4.3.2 空间中直线与平面的位置关系（二 直线与平面垂直）分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

4.3.2　空间中直线与平面的位置关系 二　直线与平面垂直 一、必备知识基础练 1.已知直线m,n和平面α,如果n⊂α,那么“m⊥n”是“m⊥α”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则直线b与平面α所成的角等于(　　) A.40° B.50° C.90° D.150° 3.下列四个说法正确的是(　　) A.过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直 B.已知两条不重合的直线m,n和平面α,若m⊥n,m⊥α,则n∥α C.a,b,l表示三条不同的直线,α表示平面,若a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b,则l⊥α D.若直线a不平行于平面α,则直线a垂直于平面α 4.若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是(　　) A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交 5.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,BC1∩B1C=D,则AD与平面ABC所成角的大小是(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 6.线段AB在平面α的同侧,A,B到α的距离分别为3和5,则AB的中点到α的距离为　　　　　.  7.如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.求证:AE⊥BE. 二、关键能力提升练 8.如图,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,PA与平面ABC垂直,则四面体P-ABC的四个面中,直角三角形有(　　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 9.如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论: ①BD⊥AC;②△BCA是等边三角形;③三棱锥D-ABC是正三棱锥;④平面ADC⊥平面ABC. 其中正确的是(　　) A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④ 10.(2025甘肃张掖高一期中)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1=4,P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值为(　　) A.4 B.2 C.8 D.2 11.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别为棱A1D1,A1A,A1B1的中点,下列结论正确的是(　　) A.EF⊥B1C B.BC1∥平面EFG C.A1C⊥平面EFG D.异面直线FG,B1C所成角的大小为 12.在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件　　　　　时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可)  13.(2025甘肃兰州高一期末)如图,AO⊥平面α,点O为垂足,BC⊂平面α,BC⊥OB,若∠ABO=,∠COB=,则cos∠BAC=　　　　　.  14.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D与AD1交于点O. (1)求证:AD1⊥平面A1CD; (2)求直线AC与平面A1CD所成角的大小. 三、学科素养创新练 15.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°.G为线段PC上的点. (1)证明:BD⊥平面APC; (2)若G为PC的中点,求DG与平面APC所成角的正切值; (3)若G满足PC⊥平面BGD,求的值. 参考答案 1.B　若n⊂α,m⊥n,则m⊥α或m⊂α,若m⊥α,n⊂α,则m⊥n,故“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分条件.故选B. 2.B　3.A 4.C　取BD的中点O,连接AO,CO, 则BD⊥AO,BD⊥CO, 故BD⊥平面AOC,BD⊥AC. 又因为BD,AC异面,所以AC,BD垂直但不相交.故选C. 5.A　取BC的中点E,连接AE,DE,则DE⊥底面ABC, ∴∠DAE为AD与平面ABC所成的角.设三棱柱的棱长为1,则AE=,DE=, ∴tan∠DAE=,∴∠DAE=30°. 故选A. 6.4　如图,设M为AB的中点,分别过A,M,B向平面α作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,则由线面垂直的性质定理可知,AA1∥MM1∥BB1, 四边形AA1B1B为直角梯形. ∵AA1=3,BB1=5,MM1为其中位线,∴MM1=4. 7.证明∵AD⊥平面ABE,AD∥BC, ∴BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE,∴AE⊥BC. ∵BF⊥平面ACE,AE⊂平面ACE,∴AE⊥BF. ∵BF⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,BF∩BC=B, ∴AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE,∴AE⊥BE. 8.A　∵AB是圆O的直径,∴∠ACB=90°,即BC⊥AC,三角形ABC是直角三角形. 又PA⊥圆O所在的平面,∴三角形PAC和三角形PAB是直角三角形,BC⊥PA.又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC, ∴三角形PBC是直角三角形. 综上,直角三角形有4个.故选A. 9.B　根据直二面角的定义知,BD⊥平面ACD.又AC⊂平面ACD,所以BD⊥AC,故①正确;因为△ABC为等腰直角三角形,设AD=1,则在立体图形中,AB=BC=AC=,所以△BCA是等边三角形,故②正确; 由上可知AB=BC=AC,且AD=BD=CD,根据正三棱锥的定义可知,三棱锥D-ABC是正三棱锥,故③正确,④不正确.故选B. 10.B　连接A1B,沿BC1将△CBC1翻折至与△A1BC1在同一个平面内,如图,连接A1C, 则A1C的长度即CP+PA1的最小值. 由题意可知A1C1⊥B1C1. 又A1C1⊥CC1,CC1∩B1C1=C1,CC1,B1C1⊂平面B1C1CB, 所以A1C1⊥平面B1C1CB. 因为BC1⊂平面B1C1CB,所以A1C1⊥BC1. 在平面图形中,因为BC=CC1=4,∠BCC1=90°,则∠BC1C=45°,∠A1C1C=135°,A1C1=AC=6,由余弦定理,可得A1C==2.故选B. 11.ABC　如图,连接AD1, 则EF∥AD1∥BC1, 又BC1⊥B1C, ∴EF⊥B1C,故A正确; ∵BC1∥EF,EF⊂平面EFG,BC1⊄平面EFG,∴BC1∥平面EFG,故B正确; A1C⊥EF,A1C⊥EG,EF∩EG=E,∴A1C⊥平面EFG,故C正确; ∵FG∥AB1,∴∠AB1C为异面直线FG,B1C所成角,连接AC,可得△AB1C为等边三角形,则∠AB1C=,即异面直线FG,B1C所成角的大小为,故D错误.故选ABC. 12.VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证VC⊥AB即可)　只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可. 13.　设BC=x,因为BC⊥OB,∠COB=,所以OB=x. 因为AO⊥平面α,BC⊂平面α,所以AO⊥BC. 又因为OB∩OA=O,OB,OA⊂平面AOB,所以BC⊥平面AOB. 因为AB⊂平面AOB,所以BC⊥AB. 在Rt△AOB中,∠ABO=,则AB=OB=x. 在Rt△ABC中,AC=x, 故cos∠BAC=. 14.(1)证明因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以DC⊥平面ADD1A1. 又因为AD1⊂平面ADD1A1,所以AD1⊥DC. 因为四边形ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1D. 又因为DC⊂平面A1CD,A1D⊂平面A1CD,DC∩A1D=D,所以AD1⊥平面A1CD. (2)解连接OC,由(1)可知AD1⊥平面A1CD, 所以AC在平面A1CD上的投影是OC, 所以∠ACO是直线AC与平面A1CD所成角. 设正方体的棱长为2,在直角三角形ACO中,AC=2,AO=, 所以sin∠ACO=, 所以∠ACO=30°, 所以直线AC与平面A1CD所成的角是30°. 15.(1)证明设点O为AC,BD的交点. 由AB=BC,AD=CD,得BD垂直平分线段AC. 所以O为AC的中点,BD⊥AC. 又因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD, 所以PA⊥BD. 又PA∩AC=A,所以BD⊥平面APC. (2)解连接OG.由(1)可知OD⊥平面APC,则DG在平面APC内的投影为OG,所以∠OGD是DG与平面APC所成的角.由题意得OG=PA=. 在△ABC中,因为AB=BC,∠ABC=120°,AO=CO,所以∠ABO=∠ABC=60°, 所以AO=OC=AB·sin 60°=. 在Rt△OCD中,OD==2. 在Rt△OGD中,tan∠OGD=. 所以DG与平面APC所成角的正切值为. (3)解因为PC⊥平面BGD,OG⊂平面BGD, 所以PC⊥OG. 在Rt△PAC中,PC=. 所以GC=. 从而PG=, 所以. 9 学科网（北京）股份有限公司 $