上海市市西中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

市西中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末 2026.1 一、填空题(本大题满分54分,共有12题,请在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,1-6题每题填对得4分,7-12题每题填对得5分) 1.直线的倾斜角为_. 2.不等式的解集为_. 3.椭圆的短轴长为_. 4.数列为等比数列,,公比,则_. 5.已知圆锥的底面半径为3,母线长为9,则该圆锥的体积为_. 6.已知直线与圆,则圆截直线所得的弦长 为_. 7.设,若方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围 是_. 8.已知在中,,,,则_. 9.已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,则球的表面积为_. 10.已知圆和圆内切,若直线既与圆相切,也与圆相切,则直线的斜率为_. 11.粽子是我国南北各地的节令食品,因各地风俗不同,粽子的形状和食材也会不同.有一种各面都是正三角形的正四面体形粽子,若该正四面体粽子的棱长为,则现有体积的食材,最多可以包成这种粽子_个. 12.已知椭圆的左、右焦点分别为,以为直径作圆,若椭圆与圆有四个不同的交点,且该四个交点恰为一个面积为的矩形的四个顶点,则椭圆的离心率为_. 二、选择题(本大题满分18分,共有4题,每题有且只有一个正确答案,请在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,13、14题选对得4分,15、16题选对得5分) 13.设,则“”是“是实数”的_条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分又不必要 14.如图,平行六面体中,与交点为.设,,,则与相等的向量是_. A. B. C. D. (第14题) (第15题) 15.如图是一个椭圆形拱桥,当水面在处时,在如图所示的截面里,桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面2米,水面宽6米,那么当水位上升1米时,水面宽度为_米. A. B. C. D. 16.如图,平面中两条直线和相交于点,所成角的大小为.对于平面上任意一点,若、分别是到直线和的距离,则称有序非负实数对是点的“距离坐标”.给出下列命题: 命题甲:“距离坐标”为的点有且仅有4个; 命题乙:所有满足的点在一个以O为圆心的圆上.下列结论正确的是_. A.甲、乙均为真命题 B.甲、乙均为假命题 C.甲为真命题,乙为假命题 D.甲为假命题,乙为真命题 三、解答题(本大题满分78分,共有5题,请在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤,若需添加辅助线,请用黑色字迹钢笔或水笔添画在答题纸上) 17.(本题14分)已知点,,. (1)(7分)求外接圆的一般方程. (2)(7分)为坐标原点,求直线与直线夹角的余弦值. 18.(本题14分)已知函数,. (1)(6分)若函数是偶函数,求实数的值. (2)(8分)若,将方程的所有正数解从小到大排列,构成数列,其前项和为,求的值. 19.(本题14分)如图,已知是正四棱柱,点是侧棱上的一点. (1)(6分)证明:直线直线. (2)(8分)若是中点,且直线与平面所成角的大小为,求二面角的大小. 20.(本题18分)已知椭圆的左右焦点分别为,,右顶点为,上顶点为,且是正三角形. (1)(4分)求椭圆的标准方程. (2)(7分)已知点,若对于椭圆上任意一点,均有,求实数的取值范围. (3)(7分)是否存在椭圆上两个不同的点,使得两点关于直线对称?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由. 21.(本题18分)在空间直角坐标系中,已知圆柱下底面的圆心为坐标原点,旋转轴为轴,底面半径为1,高为2,点为该圆柱侧面(含上、下底面圆周)上的点. (1)(4分)写出点在平面上的投影的坐标,并证明:. (2)(6分)已知点,,在平面上,若,求点到平面的距离的最大值. (3)(8分)已知当时,点的轨迹是一个椭圆.求该椭圆所在平面的一个法向量及该椭圆的两个焦点的坐标. 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9. ; 10.; 11. 12. 11.粽子是我国南北各地的节令食品,因各地风俗不同,粽子的形状和食材也会不同.有一种各面都是正三角形的正四面体形粽子,若该正四面体粽子的棱长为,则现有体积的食材,最多可以包成这种粽子_个. 【答案】 【解析】设为的中心,连接,如图所示: 因为,解得, 所以, 所以, 因为,所以最多可以包成这种粽子111个.故答案为:111. 二、选择题 13.C 14.B 15.A 16.C 15.如图是一个椭圆形拱桥,当水面在处时,在如图所示的截面里,桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面2米,水面宽6米,那么当水位上升1米时,水面宽度为_米. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图所示,建立平面直角坐标系, 由题意可知,椭圆的长半轴长,短半轴长,所以椭圆方程为:, 令得,,故水面的宽度为:,故选:. 三、解答题 17.(1) (2) 18.(1) (2) 19.(1)证明略 (2) 20.【答案】(1) (2) (3)不存在 21.【答案】(1) 证明略;(2); (3) 学科网(北京)股份有限公司 $