精品解析：甘肃省庆阳市环县第一中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

高二级第二次数学月考试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列选项中，焦点在x轴上，长轴长为12的椭圆方程（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 直线过点，且与以为端点的线段总有公共点，则直线斜率的取值范围是 A. B. C. D. 4. 数列的通项为，且为单调递增数列，则k的取值范围是（ ） A B. C. D. 5. 已知点到点的距离为5，则实数的值为（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 无解 6. 已知圆截直线所得弦长为4，则实数的值是（ ) A. －3 B. －2 C. －1 D. －4 7. 设直线，，则是的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知双曲线，以其右焦点为圆心，a为半径的圆与双曲线的两条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知双曲线，则（ ） A. 渐近线方程为 B. 离心率为 C. 顶点坐标为 D. 焦点坐标为 10. 已知直线与圆，则下列正确是（ ） A. 直线l的倾斜角为 B. C. 当时，l与C相切 D. 当时，l与C相离 11. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 数列是递减数列 B. 当时，最大 C. 使得成立的最小自然数 D. 中的最小项为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列的前项和，则的通项公式____________. 13. 已知是椭圆左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为__________. 14. 已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若恰为弦的中点，则椭圆的离心率为________________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 根据下列条件求对应方程： （1）已知椭圆两个焦点分别为，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为，求椭圆的标准方程； （2）已知双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦点在轴上，求双曲线的标准方程； （3）求经过与的交点，且垂直于轴的直线方程． 16. 已知圆C的圆心为，且圆C经过点． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长； （3）求过点且与圆C相切的直线方程． 17. 如图，已知斜率为－2的直线经过椭圆C：的左焦点，与椭圆相交于A，B两点，求： （1）线段的中点M的坐标； （2）值． 18. 已知数列的前n项和为，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 19. 已知椭圆的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． （1）求的标准方程； （2）若的斜率为1，且，求的值； （3）是否存在，使恒为定值？若存在，求出与的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二级第二次数学月考试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列选项中，焦点在x轴上，长轴长为12的椭圆方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由所给方程特征，逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，方程表示焦点在x轴上的双曲线，故A不符合题意； 对于B，方程表示焦点在y轴上的双曲线，故B不符合题意； 对于C，因为，所以方程表示焦点在y轴上的椭圆，故C不符合题意； 对于D，因为，所以方程表示焦点在x轴上的椭圆， 且，解得，所以该椭圆的长轴长为12，故D符合题意. 故选：D. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线方程求出斜率，根据斜率可得倾斜角. 【详解】将直线化为，所以直线的斜率为，即， 又，所以. 故选：A 3. 直线过点，且与以为端点的线段总有公共点，则直线斜率的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出 ,判断当斜率不存在时是否满足题意，满足两数之外；不满足两数之间． 【详解】，当斜率不存在时满足题意，即 【点睛】本题主要考查斜率公式的应用，属于基础题. 4. 数列的通项为，且为单调递增数列，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的单调性建立不等式，结合一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由数列是递增的，则对恒成立， 即， 整理可得，对恒成立， 因函数在时单调递增，则得. 故选：B 5. 已知点到点的距离为5，则实数的值为（ ） A 5 B. C. 5或 D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点间的距离公式求解即可. 【详解】因为点到点的距离为5，所以， 所以，所以，解得或. 故选：C. 6. 已知圆截直线所得弦长为4，则实数的值是（ ) A. －3 B. －2 C. －1 D. －4 【答案】B 【解析】 【详解】圆心为，圆心到直线距离为，故圆的半径为，即，故选. 7. 设直线，，则是的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合直线垂直的性质判断即可. 【详解】当时，直线，， 此时，则，所以，故充分性成立； 当时，，解得或，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：C. 8. 已知双曲线，以其右焦点为圆心，a为半径的圆与双曲线的两条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆与渐近线相切，可知圆心到渐近线的距离等于半径，据此建立方程求解即可． 【详解】由题意知圆心，双曲线的渐近线为， 不妨设其中一条为，因为圆与渐近线相切， 圆心到渐近线的距离， 即 即离心率为， 故选：B． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知双曲线，则（ ） A. 渐近线方程为 B. 离心率为 C. 顶点坐标为 D. 焦点坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据双曲线的标准方程，判断焦点在轴上，且，，，然后根据渐近线公式，判断选项；根据离心率公式，判断选项；根据顶点坐标公式，判断选项；根据焦点坐标公式，判断选项. 【详解】由题意得：双曲线焦点在轴上，且，，，所以，，； 对于选项：根据渐近线公式，所以渐近线方程为，选项正确； 对于选项：根据离心率公式，所以离心率为：，选项错误； 对于选项：根据顶点坐标公式，所以顶点坐标为，选项正确； 对于选项：根据焦点坐标公式，所以焦点坐标为，选项正确. 故选：. 10. 已知直线与圆，则下列正确的是（ ） A. 直线l的倾斜角为 B. C. 当时，l与C相切 D. 当时，l与C相离 【答案】ABD 【解析】 【分析】求得直线斜率，可得倾斜角判断A；由圆C可得，求解判断B；求得圆心到直线的距离可判断CD. 【详解】对于A，由直线，得直线的斜率为1，所以直线l的倾斜角为，故A正确； 对于B，由圆，可得， 所以，解得，所以，故B正确； 对于CD，当时，圆的方程为， 所以圆心，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线l与圆C相离，故C错误，D正确. 故选：ABD. 11. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 数列是递减数列 B. 当时，最大 C. 使得成立的最小自然数 D. 中的最小项为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质，结合已知条件，分析数列的单调性、前项和的最值、时的最小值以及的最小项即可. 【详解】对于：因为，所以， 因为，所以，所以， 且0，所以数列是递减的等差数列， 且， 则当时，最大，故正确； 对于C:由上述分析可知，当时，递减， 且， 所以使得成立的最小自然数，故错误； 对于：因为当时，，所以； 当时，，，所以； 当时，，所以； 且， 则有， 所以，即， 所以中的最小项为，故D错误. 故选：AB. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列的前项和，则的通项公式____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用递推关系计算可得，检验时不适合上式，由此可得分段式的通项公式. 【详解】由题意，时，， 时，不适合上式， 所以. 故答案为： 13. 已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】易知点在椭圆外，根据椭圆的定义可知，即可得解. 【详解】 如图所示，设椭圆的右焦点为， 由椭圆， 得，，，则， ， 当且仅当在的延长线上时，等号成立， 且， 即的最大值为. 故答案为：13 14. 已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若恰为弦的中点，则椭圆的离心率为________________. 【答案】 【解析】 【分析】设，代入椭圆方程相减，利用中点坐标求得关系，从而可得离心率． 【详解】解：设，， 是线段的中点， ，两式相减可得， 整理得，即， ∵弦斜率为 ，即 ． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 根据下列条件求对应方程： （1）已知椭圆的两个焦点分别为，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为，求椭圆的标准方程； （2）已知双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦点在轴上，求双曲线的标准方程； （3）求经过与的交点，且垂直于轴的直线方程． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）据题意确定椭圆的基本参数，计算，写出椭圆标准方程； （2）据题意确定双曲线的基本参数，写出双曲线标准方程； （3）求两直线交点坐标，确定垂直于轴的直线方程. 【小问1详解】 已知椭圆焦点，则焦点在轴上，； 椭圆上一点到两焦点距离之和为，即，得， 由，代入，得， 椭圆标准方程为； 【小问2详解】 已知实轴长为，即，得；虚轴长为，即，得；焦点在轴上， 双曲线标准方程为，即； 【小问3详解】 联立，将两式相加消去： ，解得， 将代入，解得， 交点坐标为， 垂直于轴的直线方程为常数，交点横坐标为，故直线方程为. 16. 已知圆C的圆心为，且圆C经过点． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长； （3）求过点且与圆C相切直线方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求得圆的方程； （2）利用圆中的弦长公式求解即可； （3）分过点的直线斜率是否存在两种情况讨论，存在时，设过与圆相切的直线方程为，利用点到直线的距离公式求解即可. 【小问1详解】 因为圆C的圆心为，所以设圆的标准方程为：， 又圆C经过点，所以，解得， 所以圆C的标准方程为； 【小问2详解】 圆心到直线的距离， 弦长； 【小问3详解】 因为，所以在圆外； 当过点的直线斜率存在时，设过与圆相切的直线方程为， 即， 因为直线与圆相切，所以，整理得， 两边平方得，解得， 所以切线方程为或； 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，过圆心显然与圆不相切； 综上所述：过点且与圆C相切的直线方程为或． 17. 如图，已知斜率为－2的直线经过椭圆C：的左焦点，与椭圆相交于A，B两点，求： （1）线段的中点M的坐标； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得直线的方程为,联立直线与椭圆方程可得,，再求中点坐标即可; （2）代入求解即可. 【小问1详解】 由题意知椭圆的左焦点的坐标为,直线的方程为, 联立,消去,得, 设,,得,, 设线段的中点M的坐标为，, 点M的坐标为. 【小问2详解】 . 18. 已知数列的前n项和为，且成等比数列． （1）求通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三项成等比列式计算得出，再结合计算求出通项公式； （2）结合（1）应用裂项相消法计算求解. 【小问1详解】 由成等比数列，得，所以． 当时，，而满足上式， 所以的通项公式是． 【小问2详解】 由（1）知， 则 则 19. 已知椭圆的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． （1）求的标准方程； （2）若的斜率为1，且，求的值； （3）是否存在，使恒为定值？若存在，求出与的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，，． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆长轴长和离心率概念，即可列式求解； （2）利用联立方程组，结合韦达定理和向量，即可求值； （3）利用联立方程组，结合韦达定理来表达，通过定值思想可求得参数. 【小问1详解】 由题意知，，解得，， 所以的标准方程为． 【小问2详解】 由的斜率为1，则直线的方程为． 设，， 联立，消去得，， 其中，解得， 所以，， 所以， 因为，所以，解得． 【小问3详解】 ①当直线的斜率不为0时，设其方程为， 联立，消去得，， 其中， 所以，， 所以 ． 当，即时，，即； ②当直线的斜率为0时，不妨取，， 若，则， 此时 ，即． 综上，存在，使得恒为定值，即，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $