精品解析：浙江省温州市2025-2026学年高二第一学期期末质量评价题库数学试题（B类）

2025学年第一学期高二期末质量评价题库 数学（B类） 本题库共4页，19小题.建议做题时间120分钟. 答题须知： 1.答题前，务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自已的姓名､题库答题卡号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在题库上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.必须保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破. 选择题部分（共58分） 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 3. 若方程表示一个圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 已知为空间中的一组基底，则下列几组向量中也可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 6. 在棱长为2的正方体中，为平面的中心，则点到直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，⋯⋯，第层有个球，则数列的前6项和为（ ） A. B. C. D. 8. 设双曲线的右焦点为，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，交另一条渐近线于点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线和圆，下列说法正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 圆上存在两个点关于对称 C. 圆心到的最大距离为2 D. 圆上至少存在三个点到的距离相等 10. 已知为等比数列，，且为递增数列，则的公比可能落在以下哪些区间（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，轴，垂足为是关于原点的对称点，的平分线交轴于点，则（ ） A. B. C. 直线与抛物线始终有两个公共点 D. 成等比数列 非选择题部分（共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 已知等比数列满足，则的前8项和为__________. 13. 椭圆的左右焦点分别为，已知点在椭圆上，满足，则__________. 14. 已知四棱锥平面，，点为中点，平面交于点，则四边形的面积为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 设等差数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）当取到最小值时，求的值. 16. 如图，在三棱柱中，为等腰直角三角形，，平面平面. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 17. 已知圆的圆心在直线上，直线与圆相切于点. （1）求圆的方程； （2）若直线与直线交于点，求的外接圆与圆的公共弦长. 18. 已知数列的前项和为，满足. （1）证明：是等比数列； （2）若，求的值； （3）若，求的前项和. 19. 已知椭圆的离心率为为椭圆的右焦点. （1）求椭圆的方程； （2）设为坐标原点，点为轴正半轴上一点，过点的直线（不与坐标轴平行）交椭圆于两点，线段的垂直平分线交于点，交轴于点. （i）若，求直线的斜率； （ii）若，求点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期高二期末质量评价题库 数学（B类） 本题库共4页，19小题.建议做题时间120分钟. 答题须知： 1.答题前，务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自已的姓名､题库答题卡号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在题库上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.必须保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破. 选择题部分（共58分） 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法的三角形法则计算即可求解. 【详解】. 故选：C. 2. 在平面直角坐标系中，已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线的方向向量为可求解. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量是. 故选：A. 3. 若方程表示一个圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的一般方程的要求列不等式求解即可. 【详解】方程表示一个圆，则，解得. 故选：D. 4. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断双曲线的焦点在轴，再由两曲线有共同的焦点得到，即可得解. 【详解】因为双曲线的焦点在轴， 又椭圆与双曲线有共同的焦点， 所以，所以. 故选：B. 5. 已知为空间中的一组基底，则下列几组向量中也可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理判断各选项中的每组向量是否共面可得结论. 【详解】对于A，因为，所以是共面向量， 故不能作为空间中的一组基底，故A不符合题意； 对于B，因为，所以是共面向量， 故不能作为空间中的一组基底，故B不符合题意； 对于C，若共面， 则存在实数，使得， 因为为空间中的一组基底，所以，无解， 所以不共面， 所以能作为空间中的一组基底，故C符合题意； 对于D，因为， 所以是共面向量， 所以不能作为空间中的一组基底，故D不符合题意. 故选：C. 6. 在棱长为2的正方体中，为平面的中心，则点到直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，应用空间向量法求解点到直线的距离. 【详解】在棱长为2的正方体中， 以点为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）. 于是，，， 所以，， 所以点到直线的距离为. 故选：B. 7. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，⋯⋯，第层有个球，则数列的前6项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出递推公式，结合累加法、等差数列前项和公式、裂项相消法进行求解即可. 【详解】由题意可知：， 这些等式相加，得， 显然适合上式，故， 所以， 所以的前6项和为. 故选：D 8. 设双曲线的右焦点为，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，交另一条渐近线于点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先确定双曲线的焦点和渐近线方程，求出垂线与渐近线的交点，再求出直线与另一条渐近线的交点，最后计算距离比值. 【详解】双曲线:，则，，，则右焦点，渐近线方程：和； 取渐近线，其斜率为，过且与它垂直的直线斜率为，方程为， 联立渐近线，解得，，即； 直线的斜率，方程为与另一条渐近线联立： ，即； ，， . 故选：C 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线和圆，下列说法正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 圆上存在两个点关于对称 C. 圆心到的最大距离为2 D. 圆上至少存在三个点到的距离相等 【答案】AC 【解析】 【分析】根据定点列式判断A，应用圆的对称性判断B，D,应用定点判断距离最大判断C. 【详解】直线，当时，，所以直线过定点，故A正确； 圆上存在两个点关于直线对称，则直线是过圆心的，不过圆心，所以圆上不存在两个点关于对称，B选项错误； 圆心到的最大距离为圆心到定点的距离，所以圆心到的最大距离为2，故C选项正确； 当时，与圆相离，圆上的点到距离为，圆上有1个点到的距离为1或3，圆上有2个点到的距离相等为，圆上不存在至少三个点到的距离相等，D选项错误； 故选：AC. 10. 已知为等比数列，，且为递增数列，则的公比可能落在以下哪些区间（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先求出，则，因为为递增数列，所以，分和 两种情况求解即可. 【详解】设等比数列的公比为 q，则， 所以， 因为为递增数列，所以，即， 因为，所以恒成立 当时，，不等式等价于，解得， 当时，，不等式等价于，解得， 综上所述，或. 故选：BD. 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，轴，垂足为是关于原点的对称点，的平分线交轴于点，则（ ） A. B. C. 直线与抛物线始终有两个公共点 D. 成等比数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线的性质，利用直线与抛物线的位置关系，结合韦达定理、焦半径公式、判别式及角平分线的几何性质分析判断选项正误． 【详解】 抛物线，焦点， 设过点的直线方程为，联立抛物线方程得， 由韦达定理得，故A正确； 轴，， 是关于原点的对称点，， 由抛物线焦半径公式可得， 又，，故B正确； 直线过，斜率，方程为， 联立抛物线方程得，， 故直线与抛物线相切，只有一个交点，故C错误； 的平分线交轴于点，则， ， ，， ，故D正确． 故选：ABD． 非选择题部分（共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 已知等比数列满足，则的前8项和为__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式求出公比和首项，再利用前项和公式求值即可. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，所以，所以， 所以， 故答案为：0 13. 椭圆的左右焦点分别为，已知点在椭圆上，满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，列出关于的方程，求解可得. 【详解】设椭圆的焦距为，则由题可得，解得，所以. 故答案为：. 14. 已知四棱锥平面，，点为中点，平面交于点，则四边形的面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量求出，，从而求出，利用三角形面积公式求得的面积和的面积，相加即可得到四边形的面积. 【详解】因为四棱锥平面，且，所以如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则，则. 设，则. 因为平面，则存在实数，使得. 所以，解得. 所以. ， 所以. ， 所以. 所以的面积为 的面积为. 所以四边形的面积为. 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 设等差数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）当取到最小值时，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用等差数列通项公式即可求解； （2）求出的表达式，再根据二次函数的性质求出的值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为， 所以， 所以， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以当时，取到最小值，为. 16. 如图，在三棱柱中，为等腰直角三角形，，平面平面. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 在中，， 由余弦定理可得， 所以，所以，所以， 又因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得，利用勾股定理的逆定理可得，结合面面垂直的性质可证结论； （2）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求得平面与平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为等腰直角三角形，且，所以， 因为平面，平面，所以，， 以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又因为，，，平面， 所以平面，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面所成的角为， 所以. 所以平面与平面所成角的余弦值为. 17. 已知圆的圆心在直线上，直线与圆相切于点. （1）求圆的方程； （2）若直线与直线交于点，求的外接圆与圆的公共弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心，根据直线与直线垂直，根据直线的斜率关系可求出的值，可得出圆心的坐标，进而可求得圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）先求出的外接圆方程，再求出两圆公共弦所在直线的方程，结合几何法求弦长即可求解. 【小问1详解】 因为圆心在直线上，设圆心， 则与直线垂直，且直线的斜率为1， 则，得，解得， 所以圆心的坐标为，则圆的半径为， 所以，圆的标准方程为. 【小问2详解】 由，解得，所以， 得，的中点为. 因为， 所以的外接圆是以为圆心，以为半径的圆， 所以的外接圆方程为， 减去圆的标准方程：， 得，即两圆公共弦所在直线的方程为， 则到直线的距离为， 所以，得两圆的公共弦长为. 18. 已知数列的前项和为，满足. （1）证明：是等比数列； （2）若，求的值； （3）若，求的前项和. 【答案】（1） ，当时，， 即，解得：， 时，，， 两式相减：，即， ，即， 数列是首项为，公比为的等比数列. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由数列的递推公式证明即可. （2）由等比数列的前项和求出，由是首项为，公比为的等比数列，求出，计算即可. （3）由，得，两边同时乘以得：，两式相减，再利用错位相减法计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 数列是首项为，公比为的等比数列， 是首项为，公比为的等比数列， ， ， ， 化简得：， 解得：. 【小问3详解】 数列是首项为，公比为的等比数列， ，即， ，， 的前项和， ， 两边同时乘以得：， ， 整理得： ，即， ，即. 19. 已知椭圆的离心率为为椭圆的右焦点. （1）求椭圆的方程； （2）设为坐标原点，点为轴正半轴上一点，过点的直线（不与坐标轴平行）交椭圆于两点，线段的垂直平分线交于点，交轴于点. （i）若，求直线的斜率； （ii）若，求点的坐标. 【答案】（1） （2）（i）,（ii） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的几何性质求解； （2）（i）点,则直线的方程为: ,即,与椭圆方程联立，求出点的坐标为,即可求解；（ii）设点,则直线的方程为：，，与椭圆方程联立，求出点的坐标为，由直线的方程得点，由，得，即可求解． 【小问1详解】 由椭圆的右焦点为,得,而离心率为,解得, 则, 得椭圆的方程为: . 【小问2详解】 （i）设点,则直线的方程为: ,即, 由,消去得,, 由,设, 得, 由点为的中点,得点的纵坐标为: , 得点的横坐标为:, 得点的坐标为, 则直线的斜率为: . （ii）设点,则直线的方程为：，， 由,消去得,, 由,设, 得, 由点为的中点,得点的纵坐标为: , 得点的横坐标为:, 得点的坐标为, 而直线的方程的斜率为：， 因为，所以直线的斜率为： ， 得直线的方程为：， 令，得，则点， 得， ， 由， 得， 解得， 故点的坐标为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $