2025-2026学年高三上学期期末检测数学最后一卷

2025-2026学年高三上学期期末检测数学最后一卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019高考考试大纲要求内容。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A．（0，2） B． C． D． 2．若虚数i是关于的方程的一个根，则（   ） A． B．1 C．0 D．不能确定 3．已知，且，则的最小值是（　　） A．5 B．25 C．36 D．64 4．如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，当取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 5．已知为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积， 若 ，则（    ） A． B． C． D． 6．当时，函数的最小值为，最大值为，则（   ） A． B． C． D． 7．椭圆可以看作圆沿定直线方向拉伸或压缩而得.如图，是圆上一动点，在轴上的投影为，则满足的动点的轨迹是椭圆.若椭圆的离心率，则（     ）    A． B． C． D． 8．已知定义域为函数，满足，，其中是的导函数，若为偶函数，则（     ） A．74 B．72 C．70 D．68 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（     ） A．已知数据，，…，的极差为6，则数据，，…，的极差为12， B．已知随机事件和，若，，，则和相互独立 C．已知随机事件和，若，，则 D．已知随机事件和满足，，若事件与相互独立，则与必不互斥 10．已知函数有两个零点，，函数有两个零点，，则（ ） A． B． C． D． 11．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内一点（含边界），则（    ） A．若为棱的中点，则平面截正方体所得截面为梯形 B．若为线段上一点，则三棱锥的体积为定值 C．若为的中点，则平面 D．若为侧面的中心，则过且与垂直的平面截正方体所得截面面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中项的系数为 13．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上位于第一象限的动点，延长与交于点，若时，，则当时， ． 14．已知函数．若有两个零点和，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知的内角所对的边分别为. (1)求角； (2)若的角平分线与交于点的面积为，求. 16．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内. (1)如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望. (2)现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 17．如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，是母线的中点，点，在底面圆周上，且，点在线段上，且直线平面．    (1)证明：； (2)若是正三角形，求直线与平面所成角的正弦值． 18．已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆过点.过作两条互相垂直的直线与分别与椭圆交于四点.记弦的中点分别是.    (1)求椭圆的方程； (2)若直线与轴不重合，求△面积的最大值； (3)求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 19．设．若函数满足恒成立，则称函数具有性质． (1)判断是否具有性质，并说明理由； (2)设，若函数具有性质，求实数a的取值范围； (3)设函数的定义域为R，且对任意以及，都有．若当时，恒有．求证：函数对任意实数a均具有性质． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三上学期期末检测数学最后一卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B B C D D A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ABD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．8 13．8 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）已知， 由正弦定理得， ， ， 又，所以， ，即， ，即 又，所以， 所以，则； （2）由（1）知， 则，所以，又， 由余弦定理有， ，则， 又为的角平分线，则， 则， . 16．（15分） 【答案】(1)分布列见详解；; (2)7个或8个 【详解】（1）若小球落入球槽的号码为，， 则小球共经过4次碰撞，向右次，可得， 则；；；，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P X的期望为. （2）若小球落入2号球槽，则小球共经过4次碰撞，向右1次，且每次向右的概率均为， 则小球落入2号球槽的概率为， 设80个小球落入2号球槽的个数为，则， 令，即，解得， 且，即， 所以2号球槽中落入小球的概率最大的为7个或8个. 17．（15分） 【答案】(1)证明见解析; (2)． 【详解】（1）连接，，，如图：    因为是中点，是中点，则，而平面， 所以平面，又因为平面，， 所以平面平面，即平面平面. 又平面平面，平面平面，所以， 所以，而，所以是等边三角形， 所以，又，所以四边形是平行四边形， 所以． （2）取的中点，连接， 由（1）知 ， 又，所以是等边三角形，则，即. 以为坐标原点，分别以，，为，，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示.    不妨设，又是正三角形， 则，，，. 则，， 设为平面的一个法向量， 由，得， 令，则得平面的一个法向量， 所以， 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 18．（17分） 【答案】(1); (2); (3)证明见解析， 【详解】（1）因为椭圆的左､右焦点分别为，所以， 又椭圆经过点，所以， 所以，所以，所以椭圆的方程. （2）由题可设直线的方程为：， 由得，， 令，则，所以， 又因为时，单调递增，所以，所以， 所以，所以面积的最大值为. （3）设， （i）当或与轴重合时，直线为轴. 若直线过定点，则该点在轴上，设为， （ii）当与都不与轴重合时，由（2）可知： ， 把换成可得， 因为 且，所以. 解得：， 所以直线过定点. 19．（17分） 【答案】(1)具有，理由见解析; (2); (3)证明见解析 【详解】（1）记， 显然，则其是偶函数. 当时，，故， 所以对恒成立，具有性质. （2）， 当时严格单调递增， 当时严格单调递减. 若，则，函数在上严格单调递增，恒成立， 此时函数具有性质. 若，则函数在上严格单调递减， ， 故函数不具有性质. 若，则函数在上严格单调递增， “对恒成立”等价于“对恒成立”， 而在上严格单调递减，在上严格单调递增， 故，即， 即. 综上，的取值范围是. （3）对任意及， 都有， 即对任意都有. 假设存在使得不具有性质， 则存在使得. 若，则. 当时，则在中取， 对任意有， 于是， 即. 而当时，， 故有，矛盾. 当时，记，则， 由得，得， 故. 与当时同理可得矛盾. 若，则，与时同理可得矛盾. 综上，假设不成立，即函数对任意实数均具有性质. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三上学期期末检测数学最后一卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019高考考试大纲要求内容。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A．（0，2） B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合，，再进行交集运算即可. 【详解】对集合求解不等式，可得，解得：， 又因为，所以集合， 同理，对集合求解不等式，化简可得：，解得：, 所以, 故． 故选：B. 2．若虚数i是关于的方程的一个根，则（   ） A． B．1 C．0 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据复数相等计算即可. 【详解】因为i是方程，，的一个根， 所以，即， 所以，，所以，， 因此． 故选：B． 3．已知，且，则的最小值是（　　） A．5 B．25 C．36 D．64 【答案】B 【分析】根据基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值. 【详解】因为，所以， 即，解得（舍去）， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故选：B. 4．如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，当取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，设，则，，利用平面向量数量积的运算性质可得出的最大值及其对应的值，可得出，再利用两角差的正切公式可求得的值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示， 则、，设，则，，故，. 所以，当时，取得最大值， 此时点，即点与点重合，且， 此时. 故选：C. 5．已知为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积， 若 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将表达式化简可得，再利用前 项积的关系式可证明数列是等差数列，即可求得结果. 【详解】由已知得，且，，取，由得， 由于为数列的前项积，所以， 则，两式相除，可得， 由于，化简得，即，其中 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以. 故选：D 6．当时，函数的最小值为，最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义域可得，结合复合函数单调性分别确定函数与函数的单调性，从而得在上的单调性，从而得最值，于是求得的值. 【详解】因为，所以函数在处无定义，所以， 又函数在上单调递减，且，且函数在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以，解得， 再由，得， 由，可解得． 故选：D. 7．椭圆可以看作圆沿定直线方向拉伸或压缩而得.如图，是圆上一动点，在轴上的投影为，则满足的动点的轨迹是椭圆.若椭圆的离心率，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由相关点法求出椭圆的轨迹方程，再由离心率，列方程代入解方程即可得出答案. 【详解】设圆的方程为， 因为，则， 所以，即， 因为是圆上一点，所以， 所以，即，所以， 而椭圆的离心率为：， 所以，解得：. 故选：A. 8．已知定义域为函数，满足，，其中是的导函数，若为偶函数，则（     ） A．74 B．72 C．70 D．68 【答案】C 【分析】根据导数的运算法则，求得，得到是奇函数，求得，再由题意，推得，得到函数是以4为周期的周期函数，结合周期性，即可求解. 【详解】由函数为偶函数，所以 ，所以， 可得是奇函数，所以， 因为，所以 ，所以， 令，可得， 因为，可得， 用代替，可得， 又因为，两式相加得， 令，可得；令，可得，所以， 因为，用代换，可得，即， 又因为函数是奇函数，可得 由，所以， 所以函数是周期为4的一个周期函数，则， 所以， 则. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（     ） A．已知数据，，…，的极差为6，则数据，，…，的极差为12， B．已知随机事件和，若，，，则和相互独立 C．已知随机事件和，若，，则 D．已知随机事件和满足，，若事件与相互独立，则与必不互斥 【答案】ABD 【分析】根据极差的定义判断A；利用相互独立事件的定义判断B；利用概率的性质，求，判断C；利用相互独立事件和互斥事件的定义判断D. 【详解】对于A，不妨令，则，， 因此新数据组的极差为，A正确； 对于B，因为，，， 所以，即A和B相互独立，故B正确； 对于C，若，， 则，故C错误； 对于D，当，，且时，， 事件，不相互独立，所以事件，相互独立与，互斥不能同时成立，故D正确. 故选：ABD. 10．已知函数有两个零点，，函数有两个零点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】设函数与图象交点为，，函数与图象交点为，.根据与的图象关于对称，与的图象也关于对称，进而结合图象利用对称性质逐项求解即可. 【详解】设函数与图象交点坐标分别为，； 函数与图象交点坐标分别为，. 由于与的图象关于对称，与的图象也关于对称，故它们的交点，关于直线对称，，关于直线对称，    则，，且， . 故选：ABD. 11．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内一点（含边界），则（    ） A．若为棱的中点，则平面截正方体所得截面为梯形 B．若为线段上一点，则三棱锥的体积为定值 C．若为的中点，则平面 D．若为侧面的中心，则过且与垂直的平面截正方体所得截面面积为 【答案】ABD 【分析】根据三棱锥的体积公式、线面平行的判定、线面垂直等知识逐项计算即可. 【详解】连接并延长交于，连接并延长，易得交于，连接，得截面，易得四边形为梯形（如图1），故A正确； 若为上一点，如图2因为，易证平面，所以点到平面的距离不变， 又的面积固定不变，所以三棱锥，即三棱锥的体积为定值，故B正确； 如图3，取的中点，连接，则，显然平面即为平面，且与平面相交，故C错误； 如图4，若为的中心，即为的中点，取的中点，连接，则. 易证，所以，又平面，所以平面，所以， 同理可证，进而可证平面，所以过且与垂直的平面截正方体所得截面为， 易求，所以的面积为，故D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中项的系数为 【答案】8 【分析】先写出的展开式的通项，再根据乘法分配律即可求出. 【详解】展开式的通项公式为，,1,2,3,4， 展开式中，项的系数为. 故答案为：. 13．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上位于第一象限的动点，延长与交于点，若时，，则当时， ． 【答案】8 【分析】法一：当时，设，代入求解可得抛物线方程，当时，可得直线的方程为，设，，与抛物线方程联立，可求得，进而计算可求解. 法二：同法一求得抛物线的方程，利用，可求值. 【详解】解法一：因为当时，可设，代入， 得，解得（负值舍去），则， 当时，可得直线的方程为， 与联立得，可设，， 所以，，则由抛物线的定义可得， ，所以． 解法二  因为当时，可设，代入， 得，解得（负值舍去），则， 当时，由抛物线中焦半径与直线倾斜角的关系可得， ，即，， 所以． 故答案为：. 14．已知函数．若有两个零点和，则 ． 【答案】 【分析】利用和差化积公式得，再结合正弦函数性质即可求出的值，代入可得，并求出，从而得到答案. 【详解】根据和差化积公式得， 令， 当时，，则，此时无解， 当时，，则，则或，解得或， ， ， 设，即，两边取余弦，得 ， 其中 ， 所以， 整理方程，得， 故， ， ，，， ，解得， ，， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知的内角所对的边分别为. (1)求角； (2)若的角平分线与交于点的面积为，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知及正弦定理的边角关系有，再应用三角恒等变换、三角形内角的性质求角的大小； （2）根据已知，结合三角形面积公式、余弦定理得，再由和面积公式求的长. 【详解】（1）已知， 由正弦定理得， ， ， 又，所以， ，即， ，即 又，所以， 所以，则； （2）由（1）知， 则，所以，又， 由余弦定理有， ，则， 又为的角平分线，则， 则， . 16．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内. (1)如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望. (2)现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 【答案】(1)分布列见详解； (2)7个或8个 【分析】（1）分析可知小球共经过4次碰撞，向右次，可得，进而可得分布列和期望； （2）分析可知小球落入2号球槽的概率为，且，令，运算求解即可. 【详解】（1）若小球落入球槽的号码为，， 则小球共经过4次碰撞，向右次，可得， 则；；；，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P X的期望为. （2）若小球落入2号球槽，则小球共经过4次碰撞，向右1次，且每次向右的概率均为， 则小球落入2号球槽的概率为， 设80个小球落入2号球槽的个数为，则， 令，即，解得， 且，即， 所以2号球槽中落入小球的概率最大的为7个或8个. 17．如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，是母线的中点，点，在底面圆周上，且，点在线段上，且直线平面．    (1)证明：； (2)若是正三角形，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析. (2)． 【分析】（1）先证明平面平面，再证明四边形是平行四边形即可. （2）以O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法即可得出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）连接，，，如图：    因为是中点，是中点，则，而平面， 所以平面，又因为平面，， 所以平面平面，即平面平面. 又平面平面，平面平面，所以， 所以，而，所以是等边三角形， 所以，又，所以四边形是平行四边形， 所以． （2）取的中点，连接， 由（1）知 ， 又，所以是等边三角形，则，即. 以为坐标原点，分别以，，为，，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示.    不妨设，又是正三角形， 则，，，. 则，， 设为平面的一个法向量， 由，得， 令，则得平面的一个法向量， 所以， 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 18．已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆过点.过作两条互相垂直的直线与分别与椭圆交于四点.记弦的中点分别是.    (1)求椭圆的方程； (2)若直线与轴不重合，求△面积的最大值； (3)求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）由题意可得，利用椭圆的定义可求得，进而可求得，可求椭圆的方程； （2）设直线的方程为：，与椭圆联立方程组，根据韦达定理可得，结合基本不等式求得△面积的最大值； （3）设，由题意可得定点在点在轴上，设为，由（2）可得的坐标，进而利用，可得，可求得定点坐标. 【详解】（1）因为椭圆的左､右焦点分别为，所以， 又椭圆经过点， 所以， 所以，所以， 所以椭圆的方程. （2）由题可设直线的方程为：， 由得，， 令，则，所以， 又因为时，单调递增，所以，所以， 所以， 所以面积的最大值为. （3）设， （i）当或与轴重合时，直线为轴. 若直线过定点，则该点在轴上，设为， （ii）当与都不与轴重合时，由（2）可知： ， 把换成可得， 因为 且，所以. 解得：， 所以直线过定点. 19．设．若函数满足恒成立，则称函数具有性质． (1)判断是否具有性质，并说明理由； (2)设，若函数具有性质，求实数a的取值范围； (3)设函数的定义域为R，且对任意以及，都有．若当时，恒有．求证：函数对任意实数a均具有性质． 【答案】(1)具有，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）首先判断为偶函数，再判断出时，即可； （2）求导得，得到其单调性，再对分和以及讨论即可； （3）根据定义知，再利用反证法即可证明. 【详解】（1）记， 显然，则其是偶函数. 当时，，故， 所以对恒成立，具有性质. （2）， 当时严格单调递增， 当时严格单调递减. 若，则，函数在上严格单调递增，恒成立， 此时函数具有性质. 若，则函数在上严格单调递减， ， 故函数不具有性质. 若，则函数在上严格单调递增， “对恒成立”等价于“对恒成立”， 而在上严格单调递减，在上严格单调递增， 故，即， 即. 综上，的取值范围是. （3）对任意及， 都有， 即对任意都有. 假设存在使得不具有性质， 则存在使得. 若，则. 当时，则在中取， 对任意有， 于是， 即. 而当时，， 故有，矛盾. 当时，记，则， 由得，得， 故. 与当时同理可得矛盾. 若，则，与时同理可得矛盾. 综上，假设不成立，即函数对任意实数均具有性质. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用反证法得到与定义像矛盾的结论. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $