正比例（教学设计）-2025-2026学年人教版数学六年级下册

课题：正比例 教学目标： （1）数学的眼光：通过观察具体情境与表格数据，发现生活中两种相关联的量的变化规律，感知 “比值一定” 是成正比例量的本质特征。 （2）数学的思维：分析变量间的依存关系，归纳正比例的意义，能运用逻辑推理判断两种量是否成正比例，培养用发展变化观点分析问题的思维能力。 （3）数学的语言：用字母表达式清晰呈现正比例关系，结合实例准确描述成正比例量的判断条件，提升用数学术语表达数量关系的能力。 教学重难点： （1）在购物、行程等真实生活情境中，通过观察数据、列表、描点等数学实践活动，抽象出成正比例量的本质特征（两种相关联的量，一种量变化另一种量随之变化且相对应的比值一定），并能运用特征判断两种量是否成正比例。 （2）在探究过程中，通过对比不同情境（如总价与数量、路程与时间）中变量的变化规律，辨析 “比值一定” 与 “和一定”“差一定” 等非正比例关系的区别，经历从具体实例到抽象概念的过程，发展逻辑推理与数据分析能力。 教学准备： （1）多媒体设备（用于展示例题情境图、数据表格等教学内容）。 （2）正比例概念及例题配套 PPT 课件（含情境图、表格数据、概念板书等）。 （3）打印版课堂练习题单（含 P46 “做一做” 及练习九第 1、3～7 题）。 教学过程 一、复习铺垫，导入新知 同学们，我们每天都在和各种数量打交道，比如 “买东西要算总价”“走路要算速度”。现在老师想请大家回忆几个熟悉的场景，看看能不能快速说出它们的数量关系： 情境一：一辆汽车 1 小时行驶 80 千米，2 小时呢？（学生快速答：160 千米，因为速度 = 路程 ÷ 时间，80÷1=80 千米 / 时） 情境二：妈妈买了 3 个笔记本花了 15 元，每个笔记本多少钱？（学生答：5 元，因为单价 = 总价 ÷ 数量，15÷3=5 元 / 本） 情境三：工人师傅 6 小时做了 120 个零件，每小时做多少个？（学生答：20 个，因为效率 = 工作总量 ÷ 时间，120÷6=20 个 / 时） 老师引导：“大家发现了吗？这三个例子中，都是已知‘总量’和‘另一个量’，求‘单一量’，公式可以概括为‘总量 ÷ 另一个量 = 单一量’（板书：单一量 = 总量 ÷ 另一个量）。今天我们要研究一种新的数量关系 ——两种量之间的正比例关系，看看它们的变化有没有规律可循。 二、引导探索，学习新知（教学例 1） （1）观察情境，提出问题 老师出示教材中的汽车行驶情境图 （画面：一辆匀速行驶的汽车，旁边有时间和路程的记录表格），提问：“请大家仔细观察，图中记录了汽车行驶的哪些信息？（生：时间和路程）这两个量之间有什么关系呢？” （学生自由发言后，老师出示表格，表格内容如下） 时间 / 时 1 2 3 4 5 6 ... 路程 / 千米 80 160 240 320 400 480 ... 老师追问：“如果我们把时间和路程的数据填在表格里，当时间从 1 小时增加到 2 小时，路程是怎么变化的？（生：路程也从 80 千米增加到 160 千米）那时间继续增加，路程会怎样？（生：一直增加）反过来，如果时间减少到 0.5 小时，路程会是多少？（生：40 千米，因为速度不变）” （2）分析表格，发现规律 老师引导学生分组合作，完成两项任务： ① 计算比值：每组同学任选一个时间对应的路程，除以时间，看看结果是否相同？（学生计算后汇报：80÷1=80，160÷2=80，240÷3=80…… 所有组计算结果都是 80） ② 描述变化：观察时间和路程的变化，说说它们是如何 “共同变化” 的？（学生讨论后发言：“时间变大，路程也变大；时间变小，路程也变小”“时间和路程扩大或缩小相同的倍数，比如时间从 1→2（×2），路程从 80→160（×2）”） 老师板书：路程 ÷ 时间 = 80（千米 / 时，一定），提问：“这里的‘80’是什么？（生：汽车的速度）如果速度不变，时间和路程的关系就像什么？（生：跷跷板，一个高，另一个也高）” （3）总结意义，明确概念 老师引导学生自己尝试总结：“通过刚才的分析，谁能用自己的话说说，时间和路程之间是什么关系？”（生 1：“它们是相关联的，一个变另一个也变”；生 2：“它们的比值不变”） 老师补充关键词，板书： 正比例关系： ① 两种相关联的量：一种量变化，另一种量也随着变化（比如时间变，路程必须跟着变，否则不成比例）； ② 相对应的两个数的比值一定（即 “单一量” 不变，如速度、单价、效率等）。 举例辨析：“如果两种量‘我的身高’和‘教室门的高度’，门变高，身高不变，这两个量相关联吗？（生：不相关，因为身高和门高没有必然联系）所以不成正比例！” （4）字母表示，深化理解 老师：“我们已经知道路程 = 速度 × 时间，如果用字母 x 表示时间，y 表示路程，k 表示不变的速度（即比值），那么它们的关系可以写成什么公式？”（生尝试回答：y = kx，老师板书：y/x = k（一定）或 y = kx（k≠0）） 老师强调：“这个 k 必须是不变的，比如速度如果变了，就不再是正比例关系了。” （5）图像验证，直观感知 老师：“除了表格，我们还能用图像表示正比例关系。请大家在坐标纸上画一画：横轴表示时间（1 格代表 1 小时），纵轴表示路程（1 格代表 40 千米），根据表格数据描点（1,80）（2,160）（3,240）（4,320）……” （学生动手画图后，老师引导观察：“这些点连起来是什么形状？（生：一条直线）这条直线经过原点（0,0），说明什么？（生：时间为 0 时，路程为 0，符合实际）” 老师补充：“正比例关系的图像是一条经过原点的直线，从图像上看，我们能更直观地发现‘时间增加，路程按相同比例增加’的规律。” 三、巩固练习，拓展应用 （1）教材 P46 “做一做”（判断正比例） 老师出示题目：“判断下列两种量是否成正比例，并说明理由： ① 苹果单价一定，购买数量和总价。 ② 长方形的长一定，面积和宽。 ③ 人的年龄和身高。” 学生分组讨论后汇报： ①：“总价和数量是相关联的量，总价 ÷ 数量 = 单价（一定），成正比例。” ②：“面积 ÷ 宽 = 长（一定），所以成正比例。” ③：“年龄增大，身高不一定按比例增加（比如 10 岁和 15 岁，身高增加量可能不同），且年龄和身高没有固定比值，所以不成正比例。” 老师点评：“第③题是易错点，要记住‘相关联且比值一定’两个条件，缺一不可！” （2）生活中的正比例（互动举例） 老师：“请大家举例生活中‘成正比例的两种量’，并说明理由。”（生 1：“每瓶可乐 5 元，买可乐的瓶数和总价，总价 ÷ 瓶数 = 5 元 / 瓶（一定）”；生 2：“每小时写 100 个字，写字总数和时间，总数 ÷ 时间 = 100（个 / 时）（一定）”） （3）反向辨析（提高难度） 老师出示 “错误案例”：“小明说：‘因为 10÷2=5，20÷4=5，所以 10 和 20 成正比例，2 和 4 也成正比例。’对吗？”（学生讨论后反驳：“10 和 20 是路程和总价吗？如果 10 是路程，2 是时间，那 20 是路程，4 是时间，确实成正比例；但如果 10 是苹果数量，2 是总价，20 是数量，4 是总价，就不是，因为总价 ÷ 数量 =单价，20÷20=1（单价），4÷10=0.4（单价），所以不成！”） 老师总结：“判断时一定要明确‘哪两个量’，以及‘对应的比值是否一定’！” 四、课堂小结，回顾提升 老师：“今天我们学习了什么？谁能结合例子，说说判断两种量是否成正比例的关键是什么？” 学生总结： 两种量必须是‘相关联’的（一种变，另一种跟着变）； 它们‘相对应的两个数的比值’必须‘一定’（不能一会儿大一会儿小）。 老师补充：“正比例关系就像一对‘默契的伙伴’，一个增加，另一个按相同比例增加，永远保持‘比值不变’。下节课我们会学习反比例，看看它们的‘相处模式’有什么不同！” 布置作业： （1）判断下列各题中的两种量是否成正比例，并说明理由。 ① 每箱苹果的重量一定，苹果的总重量与箱数。 ② 长方形的面积一定，长与宽。 ③ 工作效率一定，工作总量与工作时间。 （2）根据表格数据判断两种量是否成正比例，并计算未知量。 数量（个） _x0007_2 _x0007_5 _x0007_8 _x0007_12 _x0007_? _x0007_ _x0007_总价（元） _x0007_10 _x0007_25 _x0007_40 _x0007_60 _x0007_75 _x0007_ _x0007_（提示：总价与数量的比值是否一定，若成正比例，求 “?” 处的数量） _x0007_ _x0007_ _x0007_ _x0007_ _x0007_ _x0007_ _x0007_ 学科网（北京）股份有限公司 $