上海交通大学附属中学2025-2026学年第一学期高三数学期末

交大附中2025-2026学年第一学期高三年级数学期末 2026.1 一、填空题(本大题满分54分,前6题每题4分,后6题每题5分,填错或不填在正确的位置一律得零分) 1.必然事件发生的概率为_. 2.函数的定义域为,若,则函数的定义域 为_. 3.已知扇形的圆心角的大小为,面积为3,则扇形弧长为_. *4.样本数据:3,3,4,4,5,6,6,7,7,8的75百分位数为_. 5.已知,则_. 6.已知随机变量,且,则展开式中各项系数之和为_. 7.已知向量,,若与的夹角不超过,则的范围 是_. 8.已知点,,动点满足,则的取值范围 为_. 9.已知数列的通项公式为,,若,则_. 10.已知为正实数,命题,命题:不存在正数,使得不等式成立,若是的充分条件,则正实数的取值范围是_. *11.从1,2,3,…,10这10个数中任取4个不同的数,则事件“存在,,使得”的概率为_. 12.设,且,则代数式的最小值为_. 二、选择题(本大题满分18分,前2题每题4分,后2题每题5分,每题有且仅有一个正确选项) 13.下列函数中,在其定义域上是奇函数又是减函数的是( ) A. B. C. D. 14.“”是“不等式在上恒成立”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 15.已知复数的模长为1,且,则( ) A. B.1 C. D. 16.设无穷正数数列,如果对任意的正整数,都存在唯一的正整数,使得,那么称为“内和数列”,并令,称为的“伴随数列”,下列四个命题: ①若为等差数列,则为内和数列. ②若为等比数列,则为内和数列 ③若内和数列为严格增数列,则其伴随数列为严格增数列. ④若内和数列的伴随数列为严格增数列,则为严格增数列. 其中真命题的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 三、解答题(本大题满分78分,解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤) 17.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 如图所示,已知多面体中,是正方形,平面,,. (1)证明:平面; (2)设,当时,求二面角的余弦值. 18.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 已知. (1)若,求函数的值域; (2)在中,角所对的边分别为,若,,求的值. *19.(本题满分14分,第1小题4分,第2小题10分) 某校为了解高三年级1200名学生对成语的掌握情况,举行了一次“成语测试”比赛.从中随机抽取120名学生,统计结果如下:获奖人数与不获奖人数之比为,其中获奖人数中,女生占,不获奖人数中,女生占. (1)现从这120名学生中随机抽取1名学生,求恰好是女生的概率; (2)对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人,参加赛后经验交流活动.若从这8人中随机选取2人. ①求在2人中有女生入选的条件下,恰好选到1名男生和1名女生的概率; ②记为入选的2人中的女生人数,求随机变量的分布及期望. 20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 我们把椭圆和称为“相似椭圆”,“相似椭圆”具有很多美妙的性质.已知,过椭圆上任意一点作椭圆的两条切线,切点分别为、,切线、与椭圆另一个交点分别为. *(1)设,证明:直线是过的椭圆的切线; (2)求证:点是线段的中点; (3)是否存在常数,使得对于椭圆上的任意一点,线段的中点都在椭圆上,若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 21.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 已知区间,定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线,点P不在函数的图像上,点A在函数的图像上.若线段PA与函数的图像有且仅有一个公共点,则称点A是“P-可见”的. (1)若,,点P的坐标为,判断点与是否是“P-可见”的; (2)已知为实数,若,,点P的坐标为,点是“P-可见”的,求m的取值范围; (3)若,点P的坐标为,证明:“函数的图像上任意一点都是‘可见’的”是“函数在上严格增或严格减”的充要条件. 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.; 11. 12. 二、选择题 13.D 14.A 15.B 16.B 15.已知复数的模长为1,且,则( ) A. B.1 C. D. 【答案】B 【解析】设 由已知可得,则, 由题意得,即,则, 即,得.故选:. 16.设无穷正数数列,如果对任意的正整数,都存在唯一的正整数,使得,那么称为“内和数列”,并令,称为的“伴随数列”,下列四个命题: ①若为等差数列,则为内和数列. ②若为等比数列,则为内和数列 ③若内和数列为严格增数列,则其伴随数列为严格增数列. ④若内和数列的伴随数列为严格增数列,则为严格增数列. 其中真命题的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】B 【解析】对于①、②:例如,可知即为等差数列也为等比数列,则, 但不存在,使得,所以不为内和数列,故命题①、②错误; 对于③:因为,对任意,可知存在 使得 则 所以,且内和数列为递增数列,可知 所以其伴随数列为递增数列,故命题③正确; 对于命题④:例如,显然是所有正整数的排列,可知为内和数 列,且的伴随数列为递增数列,但不是递增数列,故命题④错误.故选:. 三、解答题 17.(1)证明略 (2) 18.(1) (2) 19.(1) (2)① ②分布列如下, 0 1 2 20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 我们把椭圆和称为“相似椭圆”,“相似椭圆”具有很多美妙的性质.已知,过椭圆上任意一点作椭圆的两条切线,切点分别为、,切线、与椭圆另一个交点分别为. *(1)设,证明:直线是过的椭圆的切线; (2)求证:点是线段的中点; (3)是否存在常数,使得对于椭圆上的任意一点,线段的中点都在椭圆上,若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)(2)证明见解析 (3) 【解析】(1)证明:联立, 消去,得即 所以 又点满足直线方程,故直线是过的椭圆的切线. (2)证明:由(1)知,直线的方程为, 联立,消去,得 即,所以 , 故点是线段的中点. (3)假设存在常数满足题意,,则, 将点分别代入直线,, 得,所以直线的方程为, 联立,消去,得 得,设的中点为,则 所以, 又线段的中点,所以的中点为,所以, 将其代入椭圆的方程,得1,即,解得. 21.【答案】(1)是,不是 (2) (3)略 学科网(北京)股份有限公司 $