精品解析：山东新泰中学2025-2026学年高二上学期期末仿真模拟测试数学试题

新泰中学2024级高二上学期期末仿真模拟测试 数学试题 2026.1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义即可求解. 【详解】由题意有：， 故选：D. 2. 已知双曲线经过点，则的虚轴长为（　　） A. 4 B. 2 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由点在双曲线上代入解得，确定双曲线的方程即可得到虚轴长为. 【详解】由点在双曲线上，得，解得， 即双曲线方程为，则的虚轴长为． 故选：A． 3. 已知等差数列中，，公差，则与的等比中项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列求出与，进而求出其等比中项. 【详解】等差数列中，由，公差，得， 所以与的等比中项为. 故选：D 4. 如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面下降后，水面的宽度为（　　） A. 6 B. 8 C. 4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】以拱顶为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，根据条件求出抛物线方程， 再求出水面下降后，水面的宽度. 【详解】以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为， 依题意可知抛物线过点，所以，解得， 所以抛物线方程为， 所以当时，， 解得， 所以当水面下降后，水面的宽度为． 故选：B． 5. 圆，圆，则圆与（ ） A. 相离 B. 有3条公切线 C. 关于直线对称 D. 公共弦所在直线方程为 【答案】C 【解析】 【分析】求出两圆的圆心及半径、两圆的圆心距离判断ABD；求出线段的中垂线方程判断C. 【详解】由题意有：圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，， 圆与圆相交，有2条公切线，故AB错误； 对于D，两圆方程相减得公共弦所在直线方程，故D错误； 对于C，线段的中垂线的斜率为，过线段的中点，该中垂线方程为， 又圆与圆是等圆，它们关于线段的中垂线对称，故C正确. 故选：C. 6. 在平面直角坐标系中，已知曲线C：，若点P为曲线C上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】对的位置进行分类讨论，再利用换元法结合余弦函数性质求解最值即可. 【详解】设，则， 当点P位于坐标原点时，； 当点P异于坐标原点时，可得， 而，，且， 故令，，且， 则， 由余弦函数性质得，故的最大值为，故B正确. 故选：B． 7. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 8. 已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设出相关点的坐标，然后根据向量关系以及椭圆的定义和性质来求解离心率. 【详解】设，，，，，， 又，，解得，， 此时，，，，解得， 又点在上，，，， 又，即，解得，， 即. 故选： 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的图象确定在，处切线的斜率正负，结合导数的几何意义得导数值的正负，逐项判断即可得结论. 【详解】由的图象在点处的切线斜率小于0，即，故A正确； 表示的图象在点处的切线斜率，故，故B错误； 由图可知，，故，故C正确； 直线的斜率小于的图象在点处的切线斜率， 即，所以，D错误. 故选：AC 10. 下列给出的命题中正确的有（ ） A. 已知两个向量，且，则 B. 三棱锥中，点为平面内的一点，且，则 C. 已知，则在上的投影向量坐标为 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用空间向量共线的充要条件即可判断；对于B，根据空间向量共面的充要条件判断；对于C，利用投影向量的定义计算判断；对于D，根据空间的基底概念即可判断. 【详解】对于A，由可得，解得，故A正确； 对于B，点为平面内的一点，且， 由共面向量基本定理，可得，即，故B正确； 对于C，因， 则在上的投影向量为，故C正确； 对于D，是空间的一组基底，而， 即是共面向量， 故不是空间的一组基底，即D错误. 故选：ABC. 11. 设等比数列的公比为，前项积为，且满足条件，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 的值是中最大的 D. 使成立的最大自然数等于4044 【答案】AD 【解析】 【分析】先由条件分类讨论得到，，再利用等比数列的性质即可求解. 【详解】，，， 同号，且或， 若，则不同号； 若，则，不满足要求； 故可得，，故A正确； ，且，可得，故B错； ，又，且最大，故C错； ，且为等比数列， 由等比数列的性质可得，， 使成立的最大自然数等于4044，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于推得，进而得到，从而得解. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 如图，已知矩形中，，，现将沿对角线折成二面角，使，则异面直线和所成角为___________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法计算即可. 【详解】取中点M，连接 ，，， 取中点H，，，. 分别以M为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则，，，， 则，， 故， 又因为两异面直线的夹角范围是， 故异面直线和所成角为. 故答案为：. 13. 已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意得，再结合即可求解. 【详解】渐近线方程为， ∵点F到渐近线的距离为，∴， 即，所以． 故答案为：. 14. 函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围______. 【答案】 【解析】 【分析】设切点坐标为，表示出切线方程，根据切线过点得关于的一元二次方程，由方程有两个不相等的实根求解即可. 【详解】设切点坐标为，因为， 所以切线的斜率， 所以切线方程是， 因为切线过点， 所以，即， 因为过点可以作曲线的两条切线， 所以方程有两个不同的根， 所以， 解得或. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，直线过点. （1）当直线与圆相切时，求直线的斜率； （2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可；（2）建立点和点之间的关系式，再利用点的坐标满足的关系式得到点的坐标满足的条件，即可求出. 【小问1详解】 已知的圆心是，半径是， 设直线斜率为 则直线方程是，即， 则圆心到直线距离为， 解得直线的斜率. 【小问2详解】 设点则， 由点是的中点得， 所以① 因为在圆上运动，所以② ①代入②得， 化简得点的轨迹方程是. 16. 京都议定书正式生效后，全球碳交易市场出现了爆炸式的增长．某林业公司种植速生林木参与碳交易，到2022年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%，为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子．设从2023年开始，第年年底的速生林木保有量为万立方米． （1）求，请写出一个递推公式表示与之间的关系； （2）是否存在实数，使得数列为等比数列，如果存在求出实数； （3）该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2022年底的200万立方米翻两番，则估计至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求？ （参考数据：，，，） 【答案】（1）（万立方米），. （2） 若存在实数，使得数列为等比数列， 则存在非零常数，使得，整理得到， 而，故即. 当，则， 而，故即， 故为等比数列，故存在常数，使得为等比数列. （3）至少到年底才能达到公司速生林木保有量的规划要求. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得及递推关系； （2）假设存在，则有，据（1）中的递推关系可求，再证明此时为等比数列； （3）令，根据题设中给出的数据可得至少到年底才能达到公司速生林木保有量的规划要求. 【小问1详解】 （万立方米）， 又即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可得是首项为，公比为的等比数列， 故即，此时为递增数列. 令，则， 当时，， 当时，， 故至少到年才能达到公司速生林木保有量的规划要求. 17. 如图，在四棱锥中，，点Q为棱上一点． （1）证明：平面； （2）当点Q为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当二面角的余弦值为时，求． 【答案】（1）证明如下： 在四棱锥中，由， 得，，则， 又，且， ∴. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得. （2）由（1）的信息建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用公式求解. （3）设，分别求出平面和平面的法向量和，利用公式，求点的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，由为棱的中点，得， ，设平面的法向量， 则，取，得，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）知， 设，则， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量为，由，令，得， 由二面角的余弦值为，得， 即，整理得，解得， 所以． 18. 记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【小问1详解】 当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 , 所以 故 所以 ， . 19. 已知椭圆C：的离心率为，其四个顶点构成的四边形面积为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若P是C上异于A，B的一点，不垂直于x轴的直线l交椭圆C于M，N两点， ①证明：为定值； ②的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） ①由题意可得，， 设，可得， 即，则， 因为，， 则； ②是， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的四个顶点构成的四边形面积为，结合圆心率即可求解； （2）①求出点和的坐标，设，代入椭圆的方程，求出，根据，即可求解；②设直线，，，联立直线和椭圆的方程写出韦达定理，根据求出和的关系式，根据求出，求出点到直线l的距离，求出的面积. 【小问1详解】 由题意可知椭圆的四个顶点构成的四边形面积为，且， 所以，， 椭圆的方程是； 【小问2详解】 ①略 ②易知直线l的斜率存在，设直线，，， 联立直线和，可得， 可得，， ， 由， 可得，由弦长公式可得 ， 点到直线l的距离为， 所以， 综上可知，的面积为定值 【点睛】关键点点睛：本题（2）①关键在于根据，求出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新泰中学2024级高二上学期期末仿真模拟测试 数学试题 2026.1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 已知双曲线经过点，则的虚轴长为（　　） A. 4 B. 2 C. D. 2 3. 已知等差数列中，，公差，则与的等比中项是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面下降后，水面的宽度为（　　） A. 6 B. 8 C. 4 D. 4 5. 圆，圆，则圆与（ ） A. 相离 B. 有3条公切线 C. 关于直线对称 D. 公共弦所在直线方程为 6. 在平面直角坐标系中，已知曲线C：，若点P为曲线C上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列给出的命题中正确的有（ ） A. 已知两个向量，且，则 B. 三棱锥中，点为平面内的一点，且，则 C. 已知，则在上的投影向量坐标为 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 11. 设等比数列的公比为，前项积为，且满足条件，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 的值是中最大的 D. 使成立的最大自然数等于4044 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 如图，已知矩形中，，，现将沿对角线折成二面角，使，则异面直线和所成角为___________. 13. 已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为__________． 14. 函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，直线过点. （1）当直线与圆相切时，求直线的斜率； （2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 16. 京都议定书正式生效后，全球碳交易市场出现了爆炸式的增长．某林业公司种植速生林木参与碳交易，到2022年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%，为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子．设从2023年开始，第年年底的速生林木保有量为万立方米． （1）求，请写出一个递推公式表示与之间的关系； （2）是否存在实数，使得数列为等比数列，如果存在求出实数； （3）该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2022年底的200万立方米翻两番，则估计至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求？ （参考数据：，，，） 17. 如图，在四棱锥中，，点Q为棱上一点． （1）证明：平面； （2）当点Q为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当二面角的余弦值为时，求． 18. 记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 19. 已知椭圆C：的离心率为，其四个顶点构成的四边形面积为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若P是C上异于A，B的一点，不垂直于x轴的直线l交椭圆C于M，N两点， ①证明：为定值； ②的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $