湖北省沙市中学2025-2026学年度上学期高三1月月考数学试卷

2025-2026学年度上学期2023级 1月月考数学试卷 命题人：沙市中学高三数学组 审题人：沙市中学高三数学组 考试时间：2026年1月27日 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 集合，则满足的集合的个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 15 D. 16 3. 若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或 4. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，计划沿直线开通隧道，设的长度分别为.为了测出隧道的长度，还需直接测出（ ）的值. A. 和 B. 和 C. 和 D. 三者 7. 设数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的焦点为，为上一动点，点，，则（ ） A. B. C. D. 11. 设，其中．则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 当为奇数时，为奇函数 C. 当时，的值域为 D. 当时，关于对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中存在常数项，写出一个满足条件的正整数的值______． 13. 已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与相交于另一点.当最小时，的离心率为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤． 15. 在菱形中，，以为轴将菱形翻折到菱形，使得平面平面，点为边的中点，连接. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 设． （1）求函数的单调区间； （2）若的三个顶点均在半径为的圆周上，求面积的最大值． 17. 已知函数. （1）是否存在实数，使得为函数的极小值点.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （2）若图象上总存在关于点对称的两点，求a的取值范围. 18. 在平面直角坐标系中，已知曲线，点P、Q分别为上不同的两点，． （1）求所在椭圆的离心率； （2）若在y轴上，若T到直线的距离为，求P的坐标； （3）是否存在t，使得是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由． 19. 光明中学举行校乒乓球比赛，共有人报名参加男子单打比赛，参赛选手的编号记为，并将所有选手分成A，B两组，每组各人，其中为不小于10的整数. （1）若，求编号为10和20的选手都在A组的概率； （2）若编号为和的选手都在A组，证明：在B组选手中总能找出2人，使得他们的编号之和等于； （3）A组选手与B组选手一对一比赛后共有人晋级.已知在晋级的选手中有不超过10%的选手退赛，证明：在晋级且没有退赛的选手中总能找出4人，使得在这4人中有2人的编号之和等于另外2人的编号之和. 2025-2026学年度上学期2023级 1月月考数学试卷 命题人：沙市中学高三数学组 审题人：沙市中学高三数学组 考试时间：2026年1月27日 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】（只需满足，） 【13题答案】 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤． 【15题答案】 【答案】（1）平面平面平面. 同理可得平面. 又平面， 平面平面. 平面平面. （2） 【16题答案】 【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为 （2） 【17题答案】 【答案】（1） 不存在，理由如下： 由知的定义域为，且， 假设存在实数，使得为函数的极小值点， 则，即，解得， 此时， 所以是减函数，与为函数的极小值点矛盾， 所以假设不成立，即不存在实数，使得为函数的极小值点； （2）. 【18题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）存在，. 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明：设B组选手的编号分别为， 因为编号为和的选手都在A组， 故这个数的值只能取这个值， 故它们中必有两个数相等， 因为互不相等，所以也互不相等， 故一定存在，其中，， 又因为，，故存在，使得， 即在B组选手中总能找出2人，使得他们的编号之和等于. （3）证明：设晋级且没有退赛的选手共有人，他们组成集合， 其中表示选手的编号，，且，， 假设中不存在4个元素满足其中2个元素之差等于另2个元素之差； （i）当为奇数时，考虑两组差：和 根据假设可知每组的差数都是互不相同的正整数， 故， ， 两式相加有； （ii）当为偶数时，考虑两组差：和， 根据假设可知每组的差数都是互不相同的正整数， 故， ， 两式相加有， 故若，即时， 中一定存在4个元素满足其中2个元素之差等于另2个元素之差， 也等价于其中2个元素之和等于另2个元素之和， 又因为当时，，故， 所以在晋级且没有退赛的选手中总能找出4人，使得其中2人的编号之和等于另外2人的编号之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $