上海市大同中学2025-2026学年第一学期期末高一年级数学试卷

大同中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期末 2026.1 一、填空题(每题3分,共36分) 1.若幂函数的图像经过点,则_. 2.已知集合,,则_。 3.函数的定义域为_. 4.已知某扇形的半径为2,弧长为,则该扇形的圆心角为_rad. 5.函数的零点为_. 6.已知,则_. 7.关于的方程的解集为_. 8.若,,则角的取值集合为_. 9.已知函数,的最小值为,则_. 10.已知函数的定义域为,若是偶函数,是奇函数,则_. 11.已知,且满足等式,则的最小值为_. 12.已知,若存在实数,使得对任意,恒成立,则的最小值是_. 二、选择题(每题4分,共16分) 13.已知为第二象限角,若,则在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 14.已知函数的定义域为,那么“函数的图像关于原点对称”是“对任意,都存在,使得成立”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 15.定义在上且图像连续不断的函数,若存在实数使得对任意实数都成立,我们称是上“相关函数”。下列关于“相关函数”的描述正确的是( ) A.不存在常值函数是“相关函数” B.是“相关函数” C. “2026相关函数”至少有一个零点 D. “相关函数”至少有一个零点 16.已知函数的图像关于直线对称的图像仍旧为某一函数的图像,则的最大值为( ) A. B. C. D. 三、解答题(,共48分) 17.(本题满分分) 已知集合,集合. (1)若,求; (2)若,求实数的取值范围. 18.(本题满分分) 在中,角、、对应边为、、,其中. (1)若,且,求边长的值; (2)若,,求. 19.(本题满分分) 2025年11月21日,为期13天的第十五届全运会落下帷幕,据调查,国内某公司生产的一款全运会吉祥物的“供货价格”为“固定价格浮动价格”,其中固定价格为60元,浮动价格(单位:元).已知每件吉祥物的售价为正整数,且当每件吉祥物售价不超过100元时,销售量为10万件;当每件吉祥物售价大于100元时,售价每增加1元,销售量就减小0.2万件,总利润(售价供货价格)销售量。 (1)当每件吉祥物的售价为85元时,获得的总利润是多少万元? (2)每件吉祥物的售价为多少元时,单件吉祥物的利润最大?最大为多少元? 20.(本题满分分) (1)证明:; (2)设,证明:; (3)证明:是无理数. 21.(本题满分分) 对于定义在上的函数,记集合,. (1)若,直接写出和; (2)若,求的最小值; (3)已知函数有最小值,证明:“是偶函数”的充要条件为“对任意,都有”. 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6. ; 7.; 8.; 9.; 10.; 11. 12. 12.已知,若存在实数,使得对任意,恒成立,则的最小值是_. 【答案】 【解析】在单位圆中,利用三角函数的定义,可得的终边要落在图中阴影部分区域(其中, 所以,因为对任意都成立, 所以,即,同例,所以的最小值为. 二、选择题 13.C 14.A 15. C 16.D 15.定义在上且图像连续不断的函数,若存在实数使得对任意实数都成立,我们称是上“相关函数”。下列关于“相关函数”的描述正确的是( ) A.不存在常值函数是“相关函数” B.是“相关函数” C. “2026相关函数”至少有一个零点 D. “相关函数”至少有一个零点 【解析】 任意常值函数都是“相关函数”,而对任意都是“相关函数”,故A错 若是“相关函数”,则恒成立, 即恒成立,此时有,无解,故B错 对“2026相关函数”,有,若,则函数至少有两个零点,若,则必有,故函数在至少有一个零点,C对 对“相关函数”,同C的思路,有,不能判断 16.已知函数的图像关于直线对称的图像仍旧为某一函数的图像,则的最大值为( ) A. B. C. D. 【解析】函数在点处的切线关于直线对称的直线恰为一条垂直于轴的直线,此时切线斜率为,得 三、解答题 17.(1) (2) 18.(1) (2) 19.(1)万元 (2)145元时,利润最大为80元 20.(本题满分分) (1)证明:; (2)设,证明:; (3)证明:是无理数. 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【解析】(1)证明: (2)证明: 因为,所以 则 (3)证明:假设是有理数,设 由(1)知,由(2)知 因为 所以即 若是有理数,设(互质),代入方程, 可得,通过分析的奇偶性等,可发现无论取何值,都无法使等式成立,这与假设矛盾,所以是无理数. 21.(本题满分分) 对于定义在上的函数,记集合,. (1)若,直接写出和; (2)若,求的最小值; (3)已知函数有最小值,证明:“是偶函数”的充要条件为“对任意,都有”. 【答案】(1); (2) (3)证明见解析 【解析】(1); (2)当时,的最小值为;当时,的最小值为; 当时,的最小值为0,所以的最小值为 (3)证明:充分性:若是偶函数,则 对于任意 因为,所以, ,所以 必要性:若对任意,都有 因为函数有最小值,设最小值为,则存在使得 对于任意, 因为,所以,即, 所以是偶函数,所以"是偶函数"的充要条件为"对任意,都有" 学科网(北京)股份有限公司 $