重庆一中2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

秘密*启用前【考试时间:1月29日8:00-10:00】 重庆一中高2027届高二上期期末考试 数学试题卷 本试卷共4页,共19题。满分150分,考试用时120分钟。 注意喜项: 1答题前,考生务必将自己的灶名、准考证号块写在答题卡上的指定位置。 2回答进择题时,远出每小题答最后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答策标号涂黑。如需放动,用橡皮 擦干净后,再进涂其他答策标号。回答非这择题时,将答隶写在答题卡上,写在本试卷上无放。 3.考试洁束后,将答题卡文回。 一、单项选择(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.) 1.设函数f(x)的导函数为'(x),己知f(x)=n(2x)-ln2,则∫'(I)= A.2 B.1 c D.0 2.记Sn为等差数列{an}的前n项和,己知2a,=a1+3,则S= 板半/组出 A.13 B.26 C.39 D.52 0.02 3.重庆市某中学为了解高二学生的期末数学考试成绩,研究人员对1500名学生进行 0014 调查,根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图,则这1500名学生期末数学考8 试成绩的中位数约为 00D90101010成孩/分 A.100 B.97.5 C.95 D.92.5 4.数列{an}中,若a026=1,a.1=n(a。-an1)、则a1= A.2026 B.2026 C. D.2025 2025 5.若函数(x)=-x3+x2+ax+b在x=1处取得极大值3,则∫(x)在[-2,1]上的值域为 A.【-12,3] B.[0,12] c[号J [ 6.己知数列{a}满足a,+a2=4,若数列{a.a.}是公比为3的等比数列,则数列{an}的前20项和为 A.2(310-1) B.43 -1) C.2(32”-1) D.4320-1) 第1页共4页 1.设定义在R上的南数f)的导函数为了,若f+)>0,且2=子,则不等式 水 的解集为 A.(-0,e) B.(0,e) c.(e2,+oo) D.(0,e) 椭圆之+发三1【a>b>0)的左、右焦点分别为F,下,斜率为正的直线/经过F且与椭圆和 P两点,若POHPFI,2F=2PF=5,则点P的坐标为 C.( 二,多项选择题(本大题共3个小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合 题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有错选的得0分) 9.下列说法中正确的有 A.数据1,2,2,2,3,4,6的极差与众数之和为7 B.数据11,13,5,6,8,1,3,9的下四分位数是4 C.若样本x1,x2,…,x的平均数和方差分别为2和3,则3x+2,3x2+2,…,3x.+2的平均数和标准差分 别为8和9 D.将总体划分为两层,其个体数分别为m,n,通过分层随机抽样,得到两层的样本平均数和样本方差分 别为,2和5子,5,若五=2,则可估计总体的方差2=mS2+”5,子 m+n m+n 0已知双曲线E:。一y2=1的左、右焦点分别为F,F,过坐标原点的直线/与双曲线E交于,B两 点,且点B在第三象限,则下列说法中正确的有 A.若AR⊥B5,则AB=2O B。若点P3,0).则直线PA与P阳的斜率之积为-号 C.A+2AE的取值范围为而-3,+) D.若AH⊥r轴于点H,则>而 第2页共4页 11.已知函数f(x)=(1-x)(e*"-1),则下列说法中正确的有 A.若f(x)在区间1,e]上存在单调递增区间,则实数n的取值范围是(-o,-1一e) B.n∈R,(x)都存在极大值 C.3n∈R,使得f(x)≤0恒成立 D.当=0时若方程/)=1有两个不同庆根无,测-小51-。号 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 12.抛物线y=2x2的焦点为F,过该抛物线上的一点P作其准线的垂线,垂足为Q,若∠PQF=60 , 则Pg= 13.已知函数)=+2sinx-口+x在D,孕上单调递减,则实数a的取值范围是 14已知数列o,}的的n项和S.=(-八a,+宁+n-3,若实数!满足a.-Xo4-<0对neN恒 成立,则实数1的取值范围是」 四、解答题(共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 已知函数/)=-alhx(a∈R), (1)当a=2时,求曲线y=f(x)上的点到直线1:x+y+2=0的距离的最小值: (2)若函数f(x)在区间(L,+)内有两个零点,求a的取值范围. 16.(本小愿请分15分) 已知椭圆c:+y 京+F=1a>b>0)的长轴长为4,过左焦点F作直线1交椭因C于4,B两点,MB的 最小值为1. (1)求椭圆的方程: (2)若 MOB面积为1,求直线1的斜率. 第3页共4页 17.(本小愿满分15分) 设正项数列{an}的前n项和为Sn,2S。=a.+a。 (1)求{an}的通项公式: (2)设b。=a2-1a, 求b.}的前n项和T。: (3)设c。= 1,求证:G+6++6,名 an-a2n+! 3 18.(本小愿澜分17分) 己知双曲线E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且经过点P(2,),渐近线方程为x √2y=0. (1)求双曲线E的方程: (2)A,B是双曲线E上与点P同支且异于点P的两动点,直线PA,PB的斜率互为相反数. ()试判断:直线AB的斜率是否为定值?若是,求出该定值:若不是,说明理由: (i)求 PAB外接圆在点P处的切线方程. 19.(本小愿清分17分) 己知函数f(x)=ar-e+l. (1)讨论(x)的极值彬况: (2)是否存在aeR使得对任意ae[0,,总存在Be[0,l,使得∫(a)+f(B)=1成立?若存在,求出实 数a的值:若不存在,请说明理由: (3)若1<a<e,此时∫(x)有两个不同的零点x和一个极值点x,记A(x,∫(x),B(2,∫(x2)》, C(xo,∫(x).判断 MBC是否为等腰三角形?请说明理由 参考数据:0.69<ln2<0.70,1.09<n3<1.10,1.60<ln5<1.6l,1.41<√5<1.42,1.73<√5<1.74 第4页共4页 重庆一中高2027届高二上期期末考试 数学参考答案 单项选择 2 J 6 7 8 B C C B D A 夕 D 7.构造g(x)=e f(x),则g'(x)=e(f'(x)+f(x))>0,故g(x)在R上单增,且g(2)=1,则不等式 位r小大可特化为g/a阿列<1,即网<国.snx2,故reae) 8.由题知直线斜率为正且PQ=PF,|,则点P在第三象限, z2=P91g3g5 又2a=P+PF,=25=pr+r a=5,pr上=5,则点0为上顶点(0,b). 由余弦定理cos∠05-2E+O-PR-1,所 2pel 3 EE=Ver+lbr:P-2 or of,cos∠fE=2=2c,所以c=1,则b=a2-c2=V2, 则点e0A(0,又0-P,i以子月. 二、多项选择 9 10 11 ABD ACD BCD 10.由题可知a=3,b=1,c=√0,F(-√10,0),F,(V10,0),A,B两点关于原点对称,且点B在第三象限,设 A(x,y)(x>3,y>0),则B(x,-y) 对于A,由题知A,B两点关于原点对称,且AE⊥BE,则AF⊥AF,,即四边形AFBF,为矩形,则 AB=FF=2V10 对-1 对于B.因为点4在双曲线上,故号81,则三32=69 1 x-3+3x2-9x2-99 第1页共8页 对于C,由双曲线的定义可知,AF-AF=2a=6,所以A=6+AE,所以A+2AF=6+3AF引,又 AF∈(0-3,+),故AE+2AF∈3V10-3,+o) 对于D,因为 AF RHP+AHE 1 +1,又双曲线 AH AH NAHI tan2 FH 的斜率为正的近线的斜率为所以0<乙A5H<所以外 AH >9+1=o 1l对于A,因为f()在1,e]上存在单增区间,所以f(x)=-xe*+"+l>0在[l,e]上有解,即n<-x-nx在l,e] 上有解,易知函数g(w)=-x-x在[1,e]上单调递减,g(x)=-x-nx≤g)=-1,所以n<-l,A错误; 对于B,f(x)=-xe+n+1,当x -o时,f(x) 1,当x +o时,'(x) -0,又f(x)为连续函数,所 以f'(x)存在变号零点x。,且当x∈(a,x)时f'(x)>0,x∈(,b)时f'(x)<0,,故f(x)存在极大值,B正确: 对于C,若f(x)=(1-x)(e+m-1)=0,则x=1或x=-n,故存在n=-1时满足f(x)=(1-x(e-1)≤0 对于D,n=0时,f"(x)=1-xe,f'(0)=1,f(0)=0,f'(I)=1-e,f)=0, 所以f(x)在原点处的切线为y=x,在(I,0)处的切线为y=(1-e)(x-1), D 设直线=1与两条切线的交点横丝标为x,:联立方程=1和少 =x) y=xy=(1-e)(x-1) 可得x=6=1+千。由图可:片-k,-+e》1号 D正确; 1-e 三、填空题 12 13 14 1 2 13.由题知f()=x+2cosx-(a+V5)≤0对x∈[0,]恒成立,故a+V3≥x+2cosx, 令g9=x+2cos,则g'w=1-2sinx,当x∈(0,时g'6)>0,g)单增,当x∈(C,)时g')<0, 62 g6的单演。故g)m-g骨-吾5,剥a15≥君+5,故a的取值范国是 6 第2页共8页 14:因为S,- ra+n-3.有a-子 1 在题中等式中分别令n=2k-1,2k,2k+1,k∈N, 有S1=-41+2+2k-4,St=a++2k-3,S1=-4n 1 +22+2k-2. 1 于是4s=4:+412女+1,a1=-414:2+l, 进而可得a家-山.4=3- 4 可见奇数列a单减,最大值为4=-子何数列红}单细,设小值为a- 4 接下来考虑t的取值范围。根据题意,t在数列{a}的任意相邻两项之间. .11 方面,有4<1<a即3<1K常 4 另-方面,当-3<, 11 三<t<时,有a1-t≤4-t<0,且a-t≥a,-t>0,于是有(a,-t0a1-)<0. 4 4 综上所述,实数1的取值范国是(3,马 4?4 四、解答题 15.解:(1)f'()=x-a(x>0) 当曲线y=f(x)在点P(x,f(x)》处的切线平行于直线l时,曲线y=f()上的点到直线I的距离最小 当a=2时,f)=6-2-1,解之可得飞=1,故P0,曲线y=f)上点到直线1的距离最小值为 +2 2 72 d= 6分 V12+12 4 四-an,故a-x>)令a-点0:则g0,当1<5 2Inx g'(x)<0,g(x)单调递减,当x>√e时,g'(x)>0,g()单调递增.g(极小值为g(We)=e.x 1时,g(m) +m: x +o时,g(x) +n.故若函数f(x)在I,+o)有两个零点,则a的取值范围为a>e. 13分 16.解(1)由题可得 公1解之可符区了、收箭酒标方程为 [2a=4 +y2=1 -=1 4 4分 a 第3页共8页 (2)F(-√3,0),显然直线1斜率不为0,设1:x=y-√3,由 =-5可得e2+4y2-23-1=0, >0恒 x2+4y2=4 -1 成立设AK,BG,则+22 而5a号0-90*为-4-25百1=2.直线1等为1 15分 t2+4 2 17.解:(1)当n=1时,由2S=a+4,得a,(a-1)=0,而a>0,得a1=1,又n≥2时,2Sn-1=a2-1+a1: 而2Sn=a+an,作差得2an=a-a-1+an-aa-1’∴.(an+an-i)(an-an-1-1)=0,而an+an-1>0 .an-an-1=1(n≥2),故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列∴数列{an}的通项公式为an=n4分 (2)由(1)可得bn=(2n-1)2”,,则Sn=1x2+3 22++(2n-1) 2” ① 2Sn=1x22+3x23++(2n-1) 2+1 ② ①-②可得:-Sn=1 2+2x22+…+2 2”-(2n-1) 2+1.Sn=(2n-3).21+6 9分 (3)由题可得cn= 1 2 211 n2n+D'c.=2m(2n+)(2n-1(2m+)2n-12n+1 12分 _12 当n=1时c1=3<3 当球666目号号动动)后周 :.对neN都有G+c2++C<3 .2 15分 18解:(1)设双曲线E方程为x2-2y2=(2≠0),:P(2,1)在双曲线E上2=2 双曲线E方程为 22=1. x 4分 (2)(i)设A(x,y1),B(x2,y2) 方法一:设直线lABx=y+n [t2-2≠0 由 x=ty+n 1x2-2y2=2 得(t2-2)y2+2y+n2-2=0, t2+n2>2且t2≠2 =82+8n2-16>0 -2tn 。n2-2 由韦达定理得:少+为=户一24=P-2 第4页共8页 由k知+k-+9-5-20-15-2-0得 x1-2x2-2 (x1-2)(x2-2) 0-10s-2)+0-106-2)=24+6m-20+2)-20u-2)=2z2-2 t2-2 0m-2-022-20u-2》=0 t2-2 ∴.4t2+(4n-4)t+4n-8=0 (t+1)t+n-2)=0..t=-1或t+n-2=0.若t+n-2=0则14:x=y+n可化为 x=t(y-1)+2必过点P(2,1)与条件不符,舍去.∴.t=-1即直线AB斜率为定值-1 10分 方法二:由题可知直线A,PB斜率均存在,且不为0,设直线PA斜率为k,则I4:y=k(x-2)+1, 1pay=-k(c-2)+1 y=k(x-2)+1 由 得(1-2k2)x2+(8k2-4)x-8k2+8k-4=0 x2-2y2=2 1-2k2≠0 { =8k2-4k2-40-2kX-8k2+8k+49>0 k2≠1且k≠1 白市花定理可得:2头42为少旅 1-2k2 -8k 里格-22水+秋+k业-1聚1,放我B斜率为定值 10分 1-2k2 x1-x2 8k 1-2k2 方法三:设PA,PB中点分别为S(xy,T(4y4)则kAB=k. 由2y2=1 得5-2X+2)=0-10+1)=5-25=2y6-)4号= (3=1 22 2 X1-22y3 2k-1 股直线A铅率为k,型。六:而】为码 3-2 同理上。=-k得4=1, 2k+1 x2-22y4 北126,而4—1=-k.y4=122 七4-2 2k-12k+1 4k k8=k7=当4=、,为-y4 2211-2k-2k21-1 10分 七-七2,-(2,)2k(2k-1+,2k+5 -4k 2k2-1+1-2k2)2k2-1 (i)设 PAB外接圆圆心为2(x,y), 方法1:设 PAB的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,:P(2,1)在圆上.F=-5-2D-E,外接圆方程可化 第5页共8页 为x2+y2+Dx+Ey-2D-E-5=0,而直线AB方程为:x=-y+n,将直线AB方程与 PAB的外接圆方程联立 可得2y2+(E-D-2m)y+n2+Dn-2D-E-5=0,由韦达定理可知: h+为=21-B+D D,4-+D1-2D-B-5,面由①法,在1=-1时为+2=-2m=2-r 2 2 2m-B+D=-2m n=B-D,代入”+D1-2D-B-5=2-n得B2-12B-(D+24D+108=0 2 6 2 .(E+D+6)E-D-18)=0.E=-D-6或E=D+18. 若E=D+18,则此时n=3,直线AB方程为x=-y+3经过点P(2,1)不合题意。 若E=一D-6,则此时 MB的外接圆圆心Q乃)与点P2)连线的斜率为 -g-1B+2-D6+2-1 2= k =D2D+4D+4 2 . PAB的外接圆在P(2,1)处的切线方程为y-1=x-2,即y=x-1 17分 方法2:由()法二可得AB中点坐标为 -4k2-22k2+1 ,而由(i)知直线AB斜率为定值-1,故直线AB的 1-2k2'1-2k2 2k2+1 -4k2-2 垂直平分线方程为:y- 1-2k:@,而A的中点坐标为 -4k2+2k1-2k 1-2k2=t 1-2k21-2k2 故直线PA的垂直 平分有为少资 -62 3 ②, ①@联立可得。-1-2k儿1-2k3 而x+yo= -6k2 -2+1-2=3,故 21B的外接圆圆心在直线+y=3上,而P2,也在直线x+y=3上 3 . PAB外接圆在点P处的切线斜率为1 : PAB外接圆在点P处的切线切线方程为y-1=x-2即y=x-1. 17分 方法3:由()法三 -3 %-2k2- 得 6k2-36h2-3-3 1 y0-y4=2(xo-x4) 6k2 6+%=2k2-12k2-12k2-1 x=2k2-1 ∴. PAB的外接圆圆心在直线x+y=3上,而P(2,1)也在直线x+y=3上 ∴. PAB外接圆在点P处的切线斜率为1 :. PAB外接圆在点P处的切线切线方程为y-1=x-2即y=x-1. 17分 第6页共8页