精品解析：浙江杭州学军中学2025-2026学年第一学期期末考试高一数学试卷

杭州学军中学2025-2026学年第一学期期末考试高一数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，其40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则 A. B. C. D. 4. 函数与的图象的交点个数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 9 D. 6. 已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若的定义域为，且，，则（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 8. 如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若则 B. 若，则向量在向量上的投影向量坐标为 C. 若，则 D. 最大值为 10. 如图，函数的图像经过，则（ ） A. B. 方程所有根的和为 C. 若为偶函数，则正数的最小值为 D. 若在上无零点，则正数的取值范围为 11. 在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，它是工程数学中重要的函数，也是一类很重要的初等函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．已知双曲正弦函数的解析式为，双曲余弦函数的解析式为（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为奇函数 C. 若直线与函数和的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为，则 D. 若存在，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知扇形的圆心角，弧长为，扇形的面积为________． 13. 已知，且满足，则，则______． 14. 已知平面向量满足，且对任意的实数t ，均有，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点， （1）求的值； （2）若角满足，求的值. 16. 如图，在中，角的对边分别为．已知，为CD上一点，且满足． （1）求的值； （2）求的最小值． 17. 已知函数． （1）求的值； （2）求在上的值域； （3）将函数的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围． 18. 函数； （1）判断并用定义证明函数在上的单调性； （2）若，求证：； （3）若，且，求证：． 19. 已知函数．定义，设，为常数． （1）当时，判断函数的奇偶性； （2）已知，求使得等式成立的取值范围； （3）定义区间的长度为．若的解集为，问是否存在，使得的全部区间长度之和等于6，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学2025-2026学年第一学期期末考试高一数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，其40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合补集和交集的概念解出. 【详解】求解集合，解不等式， 解得或，即， 所以，已知，所以. 故选：D 2. 已知，，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断． 【详解】由得，则 ，则，充分性成立； 由，若，，则，得不到，必要性不成立， 故 p是 q的充分不必要条件． 故选：A． 3. 已知，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量比较，运用中间量比较 【详解】则．故选B． 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 4. 函数与的图象的交点个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象即可判断交点个数. 【详解】画出与的图象如图所示： 根据图象可知，交点个数是个. 故选：C. 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先化简等式为，再利用“1”的妙用，变形为，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】由可知，， 所以， 当，即时，等号成立， 联立，得， 所以当时，的最小值为. 故选：C 6. 已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性，对进行分类讨论，可得答案. 【详解】的值域为， 当时， 则，为增函数，， 而时，为增函数， 此时，，不符题意； 当时， 则，为减函数，， 而时，为减函数， 此时，， 因为的值域为，当且仅当时，满足题意， 此时，，则，整理得，，解得； 综上，时满足题意. 故选：A 7. 若的定义域为，且，，则（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，赋值化简，可得的周期为6，则所求变为求的值，通过赋值法，代数计算，即可求得答案. 【详解】令，则， 则，与上式相加可得， 即，所以， 则， 所以是以周期为6的函数， 所以， 因为，， 所以令，可得，解得或4， 令，可得，所以， 令，可得，所以， 令，可得，所以. 故选：A 8. 如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，进一步由可得，将它们代入函数表达式结合诱导公式二倍角公式计算可得结果. 【详解】依题意则得 ， 即，所以,； 设，因为， 所以,，解得,； 因此 ,， 可得，结合图象可得，解得. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用点的位置特征以及向量关系式，得出两点的坐标关系式，再利用诱导公式以及二倍角公式计算可得结果. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若则 B. 若，则向量在向量上的投影向量坐标为 C. 若，则 D. 最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，由的值进行判断；对B，由投影向量的计算公式计算；对C，由向量数乘运算的性质判断；对D，计算的最大值. 【详解】对于A：，A错误； 对于B：向量在向量上的投影向量为，B正确； 对于C：由，得，所以，即，解得，C错误； 对于D：设向量与向量的夹角为，则， 当时，取得最大值，此时取得最大值，D正确； 故选：BD. 10. 如图，函数的图像经过，则（ ） A. B. 方程所有根的和为 C. 若为偶函数，则正数的最小值为 D. 若在上无零点，则正数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数图象求出、的值，即可得到解析式，再根据余弦函数的性质一一判断即可. 【详解】依题意，即，又，所以或， 当时， 令，解得，令，解得， 设函数的最小正周期为，则，所以， 则，所以，， 所以在轴右侧的第一个最大值点必大于，不符合题意，故； 所以，又函数过点，且为单调递减区间上的对称中心， 所以，则，解得， 又，所以，所以； 对于A：，故A正确； 对于B：由，即函数的图象关于点对称，直线过点， 因此直线与的图象交点关于点对称，共有个交点， 即方程共有个根，所有根的和为， 因为不存在使得，故B错误； 对于C：函数是偶函数，则， 解得，因此当时，正数取得最小值，故C正确； 对于D，函数， 当时，， 由在上无零点，得， 则，解得，显然， 即，于是，所以正数的取值范围为，故D正确. 故选：ACD 11. 在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，它是工程数学中重要的函数，也是一类很重要的初等函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．已知双曲正弦函数的解析式为，双曲余弦函数的解析式为（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为奇函数 C. 若直线与函数和的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为，则 D. 若存在，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据双曲函数的加法公式、函数的奇偶性、函数图象过交点以及不等式能成立问题逐项分析即可求得结果. 【详解】对于A，， ， 化简后得，故A错误； 对于B，的定义域为R，，所以是偶函数； 的定义域为R，，所以是奇函数， 所以函数为奇函数，故B正确； 对于C，因为直线与函数和的图象共有三个交点，在R上单调递增，即直线与函数只有一个交点， 所以直线与函数有两个交点， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即，，解得， 所以，则，故C正确； 对于D，，， 令，则，所以在上单调递增， 则， 又，当且仅当时，等号成立， 所以最小值为1， 因为存在，关于的不等式恒成立， 所以， 所以的取值范围为，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】本题考查了双曲函数的定义及相关性质、函数的奇偶性、函数的单调性、函数图象交点问题，以及运用基本不等式和求导求解，关键点有： （1）判断奇偶性前先判断函数的定义域是否关于原点对称； （2）运用基本不等式要注意“一正二定三相等”； （3）根据导函数判断函数的单调性，求最值； （4）恒成立问题与能成立问题作区分. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知扇形的圆心角，弧长为，扇形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式，结合弧长公式进行求解即可. 【详解】设扇形的半径为，因为弧长为，所以， 扇形的面积为：， 故答案为： 13. 已知，且满足，则，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】运用降幂公式、两角和的余弦公式进行化简，结合角的范围可得，进而可求，利用二倍角公式和齐次化即可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得， 即，所以， 所以，得， 所以． 故答案为： 14. 已知平面向量满足，且对任意的实数t ，均有，则的最小值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件建立平面直角坐标系，判断出对应坐标满足的轨迹，由此确定正确答案. 【详解】依题意，， 在平面直角坐标系中，设，对应向量， ，对应向量，则，则， 由于，所以对应终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 依题意，恒成立，两边平方并化简得恒成立， 所以，整理得， 设，则， 所以对应点的轨迹是直线. 则表示圆上的点和直线上的点的距离， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解向量问题可以有两个方向，一个是利用几何法来求解，另一个是利用坐标法来求解.用坐标法来求解，是根据题目的已知条件，建立适当的平面直角坐标系，然后用坐标表示向量，由此来对问题进行求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点， （1）求的值； （2）若角满足，求的值. 【答案】（1）；（2） 或 . 【解析】 【分析】（1）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果； （2）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果. 【详解】（1）由角的终边过点，可得， 所以. （2）由角的终边过点，可得， 由，得. 由，得， 所以或. 16. 如图，在中，角的对边分别为．已知，为CD上一点，且满足． （1）求的值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理，以及向量的线性运算，用基底表示向量，求出参数值； （2）根据向量模长与向量数量积的关系，以及基本不等式，求出最小值即可. 【小问1详解】 设，因为，所以， 可知， 当时，解得，即，所以. 【小问2详解】 由得， 在中，，所以， 所以， 可知，当且仅当时，即时取等号， 可得，即，所以的最小值为. 17. 已知函数． （1）求的值； （2）求在上的值域； （3）将函数的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入即可求解， （2）在已知x的取值范围的情况下，通过分析的范围，进而得出函数的值域. （3）根据三角函数图象的伸缩变换得到，通过换元构造函数，令，再将进行化简，参变分离，转化为对任意的恒成立，利用基本不等式求a的取值范围. 【小问1详解】 【小问2详解】 时，，故． 即在上的值域为． 【小问3详解】 将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到函数，则 ， 令，因为，所以. 则不等式对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立， 即对任意的恒成立. 整理得，因为，所以， 则； 令，，，， 由于，故，则， 因此， 当且仅当，即时取到等号， 所以.所以， 即实数的取值范围是. 18. 函数； （1）判断并用定义证明函数在上的单调性； （2）若，求证：； （3）若，且，求证：． 【答案】（1） 函数在上的单调递减，证明如下： 任取，且， 则 因为， 所以，，， 所以， 所以函数在上的单调递减. （2） 由（1）得 由于， 则，由基本不等式可得， 则， 则. （3） 由（1）得, 若，且， 则， 即， 由基本不等式， 则， 则. 【解析】 【分析】（1）任取，且，对整理变形，判断符号即可证明单调性； （2）由（1）的式子，结合基本不等式判断符号即可证明； （3）由（1）的式子，结合基本不等式，解不等式即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知函数．定义，设，为常数． （1）当时，判断函数的奇偶性； （2）已知，求使得等式成立的取值范围； （3）定义区间的长度为．若的解集为，问是否存在，使得的全部区间长度之和等于6，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）为偶函数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析得到，从而得到为偶函数； （2）故成立，分和两种情况，得到不等式，结合根的判别式得到不等式的解集，求出等式成立的取值范围为； （3）先求出的最小值为1，若有解，首先满足，当时，解得，区间长度为，令，解得，不满足，舍去；当，令得到方程，时，恒成立，再分和时，得到区间长度，求出. 【小问1详解】 当时，， 若时，，， 故， 若，，， 故， 此时， 因为，，且，因此为偶函数， 【小问2详解】 ， 故成立， 其中，，， 当时，，，即， ， 所以，解得， 当时，，，即， ， 因为，当时，，此时不等式无解； 当时，，此时不等式为，解为，不满足； 当时，，此时不等式解集为 ， 其中， ， ，故， 则， 故与无交集，故无解； 综上，等式成立的取值范围为； 【小问3详解】 因为的最小值为1，的最小值为2， 故的最小值为1， 若有解，首先满足， 由于的最小值为2，则当时， ，即，解得， 则其解集为，此时区间长度为， 令，解得，不满足，舍去； 由于，故与相交于的右侧， 令得，， 即，化简得， 时，恒成立， 则两根为，显然， 当时，， 当时，的解集为， ，即，解得， 的解集为， 此时， 此时区间长度为， 令，解得或6（舍去）， 当时，由于恒成立， 此时， 此时的区间长度为， 当时，，故无解； 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $