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．当与相切时，点恰好落在上，如图2． 请仅就图2的情形解答下列问题． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 23. 数学兴趣小组学习了矩形的性质与判定后，对多边形中的相似三角形作了如下探究： 【教材呈现】（1）如图1，在中，，于点，直接写出一个与相似的三角形； 【类比探究】（2）如图2，在矩形中，，点在上，，于点，求长； 【拓展提升】（3）如图3，在四边形中，，，，点，分别在，上，且，垂足为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $