精品解析：河北秦皇岛市卢龙县2025-2026学年度第一学期期末质量检测 九年级数学试卷

2025—2026学年度第一学期期末质量检测九年级数学试卷 一、精心选一选，慧眼识金！（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的） 1. 对于一组数据﹣1、4、﹣1、2下列结论不正确的是（　　） A. 平均数是1 B. 众数是-1 C. 中位数是0.5 D. 方差是3.5 【答案】D 【解析】 【详解】这组数据的平均数是：（-1-1+4+2）÷4=1； -1出现了2次，出现的次数最多，则众数是-1； 把这组数据从小到大排列为：-1，-1，2，4，最中间的数是第2、3个数的平均数，则中位数是； 这组数据的方差是： [（-1-1）2+（-1-1）2+（4-1）2+（2-1）2]=4.5； 故选D． 2. 已知是锐角，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求角的余弦值，可根据题意作出直角三角形，根据三角函数的定义即可求解． 【详解】解：如图所示： ∵， 设， 则， ∴ 故选：B 3. 已知的半径为2，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】比较圆的半径与点P到圆心的距离的大小关系，判断点与的位置关系． 【详解】解：∵， ∴圆的半径大于点P到圆心的距离，则点P与的位置关系是点在内． 故选：A． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握判断点与圆位置关系的方法． 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质． 根据比例的基本性质将变形为，即可得到的值． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 5. 如图，给出下列条件：①∠ADC=∠ACB，②∠B=∠ACD，③，④，其中不能判定∽的条件为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答． 【详解】①∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ②∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ③可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定； ④中∠A不是已知的比例线段的夹角，不能判定两个三角形相似； 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，理解和掌握相似三角形判定定理是解题的关键． 6. 如图，已知是半圆O的直径，弦相交于点P，若的度数之和为120°，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的概念．连接，得到是直角，再利用两三角形相似面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：连接，由是直径得，． ∵的度数之和为120°， ∴， ∴， ， ， ， ． 故选：C． 7. 如图，点A在反比例函数第一象限内的图象上，点B在x轴的正半轴上，OA＝AB，△AOB的面积为2，则a的值为（　　） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，设点的坐标为，则，先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据三角形的面积公式可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 设点的坐标为，则， ， ， 的面积为2， ， 整理得：， 将点代入反比例函数得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了求反比例函数的系数、等腰三角形的三线合一，熟练掌握反比例函数的图象是解题关键． 8. 若，是关于x的方程的两个根，且，则b的值为（　　） A. 2 B. C. 2或 D. 6或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，由题意得到，，再由得到，再得到方程，解得b，分别代入进行检验即可得到答案． 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或， 当时，，满足题意， 当时，，不满足题意， ∴， 故选：A． 9. 如图，与位似，点为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，根据位似的性质可得，且，结合周长比进而可得相似比为，即有，再证明，即可解答． 【详解】解：∵与位似， ∴，且， ∵的周长等于周长的， ∴相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 10. 摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点，以点为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，依据题意，设，根据正方形的性质可得，然后根据黄金分割的意义可得，从而可得，最后进行计算即可解答．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：设， 四边形是正方形， ， ∴． 由题意，根据黄金分割的意义：矩形满足， ∴ ． 经检验：是原方程的根， ． 故选：D． 11. 如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（　　） A. y＝﹣ B. y＝﹣ C. y＝﹣ D. y＝﹣ 【答案】A 【解析】 【分析】作点F作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG＝BE＝x，EG＝DB＝2x，然后证得△FGC∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】作点F作FG⊥BC于G， ∵∠DEB+∠FEG＝90°，∠DEB+∠BDE＝90°； ∴∠BDE＝∠FEG， 在△DBE与△EGF中， ， ∴△DBE≌△EGF（AAS）， ∴EG＝DB，FG＝BE＝x， ∴EG＝DB＝2BE＝2x， ∴GC＝y﹣3x， ∵FG⊥BC，AB⊥BC， ∴FG∥AB， ∴△FGC∽△ABC， ∴CG：BC＝FG：AB， 即＝， ∴y＝﹣． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 12. 如图，王同学将一长为，宽为的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点位置变化为→→，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成角，则点A翻滚到位置时共走过的路径长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的定义得到点A以B为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到；是由以C为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到，由于，，，，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接、，由题意，点A以B为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到；是由以C为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到， ∵，，，， ∴点A翻滚到位置时共走过的路径长， 故选：D． 【点睛】本题考查了轨迹，旋转变换，解决本题的关键是掌握弧长公式和旋转的性质． 二、填空题（简洁的结果，表达的是你敏锐的思维，需要的是细心！每小题3分，共12分） 13. 已知一组数据：0，1，2，x，4，5的平均数是3，那么这组数据的中位数是_______． 【答案】3 【解析】 【分析】由题意知，求出的值，然后将数据从小到大依次排列，根据中位数为第三、四个数的平均数计算求解即可． 【详解】解：由题意知 解得 将数据从小到大依次排列为：0、1、2、4、5、6 ∴中位数为 故答案为：3． 【点睛】本题考查了算术平均数与中位数．解题的关键在于熟练掌握算术平均数与中位数的求解方法． 14. 如图，为的直径，C为上一点，，，交于点D，连接，那么________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识点，掌握圆周角定理成为解题的关键． 先求出，再结合等腰三角形的性质可得，最后根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为． 15. 如图，，，延长交于，且，则的长____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，作出辅助线是解题关键．过D作的平行线交于G，利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：过D作的平行线交于G， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于图形的剪拼的一元二次方程的应用，正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系是解题关键． 已知图中的①和②，③和④形状大小分别完全相同，结合图中数据可知①④能拼成一个直角三角形，②③能拼成一个直角三角形，并且这两个直角三角形形状大小相同，利用这两个直角三角形即可拼成矩形；利用拼图前后的面积相等列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：如图 图1中的正方形面积为4 正方形边长为2 直角三角形①中的长直角边为2 解得：（负值已舍去） 故答案为：． 三、解答题（耐心计算，认真推理，表露你萌动的智慧！共72分） 17. 温室内，经过一段时间育苗，随机抽取一些种苗并对它们的株高进行测量，把测量结果制成尚不完整的扇形统计图与条形统计图，如图，若种苗株高的平均数或中位数低于，则需要对育苗办法适当调整． （1）在扇形统计图中，________； （2）求抽取的种苗株高的平均数、中位数，并判断是否需要对育苗方法进行调整； （3）若再随机抽取n株种苗，对其高度进行测量，并与前面抽取的种苗株高合在一起，发现中位数变大，求n的最小值． 【答案】（1）20 （2）平均数为11.4，中位数为11，需要对育苗办法适当调整 （3）4 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，中位数、众数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用总量减去各个分量，即可作答． （2）先分别求出抽取的种苗株高的平均数、中位数，再“抽取的种苗株高的平均数、中位数”，进行作答即可； （3）先排列数据，得出处于第22、23个株高分别为11，12，根据“中位数变大”，进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：根据扇形的数据， 得， 故答案为：20； 【小问2详解】 解：抽取种苗的总株数为； 株高为的种苗株数为； 株高为的种苗株数为， 所以抽取的种苗株高的 ∵从小到大排列抽取的40个数据中，处于第20、21个株高均为11，11， ∴中位数为， ∵种苗株高的平均数或中位数均低于， ∴需要对育苗办法适当调整； 【小问3详解】 解：从小到大排列抽取的40个数据中，发现处于第22、23个株高分别为11，12， 当再抽取4株种苗，且株高均大于或等于12， 则就会使第22、23个株高恰好位于中间位置， 此时中位数为， 因此n的最小值为4． 18. 如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面的宽度为，拱高（的中点到水面的距离）为． （1）求所在圆的半径； （2）若水面下降，求此时水面的宽度（保留根号）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理： （1）根据垂径定理得到，，结合勾股定理求解即可得到答案； （2）根据（1）即可得到，，结合勾股定理求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：如图，设所在圆的圆心为O，连接，， 是的中点，，即为圆的半径， ， 设，则， 在中，， 即，解得， 故所在圆的半径为； 【小问2详解】 解：如图，连接，设与交于点G，则， 在中，，， ， ， 故此时水面的宽度为． 19. 在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵长在斜坡上的杨树的高度．如图，已知斜坡的坡度为米，在距离点C4米处的点D测得杨树顶端A的仰角为． （1）______度； （2）求杨树的高度．（，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上，结果精确到米，参考数据：） 【答案】（1） （2）杨树的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度及仰角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据坡度得出，即可求解； （2）在中，求出，再在中，建立等式即可求解． 【小问1详解】 解：斜坡的坡度为， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点作的垂线，交于点，如下图： ，即， 解得：， ，即， 解得：， 在中， ，即， ， 解得：（米）， 答：杨树的高度为米． 20. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 【答案】（1） （2） 画图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）分别求出，，对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可； （3）求出平移后点E对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， ∴反比例函数的图象经过，，， 画图如下： 【小问3详解】 解：∵向左平移后，E在反比例函数的图象上， ∴平移后点E对应点的纵坐标为4， 当时，， 解得， ∴平移距离为． 故答案为：． 21. 如图，是的直径，，，的平分线交于点D． （1）求的度数； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，弓形的面积等，掌握圆周角定理及扇形面积公式是解题的关键． （1）由直径所对的圆周角为90度可得，再根据同弧所对的圆周角相等即可求解； （2）由勾股定理计算出，由圆周角定理得出，阴影部分的面积． 【小问1详解】 解：是的直径， ， 平分， ， 和都是所对的圆周角， ； 【小问2详解】 解：，，， ， ， 如图，连接， 由（1）知， ， ， ， 阴影部分的面积． 22. 商场某种新商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件，当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件．据此规律，请回答： （1）当每件商品售价定为55元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？ （2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到8000元？ 【答案】（1）每天可销售450件商品，商场获得的日盈利是6750元；（2）每件商品售价为60或80元时，商场日盈利达到8000元． 【解析】 【分析】（1）首先求出每天可销售商品数量，然后可求出日盈利； （2）设商场日盈利达到8000元时，每件商品售价为x元，根据每件商品的盈利×销售的件数=商场的日盈利，列方程求解即可． 【详解】（1）当每件商品售价为55元时，比每件商品售价50元高出5元， 即55﹣50=5（元）， 则每天可销售商品450件，即500﹣5×10=450（件）， 商场可获日盈利为（55﹣40）×450=6750（元）． 答：每天可销售450件商品，商场获得的日盈利是6750元； （2）设商场日盈利达到8000元时，每件商品售价为x元． 则每件商品比50元高出（x﹣50）元，每件可盈利（x﹣40）元， 每日销售商品为500﹣10×（x﹣50）=1000﹣10x（件）． 依题意得方程（1000﹣10x）（x﹣40）=8000， 整理，得x2﹣140x+4800=0， 解得x=60或80． 答：每件商品售价为60或80元时，商场日盈利达到8000元． 23. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）运动开始后，当为何值时，的长度等于？ （2）连接，当为何值时，的面积等于？ 【答案】（1）2 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用等知识． （1）根据题意得到，根据勾股定理列方程，解方程，舍去不合题意解即可求解； （2）由题意得，列方程，解方程，舍去不合题意解即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得， 在中，根据勾股定理得， 解得（舍去），． 答：当为2时，的长度等于； 【小问2详解】 解：由题意得， ∵的面积等于， ∴， 解得（不合题意，舍去）． 答：当为1时，的面积等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末质量检测九年级数学试卷 一、精心选一选，慧眼识金！（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的） 1. 对于一组数据﹣1、4、﹣1、2下列结论不正确的是（　　） A. 平均数是1 B. 众数是-1 C. 中位数是0.5 D. 方差是3.5 2. 已知是锐角，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为2，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 5. 如图，给出下列条件：①∠ADC=∠ACB，②∠B=∠ACD，③，④，其中不能判定∽的条件为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 如图，已知是半圆O的直径，弦相交于点P，若的度数之和为120°，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A在反比例函数第一象限内的图象上，点B在x轴的正半轴上，OA＝AB，△AOB的面积为2，则a的值为（　　） A. B. C. 2 D. 1 8. 若，是关于x的方程的两个根，且，则b的值为（　　） A. 2 B. C. 2或 D. 6或 9. 如图，与位似，点为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（　　） A. B. C. D. 10. 摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点，以点为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（　　） A. y＝﹣ B. y＝﹣ C. y＝﹣ D. y＝﹣ 12. 如图，王同学将一长为，宽为的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点位置变化为→→，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成角，则点A翻滚到位置时共走过的路径长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（简洁的结果，表达的是你敏锐的思维，需要的是细心！每小题3分，共12分） 13. 已知一组数据：0，1，2，x，4，5的平均数是3，那么这组数据的中位数是_______． 14. 如图，为的直径，C为上一点，，，交于点D，连接，那么________． 15. 如图，，，延长交于，且，则的长____． 16. 如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为________． 三、解答题（耐心计算，认真推理，表露你萌动的智慧！共72分） 17. 温室内，经过一段时间育苗，随机抽取一些种苗并对它们的株高进行测量，把测量结果制成尚不完整的扇形统计图与条形统计图，如图，若种苗株高的平均数或中位数低于，则需要对育苗办法适当调整． （1）在扇形统计图中，________； （2）求抽取的种苗株高的平均数、中位数，并判断是否需要对育苗方法进行调整； （3）若再随机抽取n株种苗，对其高度进行测量，并与前面抽取的种苗株高合在一起，发现中位数变大，求n的最小值． 18. 如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面的宽度为，拱高（的中点到水面的距离）为． （1）求所在圆的半径； （2）若水面下降，求此时水面的宽度（保留根号）． 19. 在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵长在斜坡上的杨树的高度．如图，已知斜坡的坡度为米，在距离点C4米处的点D测得杨树顶端A的仰角为． （1）______度； （2）求杨树的高度．（，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上，结果精确到米，参考数据：） 20. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 21. 如图，是的直径，，，的平分线交于点D． （1）求的度数； （2）求图中阴影部分的面积． 22. 商场某种新商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件，当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件．据此规律，请回答： （1）当每件商品售价定为55元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？ （2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到8000元？ 23. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）运动开始后，当为何值时，的长度等于？ （2）连接，当为何值时，的面积等于？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $