精品解析：湖北武汉市硚口区2025-2026学年八年级上学期期末数学试题

八年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 若分式有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 在未来生活中，人工智能（简称）将不可或缺．下列软件的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 把分式中的，都扩大到原来的倍，那么新分式的值是（ ） A. 保持不变 B. 扩大到原来的倍 C. 扩大到原来的倍 D. 缩小为原来的 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，为了作出，用直尺和圆规作图的方法得到的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 问题探究 求代数式的最小值． 可对变形为， 当，即时，取最小值． 类比迁移，代数式的最小值是（ ） A. B. C. D. 10. 用四张相同的长方形纸片，其长，宽分别为a，b（），按图示拼成一个边长为的大正方形．记大正方形面积为，中间小正方形面积为．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 点关于轴的对称点的坐标是___________. 12. 数据0.0007用科学记数法表示为____. 13. 若分式的值为0，则x的值是______． 14. 如图，在中，分别以点A、点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、点N，作直线分别交，于点D，点E，连接．若，的周长是，则的周长是_______． 15. 如图，在中，，，D是的中点，E在边上，，若F在边上，满足，则四边形的面积是_______． 16. 如图，在中，，，D是边上的定点，E，F分别是边，上的动点（不与点A，B，C重合）．连接，，当的值最小时，的大小是___． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解方程． 18. 分解因式： （1）； （2）． 19. 如图，在中，，，垂足分别为D，E，交于点O，． （1）求证：； （2）求证：． 20. 化简，再求值：，其中． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点A、C是格点，点B在网格线上（非格点）．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个画图任务，每个任务的画线不得超过四条． （1）在图（1）中，画的中线，画线段交于点E，使； （2）在图（2）中，先画线段交于点F，使，再画的高． 22. 某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为，其中． （1）去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ （2）今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． （3）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 23. 问题提出 如图（1），在中，，，D在边上（不与点B，C重合），以为腰作等腰（点A，D，E顺时针排列），满足，且，连接．探究与的数量关系． 特例探究 （1）如图（2），当时，直接写出的大小； （2）如图（3），当时，求的大小； 问题解决 （3）如图1，在的一般情形下，探究与的数量关系． 24. 如图（1），在平面直角坐标系中，过点作轴于点A，作轴于点C，其中m、n满足． （1）直接写出点A、B、C的坐标； （2）如图（2），连接，点D在上，点M在上，且，于点N，求的值； （3）如图（3），点P在四边形内，满足，，连接，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 若分式有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式有意义得条件，解题的关键是熟知分母不等于零． 根据题意分式有意义，得到，再解不等式即可． 【详解】解：分式有意义 则， 解得． 故选：B． 2. 在未来生活中，人工智能（简称）将不可或缺．下列软件的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 3. 下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，需从左边多项式变形到右边积的形式，据此求解即可． 【详解】解：A选项，等号左边是积的形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； B选项，等号左边是多项式，右边是积的形式，符合因式分解定义； C选项，等号左边是多项式，右边不是积的形式，不是因式分解； D选项，等号左边是积的形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解． 故选：B． 4. 把分式中的，都扩大到原来的倍，那么新分式的值是（ ） A. 保持不变 B. 扩大到原来的倍 C. 扩大到原来的倍 D. 缩小为原来的 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质．将变量扩大后代入计算，比较新分式与原分式，即可求解． 【详解】解：原分式为， 和都扩大到原来的倍，新分式为， ∴新分式的值与原分式相同，保持不变． 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 根据以上运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，两项的指数不同，不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； B. ，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，应为，故该选项错误，不符合题意； C. ，幂的乘方，底数不变，指数相乘，且负号的平方为正，故该选项正确，符合题意； D. ，同底数幂相除，底数不变，指数相减，应为，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，已知，为了作出，用直尺和圆规作图的方法得到的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定．利用全等三角形的判定方法判断即可． 【详解】解：由作法得，，， ， ． 故选：A． 7. 如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识．根据三角形内角和定理求出，由折叠得到，根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． ∴， ∴ 故选：C 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列分式方程，根据题意，规定时间为天，慢马送信时间为天，快马送信时间为天，利用速度关系列方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马所需时间为天，快马所需时间为天． ∴慢马速度为里/天，快马速度为里/天． ∵快马速度是慢马速度的倍， ∴． 故选：A． 9. 问题探究 求代数式的最小值． 可对变形为， 当，即时，取最小值． 类比迁移，代数式的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，类比题干中的方法，将代数式通过完全平方公式变形，利用平方的非负性求最小值即可． 【详解】解：∵， 当时，取最小值． 故选：B． 10. 用四张相同的长方形纸片，其长，宽分别为a，b（），按图示拼成一个边长为的大正方形．记大正方形面积为，中间小正方形面积为．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式几何背景问题的求解能力，分式的求值．结合图形面积公式和完全平方公式进行列式、求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， 即， 整理，得， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 点关于轴的对称点的坐标是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”即可求解． 【详解】∵关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数 ∴点P(1,2)关于轴的对称点P1的坐标为. 故答案为 【点睛】考查关于轴对称的点的坐标特征，纵坐标相同，横坐标互为相反数. 12. 数据0.0007用科学记数法表示为____. 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定 【详解】0.0007= 故答案为: 【点睛】此题考查科学记数法一表示较小的数，难度不大 13. 若分式的值为0，则x的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分母不为零，分子为零．根据分式的值为零的条件得：且，即可求解． 【详解】解：根据分式的值为零的条件得：且， 解得：． 故答案为：2． 14. 如图，在中，分别以点A、点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、点N，作直线分别交，于点D，点E，连接．若，的周长是，则的周长是_______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质．根据作图得到是线段的垂直平分线，即可得到，，结合的周长为求解即可得到答案． 【详解】解：由图形可得，是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵，的周长为， ∴， 故答案为：16． 15. 如图，在中，，，D是的中点，E在边上，，若F在边上，满足，则四边形的面积是_______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质．连接，由，，求得，因为D为边的中点，所以，求得，点F与点重合，再根据，求得，根据，计算即可得到问题的答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∵D为边的中点， ∴，， ∵F在边上，满足， ∴点F与点重合或点F与点重合， ∵四边形， ∴只有点F与点重合一种情况， ∵， ∴， ∴， 故答案为：15． 16. 如图，在中，，，D是边上的定点，E，F分别是边，上的动点（不与点A，B，C重合）．连接，，当的值最小时，的大小是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、轴对称的性质；过点A作并延长，过点B作的平行线，与的延长线交于点Q，过点D作于N，交于点H，过点D作于G，作点E关于的对称点M，则点M在上，连接，要使的值最小，则需满足点M、D、F三点共线，且，此时点M与点H重合，点F与点N重合，则点E与点G重合，进而问题可求解． 【详解】解：过点A作并延长，过点B作的平行线，与的延长线交于点Q，如图所示： ∵是等腰三角形，且，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 过点D作于N，交于点H，过点D作于G，作点E关于的对称点M，则点M在上，连接，要使的值最小，则需满足点M、D、F三点共线，且，此时点M与点H重合，点F与点N重合，则点E与点G重合，如图所示， ∴此时点H与点G关于对称，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先将方程两边同乘，将分式方程化成一元一次方程，再解一元一次方程求出的值，最后检验即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， ， ， ， ， 检验，当时，， 故原分式方程的解是． 18. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式和乘法公式是解答的关键． （1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解因式即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，在中，，，垂足分别为D，E，交于点O，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等角对等边． （1）利用判定即可求解； （2）由推出，利用等角对等边得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先根据分式的加减法计算括号内的，再根据分式的乘除法计算得到化简结果，然后代入求值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点A、C是格点，点B在网格线上（非格点）．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个画图任务，每个任务的画线不得超过四条． （1）在图（1）中，画的中线，画线段交于点E，使； （2）在图（2）中，先画线段交于点F，使，再画的高． 【答案】（1） 解：画的中线，画线段交于点E，使；如图所示： （2） 解：先画线段交于点F，使，再画的高．图形如下： 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质； （1）取中点，连接即为的中线；取左边两格格点，线段即为所求，此时根据对称可得，则； （2）以为边作等腰直角三角形，连接与交点即为，此时；根据点与竖直方向距离为4格取线段中点，连接并延长与下一行格线交于点，与交点即为；根据点和点到点竖直方向距离都是1格得到为中点，此时可以证明，得到，，得到，即的高． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为，其中． （1）去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ （2）今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． （3）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】（1）甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2） 类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）整数的值为或． 【解析】 【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），一元一次方程的应用（几何问题），列代数式，异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． 23. 问题提出 如图（1），在中，，，D在边上（不与点B，C重合），以为腰作等腰（点A，D，E顺时针排列），满足，且，连接．探究与的数量关系． 特例探究 （1）如图（2），当时，直接写出的大小； （2）如图（3），当时，求的大小； 问题解决 （3）如图1，在的一般情形下，探究与的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）先证明和都是等边三角形，再证明，求得，进而求解； （2）分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，利用证明，求得，得到是等腰直角三角形，进而求解； （3）作交的延长线于点，求得，推出，再利用证明，即可求得． 【详解】解：（1）∵， ∴在中，，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）作交的延长线于点， ∵中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确添加辅助线、证明三角形全等是解题的关键. 24. 如图（1），在平面直角坐标系中，过点作轴于点A，作轴于点C，其中m、n满足． （1）直接写出点A、B、C的坐标； （2）如图（2），连接，点D在上，点M在上，且，于点N，求的值； （3）如图（3），点P在四边形内，满足，，连接，求的长． 【答案】（1），，； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）原式整理得，利用非负数的性质求得，，结合图形即可求解； （2）根据（1）的结论证明四边形是正方形，求得，作于点，利用等腰三角形的性质求得，设，利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理求得，，得到，据此计算即可求解； （3）以为边在正方形内作等边三角形，通过计算得出点P与点Q重合，即可求得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，， 解得，， ∵在平面直角坐标系中，过点作轴于点A，作轴于点C， ∴，，； 【小问2详解】 解：由（1）知，过点作轴于点A，作轴于点C，又， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴，四边形是正方形， ∴， 作于点， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：以为边在正方形内作等边三角形，如图， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴点P与点Q重合， ∴． 【点睛】本题考查了非负数的性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质．正确作出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $