精品解析：江苏省邗江中学2025-2026学年高二上学期期末模拟考试数学试题

2025-2026学年度江苏省邗江中学高二上学期期末模拟考试 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的 1. 纵截距为且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜截式求得正确答案. 【详解】倾斜角为，斜率为， 纵截距为，所以直线方程为. 故选：B 2. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数除法运算可求得复数，结合复数的模长、虚部、共轭复数和几何意义依次判断各个选项即可. 【详解】 所以，A错误； 因为，所以虚部为，B错误； ，C错误； 在复平面内对应的点为在第四象限，故D正确. 故选：D 3. 已知抛物线y2＝2px（p＞0）上的点到准线的最小距离为，则抛物线的焦点坐标为（　　） A. （） B. （0，） C. （2） D. （0，2） 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线上的点到准线的最小距离即为顶点到焦点的距离，进而列方程求解即可. 【详解】抛物线y2＝2px（p＞0）上的点到准线的最小距离为， 就是顶点到焦点的距离是，即， 则抛物线的焦点坐标为（，0）． 故选A． 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和准线方程，属于基础题． 4. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可得出的值，利用切点在切线上可求得的值，即可求得的值. 【详解】直线的斜率为，由导数的几何意义可知， 因为点在直线上，则，故， 因此，. 故选：C. 5. 为椭圆上一点，为该椭圆的两个焦点，若，则=（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理和椭圆的定义列方程组，解方程组求得，进而求得两个向量的数量积. 【详解】根据椭圆方程可知.设，由椭圆定义和余弦定理得，解得，故.故选D. 【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查余弦定理解三角形，考查向量的数量积运算，属于中档题. 6. 已知等比数列的前项和为，，且，则（ ） A. 120 B. 40 C. 48 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，结合已知条件列出方程求解、，验证，利用等比数列求和公式即可求解. 【详解】因为数列为等比数列，设数列的公比为， 若，则， 此时，由已知，即， 解得，不成立，所以； 因为，， 则有：，解得，， 所以. 故选：B 7. 过坐标轴上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，再根据直线与圆相切的性质得到，解不等式即可. 【详解】由图知： 因为为圆的切线，所以. 在中，，， . 又因为，所以，为中点. 因为， 所以 整理得：.即或. 故选：C 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系中的切线问题，数形结合为解决本题的关键，属于中档题. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，且，，则当时，双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，由双曲线的定义和可得，，从而可得，进而可求出离心率的取值范围 【详解】由题意可设，则，则由双曲线的定义得①. 由得，即②. 由①②得. 易知函数在上单调递增，则当时，， 所以，即， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：此题考查求双曲线离心率的范围，考查计算能力，解题的关键是设，则，由双曲线的定义和可得，，从而可得到离心率的关系，属于中档题 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 若复数z满足（其中为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. z在复平面内对应的点位于第四象限 B. （是z的共轭复数） C. D. 若，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先化简得出z，再逐一判断选项即可． 【详解】， 在复平面内所z对应的点坐标为，在第四象限，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； 对于D，，则表示复数的点P的集合是以为圆心，2为半径的圆， 而，即为点到点之间的距离， 所以的最大值为，故D正确． 故选：ABD. 10. 已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若直线的斜率为，则 B. 的最小值为 C. 若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为 D. 若点，则周长的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】首先求出抛物线的解析式，设出MN坐标联立进行求解当时，，进而判断选项A；再根据韦达定理和不等式求最小值后进行判断选项B；画出大致图像过点M作准线的垂线，垂足为，交y轴于，结合抛物线定义判断选项C；过G作GH垂直于准线，垂足为H，结合的周长为进而进行判断选项D即可． 【详解】解：由题意得点在抛物线C：上， 所以，解得，所以C：，则， 设直线：，与联立得， 设，，所以，， 所以， 当时，，故A项错误； ，则， 当且仅当，时等号成立， 故B项正确； 如图，过点M作准线的垂线，垂足为，交y轴于， 取MF的中点为D，过点D作y轴的垂线， 垂足为，则，是梯形的中位线， 由抛物线的定义可得， 所以， 所以以MF为直径的圆与y轴相切， 所以为圆与y轴的切点，所以点D的纵坐标为， 又D为MF的中点，所以点M的纵坐标为， 又点M在抛物线上，所以点M的横坐标为， 故C项正确； 过G作GH垂直于准线，垂足为H， 所以的周长为， 当且仅当点M的坐标为时取等号， 故D项错误． 故选:BC． 11. 已知有穷数列各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的序号构成新数列，称数列为数列的序数列．例如数列，，，满足，则其序数列为1，3，2．若有穷数列满足，（n为正整数），且数列的序数列单调递减，数列的序数列单调递增，则下列正确的是（ ） A. 数列单调递增 B. 数列单调递增 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据新定义直接判断AB，根据数列单调性可得，，据此利用累加法求通项判断D，并项求和结合等比数列求和公式判断C. 【详解】由题意，数列的序数列单调递减，故数列单调递增，故A正确； 由数列的序数列单调递增，故数列单调递减，故B错误； 因为数列是单调递增，所以，即， 因为，所以，因此， 所以， 由数列单调递减，同理可得，， 所以 ，也符合该式，故D正确； ，故C正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：理解新定义数列的序数列是判断数列单调性的关键，再由单调性及不等式的性质分别得出，是解决问题的第二个关键点，利用累加法求通项公式，利用并项求和是解决本题的第三个关键点. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线l与其平行直线之间的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】设直线l的方程为，由点到直线距离公式和平行直线距离公式由条件列方程求即可. 【详解】根据题意，设直线l的方程为， 因为直线l与直线的距离和原点到直线l的距离相等， 所以，解得， 故直线l的方程为． 故答案为：. 13. 在处切线的斜率为______. 【答案】 【解析】 【分析】求导函数，可求，根据导数的几何意义分析求解即可. 【详解】因为，则， 则，， 即切点坐标为，切线斜率. 故答案为：. 14. 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.已知椭圆上点处的法线交轴于点，且，入射角，则的离心率为_______ 【答案】## 【解析】 【分析】由角平分线性质得到，再结合余弦定理及椭圆的定义即可求解. 【详解】   由可得：， 由角平分线的性质可得：， 所以，设， 由题意，因为，所以， 由余弦定理可得：， 解得：， 又， 所以， 得：， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求曲线在处切线方程； （2）若直线过坐标原点且与曲线相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式写切线方程即可； （2）设切点坐标，然后利用导数的几何意义得到斜率，进而得到直线的方程. 【小问1详解】 ，所以，所以，， 所以切线方程为：，整理得. 【小问2详解】 ，所以，设切点坐标为，所以切线斜率为， 则切线方程为：， 又因为切线过原点，所以将代入切线方程得，解得， 所以切线方程为：，整理得. 16. 已知为等差数列，前项和为是首项为2的等比数列，且公比大于. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式可计算得到公比的值，再根据等差数列的通项公式和求和公式可列出方程组，解出首项和公差的值，即可求得和的通项公式； （2）先根据第（1）题的结论得到数列的通项公式，然后运用错位相减法求出前项和. 【小问1详解】 由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且； 故，解得，因为， 则，， 由题意，得，解得． 所以，． 【小问2详解】 由（1）知，，则； 设其前项和为， 所以，① ，② ①-②，得 ． 所以． 17. 已知圆，直线过点. （1）若直线与轴、轴的截距之和为0，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程； （3）若直线与圆交于，两点，点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】（1）或. （2）或. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据直线的截距式方程计算即可求解； （2）根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式计算求出直线的斜率，即可求解； （3）易知直线的斜率存在.设：，，.联立圆的方程，根据韦达定理表示，结合两点表示斜率公式化简计算即可证明. 【小问1详解】 当直线经过原点时，直线的方程为； 当直线不经过原点时，设直线的方程为， 则解得所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 圆的标准方程为，其圆心为，半径为1. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由，得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 【小问3详解】 因为直线与圆交于，两点，所以直线的斜率存在. 设直线的方程为，，. 由得， 则，. 由，得. 因为 ， 即为定值. 18. 已知数列的前n项和为，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的前n项和； （3）是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合及等比数列定义推理即得. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和即可. （3）由（1）求出，由已知建立等式，验证计算出，再分析求解即可. 【小问1详解】 ，，当时，， 两式相减得，即， 则有，当时，，则，即， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得，，则，数列是等差数列， 于是，解得，则， 所以的前项和 . 【小问3详解】 由（1）知，， 由成等差数列，得，整理得， 由，得，又，，不等式成立， 因此，即，令，则, 从而，显然，即， 所以存在，使得成等差数列. 【点睛】易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点和右顶点分别为，. （1）求的方程. （2）已知过点的直线与交于两点，过点且与垂直的直线与交于两点，在轴的上方，分别为的中点，直线与交于点. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 【答案】（1）； （2）（i）证明：由（1）知，，由题意知，直线与坐标轴不垂直， 设，直线， 将代入，整理得， ， ， ，同理可得， ， ∴直线，即， ∴直线过定点. （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据已知求出椭圆参数值，即可得方程； （2）（i）设，直线，联立椭圆，应用韦达定理及已知求出的坐标，进而写出直线并确定其定点；（ii）连接，设为线段的中点，直线分别与相交于点，连接，进而得到，应用弦长公式、三角形面积公式列方程，再由基本不等式求最小值. 【小问1详解】 设的半焦距为，由题意知， 由椭圆的几何性质知，， ，则， ， ，故的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）如图，连接，设为线段的中点，直线分别与相交于点，连接. 分别为的中点， ，则， ，故. 由（i）知，， 同理可得，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度江苏省邗江中学高二上学期期末模拟考试 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的 1. 纵截距为且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第四象限 3. 已知抛物线y2＝2px（p＞0）上的点到准线的最小距离为，则抛物线的焦点坐标为（　　） A. （） B. （0，） C. （2） D. （0，2） 4. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 为椭圆上一点，为该椭圆的两个焦点，若，则=（ ） A. 3 B. C. D. 2 6. 已知等比数列的前项和为，，且，则（ ） A. 120 B. 40 C. 48 D. 60 7. 过坐标轴上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，且，，则当时，双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 若复数z满足（其中为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. z在复平面内对应的点位于第四象限 B. （是z的共轭复数） C. D. 若，则的最大值为 10. 已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若直线的斜率为，则 B. 的最小值为 C. 若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为 D. 若点，则周长的最小值为 11. 已知有穷数列各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的序号构成新数列，称数列为数列的序数列．例如数列，，，满足，则其序数列为1，3，2．若有穷数列满足，（n为正整数），且数列的序数列单调递减，数列的序数列单调递增，则下列正确的是（ ） A. 数列单调递增 B. 数列单调递增 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线l与其平行直线之间的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是______． 13. 在处切线的斜率为______. 14. 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.已知椭圆上点处的法线交轴于点，且，入射角，则的离心率为_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求曲线在处切线方程； （2）若直线过坐标原点且与曲线相切，求直线的方程. 16. 已知为等差数列，前项和为是首项为2的等比数列，且公比大于. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 已知圆，直线过点. （1）若直线与轴、轴的截距之和为0，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程； （3）若直线与圆交于，两点，点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 18. 已知数列的前n项和为，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的前n项和； （3）是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由. 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点和右顶点分别为，. （1）求的方程. （2）已知过点的直线与交于两点，过点且与垂直的直线与交于两点，在轴的上方，分别为的中点，直线与交于点. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $