精品解析：广东省东莞市2026届高三调研考试数学试题

广东省东莞市2025-2026学年上学期期末检测高三数学考试试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1. 定义域为R的函数，其图象与轴的交点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定 2. 向量、分别表示向东和向北方向走，则表示（ ） A. 向东北方向走 B. 向西北方向走 C. 向东北方向走 D. 向西北方向走 3. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 4. 双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 过正方体的任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（ ） A. 6条 B. 8条 C. 12条 D. 16条 6. 已知函数对任意有，且为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. 3 D. -3 7. 已知随机变量X，Y均服从两点分布，且，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 设，函数，函数的极值为，则（ ） A. 是递增数列 B. 是递减数列 C. 是等差数列 D. 是等比数列 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 9. 甲、乙两名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，两人的测试成绩如下表： 甲的成绩 乙的成绩 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 频数 4 5 8 3 频数 5 3 9 3 则下列说法正确的有（ ） A. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 B. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 C. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D. 甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差 10. 已知函数在区间上单调递减，直线为函数图象的一条对称轴，点为其图象的一个对称中心，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点是函数的图象的一个对称中心 C. 将的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数 D. 若在上有且仅有个极值点，则 11. 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线与抛物线交于两点，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 当时，则 D. 当时，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 12. 已知集合，若，则____________． 13. 曲线在点处的切线方程为___________. 14. 已知是锐角三角形，内角、、所对应的边分别为、、.若，则的最小值是____________． 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效． 15. 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． （1）证明：； （2）求集合中元素个数． 16. 已知圆：，当点在圆上运动时，作轴，垂足为，点满足．（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合） （1）求点的轨迹的方程并写出其简单几何性质（直接写出2个不同类别即可，无需证明）； （2）圆的一条直径交轨迹于，两点，当直线，的斜率都存在时，证明：的乘积为定值． 17. 如图，在正四棱锥中，，把绕BC顺时针旋转至，记点旋转后的对应点为． （1）证明：； （2）当三棱锥体积最大时，求： （i）点到平面的距离； （ii）平面与平面所成角的大小． 18. 已知函数． （1）判断函数的单调性； （2）当时，证明：曲线恒在曲线的上方； （3）当恰有四个零点时，证明：． 19. 座位错排问题是一个十分有趣的数学问题．现有编号为的共个同学及与其对应的编号为的座位，即第位同学的座位编号为，定义错排数为将共个同学安排在编号为的共个座位上，其中有个同学不在其对应座位上的情况数．例如．另外，规定. （1）计算：； （2）当时，随机地将这4位同学安排在4个座位上，设不在其对应座位上的同学人数为，在其对应座位上的同学人数为，计，求的分布列及期望； （3）定义错排概率为随机地将这位同学安排在个座位上，其中有个同学不在其对应座位上的概率，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省东莞市2025-2026学年上学期期末检测高三数学考试试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1. 定义域为R的函数，其图象与轴的交点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义进行判断即可. 【详解】给定自变量一个值为，根据函数的定义，它一定唯一对应一个数， 所以该函数的图象与轴的交点个数为1个. 故选：B 2. 向量、分别表示向东和向北方向走，则表示（ ） A. 向东北方向走 B. 向西北方向走 C. 向东北方向走 D. 向西北方向走 【答案】A 【解析】 【分析】作，，以、为邻边作平行四边形，则，求出以及的值，结合向量的几何意义可得结论. 【详解】作，，以、为邻边作平行四边形，如下图所示： 由题意可知，，故平行四边形为正方形， 所以，且，且， 故表示向东北方向走， 故选：A. 3. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数除法求出，再写出共轭复数即可. 【详解】因为， 所以， 故选：D 4. 双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程，结合直线斜率与倾斜角的关系、双曲线的离心率公式进行求解即可. 【详解】因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为， 所以这条渐近线方程为，它的斜率为， 所以， 即. 故选：C 5. 过正方体的任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（ ） A. 6条 B. 8条 C. 12条 D. 16条 【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，由图形判断即可. 【详解】 由三角形的中位线易得平面， 易得平面平面， 所以平面内有6条， 平面关于平面对称的平面内有6条， 共有12条. 故选：C. 6. 已知函数对任意有，且为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. 3 D. -3 【答案】D 【解析】 【分析】先由题设依次求出函数周期和对称性，进而得到，再结合题意转化即可计算求解. 【详解】由题可得任意有即函数具有周期性且周期为2， 又为偶函数，则函数关于直线对称， 所以，又当时， 所以. 故选：D 7. 已知随机变量X，Y均服从两点分布，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率公式，结合对立事件的概率公式进行求解即可. 【详解】 ， 所以. 故选：B 8. 设，函数，函数的极值为，则（ ） A. 是递增数列 B. 是递减数列 C. 是等差数列 D. 是等比数列 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的运算法则，结合极值的定义、等比数列的定义、单调数列的定义逐一判断即可. 【详解】， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的极值为； ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以的极值为； ， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的极值为， 归纳可得：， 因为， 所以数列不是等差数列. 又因为， 所以数列是等比数列， 因为数列是正负交替出现，故该数列不具有单调性. 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 9. 甲、乙两名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，两人的测试成绩如下表： 甲的成绩 乙的成绩 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 频数 4 5 8 3 频数 5 3 9 3 则下列说法正确的有（ ） A. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 B. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 C. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D. 甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差 【答案】AC 【解析】 【分析】求出甲和乙的成绩的中位数、平均数、方差和极差即可判断各选项. 【详解】由题意可得甲的成绩的中位数为9，平均数为， 方差为，极差为3； 乙的成绩的中位数为9，平均数为， 方差为，极差为3. 故甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数、甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数、甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差、甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差. 故AC正确，BD错误. 故选：AC 10. 已知函数在区间上单调递减，直线为函数图象的一条对称轴，点为其图象的一个对称中心，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点是函数的图象的一个对称中心 C. 将的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数 D. 若在上有且仅有个极值点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题干中函数的基本性质求出该函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用三角函数图象变换可判断C选项；利用函数极值点的定义可得出关于的不等式，解出的取值范围，可判断D选项. 【详解】因为函数在区间上单调递减， 且直线为函数图象的一条对称轴， 则函数在上取得最小值，则①， 因为点为函数图象的一个对称中心，则②， ②①可得，故， 设函数的最小正周期为，则，可得，故， 又因为且，故， 所以，故， 又因为，所以，故， 对于A选项，函数的最小正周期为，A错； 对于B选项，因为， 故点是函数的图象的一个对称中心，B对； 对于C选项，将的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为 ， 故所得函数为偶函数，C对； 对于D选项，，且， 当时，， 因为在上有且仅有个极值点，则， 解得，即，D对. 故选：BCD. 11. 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线与抛物线交于两点，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 当时，则 D. 当时，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合平面向量共线的坐标表示公式、数量积的坐标表示公式逐一判断即可. 【详解】A：由， 因为直线与抛物线交于两点， 所以，， ， ， 当时，显然满足， 此时，而， 显然不成立； B： 该抛物线的准线为. 当时，， 由抛物线的定义可知， 显然成立； C：当时，， ， 所以可得； D：当时，， ， 所以当时，有最小值，所以本选项正确. 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 12. 已知集合，若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】由子集关系得到或，计算并检验即可得解. 【详解】集合，， 所以或， 解得或或， 当时，集合，与集合中元素的互异性矛盾，不符合； 当时，集合，与集合中元素的互异性矛盾，不符合； 当时，集合，符合； 故答案为： 13. 曲线在点处的切线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义,先求得在点处的切线的斜率.进而结合点斜式即可求得切线方程. 【详解】曲线 则 所以在点处的切线的斜率为 由点斜式可得 故答案为: 【点睛】本题考查了导数的几何意义,直线方程的点斜式应用,属于基础题. 14. 已知是锐角三角形，内角、、所对应的边分别为、、.若，则的最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，求得，且，根据为锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理可得， 所以， 可得， 因为为锐角三角形，即、，故， 因为正弦函数在上单调递增，所以，即， 则， 由可得，所以， 所以 ， 故当时，取最小值. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效． 15. 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． （1）证明：； （2）求集合中元素个数． 【答案】（1） 设数列的公差为， 所以①， ②， 由①得， 代入②得，所以原结论得证． （2）6． 【解析】 【分析】（1）由等差和等比数列下标的性质结合已知列方程组计算可得； （2）先由基本量法求出等差等比数列的通项和等比数列的求和公式，再将问题等价于，结合题意计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， ， 所以， 所以原式等价于 因为，所以，即， 解得，所以满足等式的解，共6个， 故集合中元素个数为6． 16. 已知圆：，当点在圆上运动时，作轴，垂足为，点满足．（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合） （1）求点的轨迹的方程并写出其简单几何性质（直接写出2个不同类别即可，无需证明）； （2）圆的一条直径交轨迹于，两点，当直线，的斜率都存在时，证明：的乘积为定值． 【答案】（1）， 范围：. 对称性：关于原点中心对称，关于坐标轴轴对称. 顶点：. 离心率：，（写出上面的其中两个即可）. （2） 圆的直径一定过原点，因为轨迹为椭圆，根据圆和椭圆的对称性，A，B两点关于原点对称， 设，，. 因为，， 直线的斜率，直线的斜率， 所以， 即的乘积为定值． 【解析】 【分析】（1）设出相关点的坐标，根据得到坐标之间的关系，代入圆的方程即可得到点的轨迹方程. 根据椭圆的几何性质填写即可. （2）根据圆和椭圆的对称性得到A，B两点关于原点对称，设出相关点坐标，代入斜率公式求解即可. 【小问1详解】 设点，，，则，. 因为，所以，， 又点在圆上，所以，代入得， 当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合， 所以点的轨迹为． 简单几何性质如何： 范围：. 对称性：关于原点中心对称，关于坐标轴轴对称. 顶点：. 离心率：，（写出上面的其中两个即可）. 【小问2详解】 略 17. 如图，在正四棱锥中，，把绕BC顺时针旋转至，记点旋转后的对应点为． （1）证明：； （2）当三棱锥体积最大时，求： （i）点到平面的距离； （ii）平面与平面所成角的大小． 【答案】（1） 证明：如图1，取中点，连接和， 由题意得，且，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以． （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定定理得出 平面，进而得出线线垂直； （2）（i）方法一：建系得出平面的法向量，再应用点到平面距离公式计算求解；方法二：先应用线面垂直判定定理得出平面，再应用面面平行，进而得出点到平面距离； （ii）方法一：分别求出平面与平面的法向量，再应用二面角余弦公式计算求解；方法二：应用二面角定义得出为平面与平面所成角，最后计算边长应用余弦定理计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为平面，M是BC中点，所以， 因为，所以当时，最大，此时三棱锥的体积最大． 方法一： （i）如图2，设正方形中心为O，中点为， 由正四棱锥的特征可得两两垂直，以ON，OM，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，直角三角形PMO中，，所以， 因为，所以 ， 设平面的法向量为， 则，即， 解得，取，得 因为，所以点到平面的距离为． （ii）， 设平面的法向量为 则，即， 解得，取，得 设平面与平面夹角为， ， 因为，所以，所以平面与平面所成角的大小为． 方法二： （i）如图3，取PA中点，连接和， 因为平面，所以平面， 因为，所以， 又因为，所以， 平面，所以平面. 所以平面平面， 所以点到平面的距离即点到平面的距离， 因为平面，点到平面的距离为， 所以点到平面的距离为． （ii）因为平面平面， 所以平面与平面所成角即平面与平面所成角， 如图4，过点作，连接和，因为， 所以，所以为平面与平面所成角， 在中，AB边上的高为，由等面积法可得，所以， 在中，， 因为平面与平面所成角的范围为，所以平面与平面所成角的大小为. 18. 已知函数． （1）判断函数的单调性； （2）当时，证明：曲线恒在曲线的上方； （3）当恰有四个零点时，证明：． 【答案】（1）在上单调递增，在和上单调递减 （2） ． 令， ，故在上单调递增． ，即． 由（1）可知在单调递增，，∴， 即，即曲线恒在曲线的上方． （3） 令，得或 由题意得直线与两条曲线共有四个交点． 对于且， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递减， 同（2）可证，当时，曲线恒在曲线的下方 如图所示，，且． 由，得． ，且在上单调递减， ，即．． 同理：，得， ∵，且在上单调递增， ∴，即，∴. 故，即，得证． 【解析】 【分析】（1）由解析式得到函数定义域，由导数得到函数的单调区间. （2）作差得，令，由导数得到函数的单调性，从而证明，结合（1）中结论得到，从而得证； （3）令，求得，将问题转化为直线与曲线共有四个交点，由导数求得函数的单调区间，由（2）中结论，通过数形结合，得到，由，得，由函数在上单调性得，即可求得，同理由，通过函数在上单调性得，即可求得，即可得证. 【小问1详解】 由得函数定义域为， 且，令，即，∴． 当时，，当或时，， 所以在上单调递增，在和上单调递减. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 座位错排问题是一个十分有趣的数学问题．现有编号为的共个同学及与其对应的编号为的座位，即第位同学的座位编号为，定义错排数为将共个同学安排在编号为的共个座位上，其中有个同学不在其对应座位上的情况数．例如．另外，规定. （1）计算：； （2）当时，随机地将这4位同学安排在4个座位上，设不在其对应座位上的同学人数为，在其对应座位上的同学人数为，计，求的分布列及期望； （3）定义错排概率为随机地将这位同学安排在个座位上，其中有个同学不在其对应座位上的概率，证明：． 【答案】（1）3；9 （2） 0 2 4 ； （3） 证明：根据定义， 先从个元素中选出个元素，再对它们进行排列，并使它们均不排在对应位置上， 所以，所以． 不妨记，则，且， 得， 则，又， 故是以1为首项，-1为公比的等比数列， 所以， 变形得， 则当时，， 将上式累加得， 经检验也符合上式，所以， 所以，得证． 【解析】 【分析】（1）由错排数定义直接计算即可； （2）由题意求出的所有可能取值并求出每个取值发生的概率即可求分布列，再由期望公式即可计算求解期望. （3）先根据错排数和错排概率定义得到错排概率公式，接着记得到 ，进而得到， 时，再由该递推公式结合等比数列定义和累加法求出 即可求解. 【小问1详解】 表示将3人排在3个座位上有2人错排，1人在正确的位置上， 故， 表示将4人排在4个座位上有4人错排，没有人在正确的位置上， 则； 【小问2详解】 由题可知的所有可能取值0，2，4， ， ， ， 所以的分布列为 0 2 4 ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $