精品解析：江西省吉安市永丰县恩江中学2025-2026学年上学期八年级数学期末模拟卷（一）

恩江中学2025—2026年上八年级数学期末模拟卷（一） 一、精心选一选（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确答案） 1. 在实数π、、、0.202020202…（两个2之间有1个0）中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，判断每个数是否为无理数，无理数是无限不循环小数. 【详解】解：∵是无限不循环小数， ∴是无理数. ∵是分数，属于有理数， ∴不是无理数. ∵ = -3，是整数， ∴是有理数. ∵ 0.202020202…是循环小数， ∴它是有理数. ∴ 只有是无理数，共1个. 故选：A. 2. 下列命题中的真命题是（ ） A. 如果，那么 B. 相等的角是对顶角 C. D. 点关于y轴对称的点为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断．选项A需考虑负数情况，选项B混淆角的关系，选项C涉及二次根式的性质，选项D考查对称点坐标．一一判断即可． 【详解】A：若a、b为负数，如，但，∴此选项为假命题； B：相等的角不一定是对顶角，如平行线中的同位角，∴此选项为假命题； C：当时，，两者相等；当时，无意义，但命题中隐含，∴成立，∴此选项为真命题； D：点关于y轴对称的点为，而非，∴此选项为假命题． 故选：C． 3. 下列说法正确的是（　 ） A. B. 若，则 C. 平方根等于本身的数是0，1 D. 25的算术平方根是5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查立方根、平方根和算术平方根的概念，需注意平方根有两个值而算术平方根只有一个非负值．根据立方根、平方根和算术平方根的性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，则，故B错误； C．平方根等于本身的数只有0，而1的平方根为，故C错误； D．25的算术平方根是5，故D正确． 故选：D． 4. 有一组被墨水污染的数据：4、17、7、14、★、★、★、16、10、4、4、11 ，其箱线图如下： 下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 这组数据的中位数是10 C. 这组数据的上四分位数是15 D. 被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题主要考查了箱线图，根据箱线图的定义一一分析判断即可． 【详解】解：．这组数据的下四分位数是4，说法正确，故该选项符合题意； ．这组数据的下四分位数是4，上四分位数是15，中位数为，故该选项不符合题意； ．这组数据的上四分位数是15，说法正确，故该选项符合题意； ．箱线图左边缘是3，右边缘是18，∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18，说法正确，故该选项符合题意； 故选：ACD 5. 小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（ ） A. 3、 B. 1、5 C. 、3 D. 5、1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数，将代入第一个方程求出y，再代入第二个方程求． 【详解】解：将代入，得：， 解得，即 将，代入，得：， 故和代表的数分别是5和1， 故选：D． 6. 直线与直线在同一坐标系中的大致位置是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象性质，根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项，找k、b取值范围相同的图象即可得到答案． 【详解】解：根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得： A、由图可得，中，，中，，k的取值矛盾，故本选项错误； B、由图可得，中，，中，，b的取值相矛盾，故本选项错误； C、由图可得，中，，中，，b和k的取值相一致，故本选项正确； D、由图可得，中，，中，，k的取值相矛盾，故本选项错误； 故选：C． 二、细心填一填（每小题3分，共18分） 7. 方程是二元一次方程，则的取值范围是_________； 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．利用二元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：方程是二元一次方程， ， 解得：， 故答案为：． 8. 若点与点关于x轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】关于轴的对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标相同．据此可得，的值． 【详解】解：点与点关于轴对称， ， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了关于轴的对称点的坐标特点，即点关于轴的对称点的坐标是． 9. 甲对乙说：“当我岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在岁数时，你61岁．”则乙现在为______岁． 【答案】23 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设甲现在岁，乙现在岁，根据甲、乙年龄之间的关系，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲现在岁，乙现在岁， 依题意，得：， 解得：． 故答案为：23． 10. 如图，，，则等于____． 【答案】##度 【解析】 【分析】如图所示，过的顶点A作，则，利用平行线的性质得到，，进而求出，则． 【详解】解：如图所示，过的顶点A作，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 11. 如图，点A，B，C，D均在正方形网格格点上，则________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】该题考查了勾股定理，轴对称和等腰直角三角形的性质和判定，作点关于线段的对称点，连接，由对称可得，即，说明是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于线段的对称点，连接， 由对称可得， 即， 设小正方形的边长为 1 ， 由勾股定理，得， ， 是等腰直角三角形， ∴，即． 故答案为：． 12. 如图，在长方形中，，，点P在上，把点D沿对折，且点D落在边上点F处，延长到点E处，使，当为等腰三角形时，则__________． 【答案】10或或 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的定义等，注意分情况讨论是解题的关键．先由勾股定理计算出，由折叠得，再分三种情况：当时，当时，当时，分别讨论即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ， 由折叠知，， 当为等腰三角形时，分三种情况： 当时，, ； 当时，, ， ； 当时，， 由，得：， 解得； 综上可得10或或， 故答案为：10或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）解方程组． 【答案】(1) ；(2) 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的四则混合运算及解二元一次方程组，熟练掌握二次根式的四则混合运算法则及解二元一次方程组的方法是解决本题的关键． （1）根据二次根式的运算法则进行计算即可． （2）利用代入法解此方程即可． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， 由①，可得：， 把代入②，可得 ， 解得， 把代入，可得 ， 原方程组的解为：． 14. 已知的平方根是，b是的立方根，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数，求一个数的平方根，熟练掌握以上知识点是关键．对于两个实数、，若满足，那么就叫做的平方根，若满足，那么就叫做的立方根，由题意可得，即，再求得，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：的平方根是， ，即， b是的立方根， ， ， 的平方根是． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知三点，若a，b，c满足关系式： ．求的面积． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形．根据绝对值和算术平方根的非负性可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴轴， ∴． 16. 如图，直线，是等边三角形，D，O分别是边，的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中，过C点画线段，使； （2）在图2中，在线段的延长线上画出点F，使． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 解：如图所示，点即为所求， 【解析】 【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等边三角形的性质等，解题的关键是掌握以上性质． （1）连接并延长交m 于点E，连接即为所求；先证，推出，，结合得出，即可证明； （2）延长交于点，连接交于点，连接并延长，交于点，连接并延长，交直线于点，点即为所求． 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ，， ， ， ，， 又 O是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：延长交于点，连接交于点，连接并延长，交于点，连接并延长，交直线于点， ∵点D，O分别是边，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴根据三线合一，， 又∵， ∴， ∴， ∴根据三线合一，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17. 如图，与相交于点E，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ， ， 又∵， ， ． 【解析】 【分析】根据可得，再根据平行线的性质得，等量代换得，即． 【详解】略 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”． （1）如图，在中，，．求证：是“梦想三角形”． （2）在中，，．若是“梦想三角形”，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，过点作于点， ，，， 是边上的中线，， 又∵， 由勾股定理得：， ， 是“梦想三角形”； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了“梦想三角形”的定义，等腰三角形三线合一，三角形中线的性质，勾股定理， （1）过点作于点，根据等腰三角形三线合一可知是边上的中线，且，再利用勾股定理求出的长度，可知，即可证明； （2）分两种情况：①当边上的中线时，，利用勾股定理即可求得答案；②当边上的中线时，，利用勾股定理即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，若是“梦想三角形”， ∵直角三角形斜边中线等于斜边一半， ∴只能是直角边的中线等于对应的直角边， 有以下两种情况： ①当边上的中线时，， 此时，， ②当边上的中线时，， 此时，，即， 解得：（负数值舍去）， 综上所述，或． 19. 2024年12月4日，“春节”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，中国的春节文化将更好地走向世界．2025年春节临近，某商家购进了一批春联和灯笼进行销售，已知2副春联和1个灯笼的总售价为24元；1副春联和3个灯笼的总售价为42元． （1）请你分别求出1副春联的售价和1个灯笼的售价； （2）已知商家实际销售期间每副春联盈利3元，每个灯笼盈利5元，某个时段内该商家通过销售这批春联和灯笼共盈利40元，且春联和灯笼都有销售，请你求出该商家在这个时段内所有可能的销售方案（即销售了多少副春联和多少个灯笼）． 【答案】（1）1副春联元，1个灯笼元 （2）该商家在这个时段内所有可能的销售方案有2种，分别是：春联5副，灯笼5个或者春联10副，灯笼2个 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，二元一次方程的解，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设1副春联元，1个灯笼元，由此列二元一次方程组求解即可； （2）该商家在这个时段内销售了春联副，销售了灯笼个，由此列式，并判定二元一次方程的解． 【小问1详解】 解：已知2副春联和1个灯笼的总售价为24元；1副春联和3个灯笼的总售价为42元， ∴设1副春联元，1个灯笼元， ∴， 解得，， ∴1副春联元，1个灯笼元； 【小问2详解】 解：该商家在这个时段内销售了春联副，销售了灯笼个， ∴， ∵都是正整数， ∴，即是3的倍数， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，该商家在这个时段内所有可能的销售方案有2种，分别是：春联5副，灯笼5个或者春联10副，灯笼2个． 20. 定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． （1）请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； （2）已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 【答案】（1） 证明：，，， ，8，18这三个数是“和谐组合”， 故最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）1或100 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据“和谐组合”的定义分别求解算术平方根即可； （2）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：分三种情况：①当时，可得，解得：（舍去）， ②当时，可得，解得：，经检验符合题意， ③当时，可得，解得：，经检验符合题意． 综上所述，的值为1或100． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了调查八年级学生课余时间体育锻炼的时间情况，某校在八年级350名学生中随机抽取了男生，女生各18名，收集得到了以下数据：（单位：分钟） 女生：28，30，32，46，68，39，80，70，66，57，70，95，10，58，69，88，99，105． 整理数据：制作了如下统计图： 分析数据：两组数据的平均数、四分位数、众数和方差如表所示： 平均数 众数 方差 女生 39 a 80 b 男生 55 88 69 （1）请将上面的表格补充完整： _____，_______，男生课余时间体育锻炼的时间落在这一组的人数是________人； （2）请补全女生直方图和男生箱线图； （3）若该校学生为男生，根据调查的数据，估计八年级课余时间体育锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）的男生的有多少名？ （4）体育老师分析表格数据和箱线图后，认为八年级的男生课余时间体育锻炼做得比女生好，请你结合统计数据，写出同意体育老师观点的理由． 【答案】（1）67；70；175 （2） 补全女生直方图和男生箱线图如下： （3）35名 （4） 解：根据题意，男生的课余时间体育锻炼的时间的平均数、四分位数、众数均比女生的高，且方差比女生的低， ∴八年级的男生课余时间体育锻炼做得比女生好． 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、四分位数、众数和方差： （1）根据中位数，众数的定义解答即可； （2）求出女生课余时间体育锻炼的时间落在这一组的人数，即可解答； （3）用乘以八年级课余时间体育锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）的男生所占的比例，即可解答； （4）根据两组数据的平均数、四分位数、众数和方差解答即可． 【小问1详解】 解：把女生的体育锻炼的时间从小到大排列为10，28，30，32，39，46，57，58，66，68，69，70，70，80， 95， 88，99，105， 位于正中间的两个数为66，68， ∴， ∵70出现的次数最多， ∴； 男生课余时间体育锻炼的时间落在这一组的人数是人； 故答案为：67；70；175 【小问2详解】 解：女生课余时间体育锻炼的时间落在这一组的人数是人， 补全女生直方图和男生箱线图略； 【小问3详解】 解：名， 即八年级课余时间体育锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）的男生的有35名； 【小问4详解】 略 22. 在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表现三维空间的方法，“灭点”是指在透视图中，原本平行的直线看起来会汇聚到一个点上．如图1，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，它帮助我们感受空间的深度和立体感． 问题探究：在现实中，某条公路的左右边界线互相平行．如图2，将该公路的透视图放置于某平面直角坐标系内，已知公路的左侧边界线经过点和，右侧边界线的函数表达式为，和相交于点P，即点P为灭点． （1）求左侧边界线的函数表达式； （2）求灭点P的坐标； 迁移应用： （3）为满足艺术创作的需求，艺术家要对该画进行调整：将，同时沿y轴向同一个方向分别平移个单位长度和个单位长度，使得灭点P落在坐标轴上，求c的值． 在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表现三维空间的 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】本题考查求一次函数解析式，求两条直线的交点坐标，一次函数图象的平移，注意分情况讨论是解题的关键． （1）根据，，利用待定系数法求解； （2）将和的解析式联立，解方程组，即可得出灭点P的坐标； （3）分，沿y轴向上平移与向下平移两种情况，得出平移后直线的解析式，将平移后解析式联立，每种情况再分点P在横坐标轴上、在纵坐标轴上两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）设左侧边界线的函数表达式为， 将，代入，得：， 解得， 左侧边界线的函数表达式为； （2）联立， 解得， 灭点P的坐标为； （3）分两种情况： 当，沿y轴向上平移时， 平移后的解析式为：， 平移后的解析式为：， 联立得：， 若灭点P落在纵坐标轴上，则， ， 解得， ； 若灭点P落在横坐标轴上，则， 解，得：， 解，得：， 求得的x的值矛盾， 这种情况不存在； 当，沿y轴向下平移时， 平移后的解析式为：， 平移后的解析式为：， 联立得：， 若灭点P落在纵坐标轴上，则， ， 解得，与矛盾， 这种情况不存在； 若灭点P落在横坐标轴上，则， 解，得：， 解，得：， 令， 解得， ； 综上可知，c的值为或． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 提出问题 （1）如图1，在四边形中，，，于点E，于点F．求证：； 问题探究 （2）如图2，在四边形中，，P是边上的一点,连接，．若，，，，，求出的长； 拓展延伸 （3）如图 3，在四边形中，，G是的中点，P是上的一点，连接，．若，，，，．求的长． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴； （2）；（3）． 【解析】 【分析】本题综合考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理，根据题目条件作出恰当的辅助线构造全等三角形并利用勾股定理建立方程是解题的关键． （1）通过垂直条件得到直角，结合已知角和边，利用判定三角形全等； （2） 通过作垂线、利用平行线性质证明三角形全等，最后借助勾股定理建立方程求解边长； （3）通过对称性构造辅助垂线，构造全等三角形，实现线段与角度的转移，最终利用勾股定理求解． 【详解】解：（1）略 （2）过点作于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ； （3）过点作于点，过点作交的延长线于点，过点作于点， ， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ∵， ， ∵， ∴， ， 在中，， ， 在中，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 恩江中学2025—2026年上八年级数学期末模拟卷（一） 一、精心选一选（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确答案） 1. 在实数π、、、0.202020202…（两个2之间有1个0）中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列命题中的真命题是（ ） A. 如果，那么 B. 相等的角是对顶角 C. D. 点关于y轴对称的点为 3. 下列说法正确的是（　 ） A. B. 若，则 C. 平方根等于本身的数是0，1 D. 25的算术平方根是5 4. 有一组被墨水污染的数据：4、17、7、14、★、★、★、16、10、4、4、11 ，其箱线图如下： 下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 这组数据的中位数是10 C. 这组数据的上四分位数是15 D. 被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 5. 小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（ ） A. 3、 B. 1、5 C. 、3 D. 5、1 6. 直线与直线在同一坐标系中的大致位置是（　　） A. B. C. D. 二、细心填一填（每小题3分，共18分） 7. 方程是二元一次方程，则的取值范围是_________； 8. 若点与点关于x轴对称，则______． 9. 甲对乙说：“当我岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在岁数时，你61岁．”则乙现在为______岁． 10. 如图，，，则等于____． 11. 如图，点A，B，C，D均在正方形网格格点上，则________． 12. 如图，在长方形中，，，点P在上，把点D沿对折，且点D落在边上点F处，延长到点E处，使，当为等腰三角形时，则__________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）解方程组． 14. 已知的平方根是，b是的立方根，求的平方根． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知三点，若a，b，c满足关系式： ．求的面积． 16. 如图，直线，是等边三角形，D，O分别是边，的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中，过C点画线段，使； （2）在图2中，在线段的延长线上画出点F，使． 17. 如图，与相交于点E，，，，求证：． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”． （1）如图，在中，，．求证：是“梦想三角形”． （2）在中，，．若是“梦想三角形”，求的长． 19. 2024年12月4日，“春节”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，中国的春节文化将更好地走向世界．2025年春节临近，某商家购进了一批春联和灯笼进行销售，已知2副春联和1个灯笼的总售价为24元；1副春联和3个灯笼的总售价为42元． （1）请你分别求出1副春联的售价和1个灯笼的售价； （2）已知商家实际销售期间每副春联盈利3元，每个灯笼盈利5元，某个时段内该商家通过销售这批春联和灯笼共盈利40元，且春联和灯笼都有销售，请你求出该商家在这个时段内所有可能的销售方案（即销售了多少副春联和多少个灯笼）． 20. 定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． （1）请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； （2）已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了调查八年级学生课余时间体育锻炼的时间情况，某校在八年级350名学生中随机抽取了男生，女生各18名，收集得到了以下数据：（单位：分钟） 女生：28，30，32，46，68，39，80，70，66，57，70，95，10，58，69，88，99，105． 整理数据：制作了如下统计图： 分析数据：两组数据的平均数、四分位数、众数和方差如表所示： 平均数 众数 方差 女生 39 a 80 b 男生 55 88 69 （1）请将上面的表格补充完整： _____，_______，男生课余时间体育锻炼的时间落在这一组的人数是________人； （2）请补全女生直方图和男生箱线图； （3）若该校学生为男生，根据调查的数据，估计八年级课余时间体育锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）的男生的有多少名？ （4）体育老师分析表格数据和箱线图后，认为八年级的男生课余时间体育锻炼做得比女生好，请你结合统计数据，写出同意体育老师观点的理由． 22. 在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表现三维空间的方法，“灭点”是指在透视图中，原本平行的直线看起来会汇聚到一个点上．如图1，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，它帮助我们感受空间的深度和立体感． 问题探究：在现实中，某条公路的左右边界线互相平行．如图2，将该公路的透视图放置于某平面直角坐标系内，已知公路的左侧边界线经过点和，右侧边界线的函数表达式为，和相交于点P，即点P为灭点． （1）求左侧边界线的函数表达式； （2）求灭点P的坐标； 迁移应用： （3）为满足艺术创作的需求，艺术家要对该画进行调整：将，同时沿y轴向同一个方向分别平移个单位长度和个单位长度，使得灭点P落在坐标轴上，求c的值． 在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表现三维空间的 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 提出问题 （1）如图1，在四边形中，，，于点E，于点F．求证：； 问题探究 （2）如图2，在四边形中，，P是边上的一点,连接，．若，，，，，求出的长； 拓展延伸 （3）如图 3，在四边形中，，G是的中点，P是上的一点，连接，．若，，，，．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $