第7讲 平面直角坐标系 培优讲义 2025--2026学年沪教版（五四制）八年级数学下册

第7讲 平面直角坐标系 精讲精练培优讲义 (平面直角坐标系培优讲义解析版) 目录 思维导图：核心考点，有的放矢 知识梳理：知识点和关键点梳理，查漏补缺 精讲提升：难点内容标注与讲解，能力提升 课后巩固：提升专练，全面突破 一、有序数对 把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号. 2、 平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图： 【规律方法】 （1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. （2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化. （3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征： ① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零． ② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等； 平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等． ③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数； 关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数． ④ 象限角平分线上的点的坐标特征： 一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等； 二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数． 注：反之亦成立． 四、物体位置的坐标表示 1、平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 2、用坐标表示地理位置的一般步骤： (1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； (2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称． 【规律方法】 (1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置． (2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度． 五．两点间的距离公式 六、中点坐标公式 七、点的运动及其坐标的变化 1.坐标系中用坐标求距离及面积 （1）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论： ① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|． ② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|； y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|． ③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|； 平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|． （2）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补. 2.用坐标表示平移 (1)点的平移 点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 【规律方法】 上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换． (2)图形的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 【规律方法】 平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 3.轴对称（关于x轴、y轴对称的点的坐标） （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 八、规律探究与综合应用 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面： ①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关； ②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 一．平面直角坐标系的引入（共7小题） 1．在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　） A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1） 【分析】根据点在第二象限的符号特点横坐标是负数，纵坐标是正数作答． 【解答】解：∵点在第二象限的符号特点是横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴符合题意的只有选项C． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 2．下列说法不正确的是（　　） A．点A（﹣2，3）在第二象限 B．点P（﹣2，3）到y轴的距离为2 C．若P（x，y）中xy＝0，则P点在x轴上 D．若P（x，y）在x轴上，则y＝0 【分析】根据各象限的点的坐标特征，以及坐标轴上点的坐标特征，点到坐标轴的距离，逐项分析判断，即可求解． 【解答】解：A．点A（﹣2，3）在第二象限，故该选项正确，不符合题意； B．点P（﹣2，3）到y轴的距离为2，故该选项正确，不符合题意； C．若P（x，y）中xy＝0，则P点在x轴或y轴上，故该选项不正确，符合题意； D．若P（x，y）在x轴上，则y＝0，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了点到坐标，熟练掌握点的坐标特征进行求解是解决本题的关键． 3．平面直角坐标系中，点A（a，b）在x轴上，点B（m，n）在y轴上，下列结论一定正确的是（　　） A．a＝0，m＝0 B．a＝0，n＝0 C．b＝0，m＝0 D．b＝0，n＝0 【分析】直接利用x，y轴上点的坐标特点得出答案． 【解答】解：∵点A（a，b）在x轴上，点B（m，n）在y轴上， ∴b＝0，m＝0， 故选：C． 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握坐标轴上点的坐标特点是解题关键． 4．在直角坐标平面内，如果点P（m，n）在第四象限，那么点Q（n，m）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据第四象限点的坐标特征可得m＞0，n＜0，然后根据第二象限点的坐标特征，即可解答． 【解答】解：∵点P（m，n）在第四象限， ∴m＞0，n＜0， ∴点Q（n，m）所在的象限是第二象限， 故选：B． 【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键． 5．已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B在y轴上且，则点B的坐标为 　（0，）或（0，）　 ． 【分析】设B（0，y），根据平面直角坐标系中两点间的距离公式列关于y的方程并求解即可． 【解答】解：设B（0，y）． 根据题意，得32+y2＝（2）2， 解得y＝±， ∴点B的坐标为（0，）或（0，）． 【点评】本题考查点的坐标，掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式是解题的关键． 6．如果点p（x，y）的坐标满足x+y＝xy，那么称点P为“美丽点”，若某个“美丽点”M到y轴的距离为2，则点M的坐标为 　（2，2）或（﹣2，）　 ． 【分析】直接利用某个“美丽点”到y轴的距离为2，得出x的值，进而求出y的值求出答案． 【解答】解：∵某个“美丽点”M到y轴的距离为2， ∴x＝±2， ∵x+y＝xy， ∴y±2＝±2y， 解得：y＝2或y， 则M点的坐标为：（2，2）或（﹣2，）． 故答案为：（2，2）或（﹣2，）． 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确分类讨论是解题关键． 7．点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，则P点坐标为 　（2，0）　 ． 【分析】根据x轴上点的坐标特点解答即可． 【解答】解：∵点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上， ∴这点的纵坐标是0， ∴m+1＝0，解得，m＝﹣1， ∴横坐标m+3＝2，则点P的坐标是（2，0）． 【点评】本题主要考查了坐标轴上点的坐标的特点：x轴上点的纵坐标为0． 二．简单图形的坐标表达（共13小题） 8．我们把有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．如图，在5×7的网格中，四边形ABCD是“等邻边四边形”，顶点A、B、C在网格格点上，如果点D也在网格格点上，那么点D的位置有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据“等邻边四边形”的定义，找出符合要求的点D的位置即可． 【解答】解：如图所示， 当AB＝AD时， 当CD＝CB时， 所以符合要求的点D的位置有3个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意找出符合要求的点D的位置是解题的关键． 9．如图，直线a⊥b，在平面直角坐标系中，x轴∥a，y轴∥b，已知点A（﹣1，4）、点B（2，﹣1），那么坐标原点是点（　　） A．O1 B．O2 C．O3 D．O4 【分析】根据题意和点A和点B的坐标，可以画出相应的坐标系，然后即可得哪个点为原点． 【解答】解：由题意可得， 平面直角坐标系如图所示， 故坐标原点是点O2， 故选：B． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的平面直角坐标系． 10．在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（﹣4，0），坐标轴上有一点C，使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C一共有几个（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【分析】分别讨论当BC＝AB、AC＝AB和AC＝BC时三种情况下，坐标轴上有几个这样的C点即可． 【解答】解：当BC＝AB时，以点B为圆心、AB为半径画圆，与坐标轴分别交于点C1、C2、C3（不包括点A）． 当AC＝AB时，以点A为圆心、AB为半径画圆，与坐标轴分别交于点C4、C5、C6（不包括点B）． 当AC＝BC时，点C应该在AB的垂直平分线上． ∵OA＝OB， ∴点O在AB的垂直平分线上． 综上，这样的C点共有7个，分别是点C1、C2、C3、C4、C5、C6、O． 故答案为：C． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，一定要考虑到所有情况． 11．在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B（﹣6，0），坐标轴上有一点C，使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C一共有（　　）个 A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】分别讨论当BC＝AB、AC＝AB和AC＝BC时三种情况下，坐标轴上有几个这样的C点即可． 【解答】解：当BC＝AB时，以点B为圆心、AB为半径画圆，与坐标轴分别交于点C1、C2、C3（不包括点A）． 当AC＝AB时，以点A为圆心、AB为半径画圆，与坐标轴分别交于点C4、C5、C6（不包括点B）． 当AC＝BC时，点C应该在AB的垂直平分线上． ∵OA＝OB， ∴点O在AB的垂直平分线上． 综上，这样的C点共有7个，分别是点C1、C2、C3、C4、C5、C6、O． 故答案为：C． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，一定要考虑到所有情况． 12．已知点P在x轴上，点A（3，1）、点B（0，2），且，则点P的坐标　（1，0）或（）　 ． 【分析】设点P的坐标为（m，0），再结合进行计算即可． 【解答】解：设点P的坐标为（m，0）， 因为点A（3，1）、点B（0，2），且， 所以， 解得， 所以点P的坐标为（1，0）或（）． 故答案为：（1，0）或（）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意建立方程是解题的关键． 13．把点绕原点顺时针应转90°后，得到的点的坐标是 　（，﹣2）　 ． 【分析】由于A的坐标为（2，），绕原点顺时针旋转90°得到的点B，根据坐标系即可确定B的坐标． 【解答】解：如图，∵A的坐标为（2，），绕原点顺时针旋转90°得到的点B， ∴根据旋转过程知道B的坐标为（，﹣2）． 故答案为：（，﹣2）． 【点评】此题主要考查了坐标与图形的旋转的关系，解题的关键是把握旋转方向和旋转的性质． 14．点A（﹣2，a+3）到y轴的距离等于 　2　 ． 【分析】根据点到y轴的距离是其横坐标的绝对值即可解决问题． 【解答】解：因为点A坐标为（﹣2，a+3）， 所以点A到y轴的距离为：|﹣2|＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知点到y轴的距离是其横坐标的绝对值是解题的关键． 15．在直角坐标平面内，经过点M（5，﹣6）且垂直于y轴的直线可以表示为直线 y＝﹣6　 ． 【分析】垂直于y轴的直线，纵坐标相等，都为﹣6，所以为直线：y＝﹣6． 【解答】解：由题意得：经过点A（5，﹣6）且垂直于y轴的直线可以表示为直线为：y＝﹣6， 故答案为：y＝﹣6． 【点评】此题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是抓住过某点的坐标且垂直于y轴的直线的特点：纵坐标相等． 16．我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图1，P是斜坐标系xOy中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，若M、N在x轴、y轴上分别对应实数a、b，则有序实数对（a，b）叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标．如图2，在斜坐标系xOy中，已知点B（4，0）、点C（0，3），P（x，y）是线段BC上的任意一点，试求x、y之间一定满足的一个等量关系式：　3x+4y＝12　 ． 【分析】过点P作PD∥OB交OC于点D，过点P作PE∥OC交BO于点E，根据平行线分线段成比例可得，整理后即可求x、y的关系式． 【解答】解：过点P作PD∥OB交OC于点D，过点P作PE∥OC交BO于点E， ∵PD∥OB， ∴， ∵OB＝4，OC＝3， ∴， ∴3x+4y＝12， 故答案为：3x+4y＝12． 【点评】本题考查实数与数轴，将所求的问题与平面直角坐标系相类比，利用平行线分线段成比例是解题的关键． 17．点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为A、B．若|PA|+|PB|＝6，则点P称为“好点”．例如：点M（﹣2，4），因为|﹣2|+|4|＝6，所以点M是“好点”． （1）在点A（3，﹣3），，C（﹣1，5）中，“好点”是 A和C ； （2）若D（2a，﹣3a）是“好点”，求a的值． 【分析】（1）根据“好点”的定义逐一判断即可得答案； （2）根据“好点”的定义列出方程，根据绝对值的性质求出a值即可得答案． 【解答】解：（1）∵|3|+|﹣3|＝6， ∴A是“好点”， ∵， ∴B不是“好点”， ∵|﹣1|+|5|＝6， ∴C是“好点”． ∴A和C是好点． 故答案为：A和C； （2）∵D（2a，﹣3a）是“好点” ∴|2a|+|﹣3a|＝6， ①当a＞0时，5a＝6， 解得； ②当a＜0时，﹣5a＝6， 解得． ∴． 【点评】本题考查点的坐标、绝对值的性质及解一元一次方程，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；正确理解“好点”的定义，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． 18．如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（﹣2，8），（﹣11，6），（﹣14，0），（0，0）． （1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的？ （2）如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？ 【分析】利用分割法，把四边形分割成两个三角形加上一个梯形后再求面积，或补直角三角形成长方形． 【解答】解：（1）过点B，A分别作BF，AE垂直于x轴，所以四边形的面积3×6（6+8）×92×8＝80； （2）根据平移的性质可知，平移后的图形形状和大小不变，所以所得的四边形面积是80． 【点评】主要考查了点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用．要掌握两点间的距离公式有机的和图形结合起来求解的方法． 19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为（﹣5，﹣1）、（﹣3，﹣4）、（﹣1，﹣3）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1． （2）已知点P在x轴上，且PA＝PC，则点P的坐标是 　（﹣2，0）　 ． （3）若y轴上存在点Q，使△QAC的周长最小，求点Q的坐标． 【分析】（1）根据题意画出△A1B1C1即可． （2）由PA＝PC得出点P在AC的垂直平分线上，再结合图形即可解决问题． （3）连接点A和点C1，根据轴对称的性质得出AC1与y轴的交点即为△QAC的周长最小时点Q的位置，据此求出点Q的坐标即可． 【解答】解：（1）如图所示， △A1B1C1即为所求作的三角形． （2）因为PA＝PC， 所以点P在AC的垂直平分线上． 如图所示， 点P的坐标为（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0）． （3）由题知， AC为定值， 则当QA+QC最小时，△QAC的周长最小． 连接AC1， 根据轴对称的性质可知， 当点Q在AC1与y轴的交点处时，QA+QC最小． 令直线AC1的函数解析式为y＝kx+b， 则， 解得， 所以直线AC1的函数解析式为y． 令x＝0得，y， 所以点Q的坐标为（0，）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质及作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解题的关键． 20．已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列各题． （1）点P在y轴上，求点P的坐标； （2）点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥y轴，求点P的坐标； （3）若点P到x轴、y轴的距离相等，求点P的坐标． 【分析】（1）根据在x轴上的点的纵坐标为0，进行列式计算，即可作答； （2）根据直线PQ∥y轴，得出点P和点Q的横坐标是相等的，进行列式计算，即可作答； （3）根据点P到x轴、y轴的距离相等，得出点P的纵坐标和横坐标互为相反数或相等，求出点P坐标即可． 【解答】解：（1）由条件可得2a﹣2＝0， ∴a＝1， ∴a+5＝6， ∴点P的坐标为（0，6）； （2）由条件可得2a﹣2＝4， ∴a＝3， ∴a+5＝8， ∴点P的坐标为（4，8）； （3）∵P（2a﹣2，a+5）到x轴、y轴的距离相等， ∴|2a﹣2|＝|a+5|， ∴2a﹣2＝a+5或2a﹣2＝﹣（a+5）， 解得a＝7或a＝﹣1， 当a＝7时，2a﹣2＝12，a+5＝12，则P（12，12）， 当a＝﹣1时，2a﹣2＝﹣4，a+5＝4，则P（﹣4，4）， 综上所述，点P的坐标为（﹣4，4）或（12，12）． 【点评】本题考查了求点的坐标以及已知点所在的象限求参数、坐标与图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三．物体位置的坐标表示（共5小题） 21．如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若表示嘴部点A的坐标为（﹣2，1），表示尾部点B的坐标为（3，﹣1），则表示足部点C的坐标为（　　） A．（0，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（0，﹣1） 【分析】根据A（﹣2，1）或B（3，﹣1）确定原点位置并建立坐标系，从而得到点C的坐标． 【解答】解：根据A（﹣2，1）或B（3，﹣1）确定原点位置并建立坐标系： 根据坐标系，表示足部点C的坐标为（1，﹣2）． 故选：C． 【点评】本题考查坐标确定位置，根据已知点的坐标确定原点位置并建立坐标系是解题的关键． 22．教室里，小明，小亮，小红的位置如图所示，如果小明的位置用（0，0）表示，小亮的位置用（3，4）表示，则小丽的位置可以表示为（　　） A．（1，2） B．（2，1） C．（2，2） D．（1，3） 【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案． 【解答】解：如图所示： 小丽的位置可以表示为（2，1）． 故选：B． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 23．为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为（0，1），（2，1），则“技”的坐标为　（3，2）　 ． 【分析】根据“创”“新”的坐标可以建立相应的平面直角坐标系，然后写出“技”的坐标即可． 【解答】解：直角坐标系如下所示， 由上可得，“技”的坐标为（3，2）， 故答案为：（3，2）． 【点评】本题考查坐标确定位置，根据题目条件建立相应的平面直角坐标系是解题关键． 24．五子棋是全国智力运动会竞技项目之一，它的其中一种比赛规则是只要同色五子先成一条直线就算获胜．如图是两人玩的一盘五子棋，若白①的位置是（1，﹣5），黑①的位置是（2，﹣4），现轮到黑棋走，你认为黑棋放在 　（3，﹣1）或（7，﹣5）．　 的位置就可以获胜． 【分析】根据题意得出原点位置进而得出答案黑棋应该放的位置． 【解答】解：如图所示，黑旗放在图中三角形位置，就能获胜． ∵白①的位置是：（1，﹣5），黑②的位置是：（2，﹣4）， ∴O点的位置为：（0，0）， ∴黑棋放在（3，﹣1）或（7，﹣5）位置就能获胜． 故答案为：（3，﹣1）或（7，﹣5）． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 25．2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于2025年2月7日在哈尔滨市举行．如图，将本次运动会的会徽放入正方形网格中，若点A的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（2，2），则点C的坐标为　（3，﹣1）　 ． 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，B两点的坐标建立好坐标系，即可确定点C的坐标． 【解答】解：∵点A（﹣1，2），点B（2，2）， 建立平面直角坐标系如图： 由图可知，点C的坐标为（3，﹣1）， 故答案为：（3，﹣1）． 【点评】本题主要考查了坐标确定位置，解答本题的关键是利用点A，点B的坐标建立平面直角坐标系． 四．两点间的距离公式（共6小题） 26．在平面直角坐标系xOy中，点A（a，5），B（0，b）的距离为4，且直线AB∥x轴，则a+b的算术平方根为　3或1　 ． 【分析】先理解点A（a，5），B（0，b）的距离为4，且直线ABx轴，得a＝4或﹣4，b＝5，再求出a+b的算术平方根，即可作答． 【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点A（a，5），B（0，b）的距离为4，且直线AB∥x轴， 依题意得：， 解得：a＝4或﹣4，b＝5， 当a＝4时，a+b＝4+5＝9， ∴a+b的算术平方根为3， 当a＝﹣4时，a+b＝5+（﹣4）＝1， ∴a+b的算术平方根为1． 故答案为：3或1． 【点评】本题考查两点间的距离公式，求出b＝5，a＝±4是解答本题的关键． 27．DeepSeek公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：A（1，6）表示起点，B（5，8）表示终点．如果软件需要在线段AB之间设置一个中转站，且中转站到点A和点B的距离相等，则中转站的坐标为 　（3，7）　 ． 【分析】设中转站的坐标为（x，y），根据中点坐标公式进行求解即可． 【解答】解：设中转站的坐标为（x，y）， 由条件可知中转站为AB的中点， ∴， ∴中转站的坐标为（3，7）． 故答案为：（3，7）． 【点评】本题主要考查了中点坐标公式，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键． 28．A（0，a），B（3，5）是平面直角坐标系中的两点，线段AB长度的最小值为 　3　 ． 【分析】由A（0，a）得A在y轴上，故若D线段AB的长度最小，垂线段最短，那么当AB⊥y轴时，线段AB长度最小，即AB＝3． 【解答】解：如图． ∵A（0，a）， ∴A在y轴上． ∴线段AB的长度为B点到y轴上点的距离． 若使得线段AB长度的最小，由垂线段最短， ∴当A在（0，5）时，即AB⊥y轴，线段AB长度最小． ∴（dAB）min＝3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查平直角坐标系点的坐标以及垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 29．在平面直角坐标系xOy中，点P从点（﹣1，3）出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动；同时，点Q从点（7，﹣1）出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度运动．设运动时间为t，当P，Q两点间的距离最短时，t的值为 　　 ． 【分析】根据列方程即可得到结论． 【解答】解：设运动时间为t，∵点P从点（﹣1，3）出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动；同时，点Q从点（7，﹣1）出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度运动， ∴t秒后P（﹣1+t，3），Q（7﹣2t，﹣1）， ∵P，Q两点间的距离最短时，PQ∥y轴， 即P，Q两点的横坐标相等， ∴﹣1+t＝7﹣2t， ∴t， ∴当P，Q两点间的距离最短时，t的值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 30．“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言．说明数形结合是解决许多数学问题的有效思想．如图，在平面直角坐标系内，以点C（2，1）为圆心，以1为半径的圆上有一动点P（m，n），A，B两点均在y轴上，且A（0，1），B（0，﹣1），则PA2+PB2为 　2（m2+n2）+2　 （用含m、n的代数式表示），PA2+PB2的最大值为 　34　 ． 【分析】由两点的距离公式即可求出PA2+PB2＝2（m2+n2）+2，PA2+PB2＝2OP2+2，当P在OC延长线上时，PO最大，此时PA2+PB2最大，求出PO的长，即可求出PA2+PB2最大值． 【解答】解：∵PA2＝m2+（n﹣1）2，PB2＝m2+（n+1）2， ∴PA2+PB2＝2（m2+n2）+2； ∵PO2＝m2+n2， ∴PA2+PB2＝2OP2+2， ∴当OP最大时，PA2+PB2最大，当P在OC延长线上时，PO最大， ∵C的坐标是（2，1）， ∴OC3， ∴PO＝3+1＝4， ∴PA2+PB2＝2×42+2＝34， ∴PA2+PB2最大值是34． 故答案为：2（m2+n2）+2，34． 【点评】本题考查两点的距离公式，坐标与图形的性质，关键是掌握两点的距离公式． 31．【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是重要的思想方法，阅读材料，解答问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【解题格式】解：如图，设BC＝x，CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，则AB，， 当A，B，D三点共线时，AB+DB最短，此时AB+BD＝AD． ． 故代数式的最小值为13． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为　13　 ； （2）变式：利用图3，参考解题格式，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）借助图4，已知正数x满足，求x的值． 【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【解答】解：（1）∵AH＝3+2＝5，HD＝12， ∴AD13， ∴代数式的最小值是13， 故答案为：13； （2）∵AC＝2，DF＝1，CF＝5，AH＝2+1＝3，HD＝5， ∴AD， ∴代数式的最小值是； （3）如图4，CD⊥BC于D，AC＝8，BC＝15，设CD＝x， 则AD，BD， ∴AB＝AD+BD17， ∵82+152＝172， ∴∠ACB＝90°， ∴AC•BCAB•CD， ∴8×1517×x， ∴x． 【点评】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题． 五．平移与轴对称（共11小题） 32．在平面直角坐标系中，点M（6，﹣6）关于x轴对称的点是（　　） A．（6，﹣6） B．（6，6） C．（﹣6，6） D．（﹣6，﹣6） 【分析】关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为相反数． 【解答】解：点M（6，﹣6）关于x轴对称的点为（6，6）． 故选：B． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标的特征是关键． 33．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（　　） A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3） 【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数解答即可． 【解答】解：根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数可知： 点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣3）， 故选：D． 【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称，熟练掌握该知识点是关键． 34．大量实验表明，平面镜成像有“像与物体关于平面镜对称”的特点．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以桌面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某刻火焰顶尖S点的坐标是（x，2），此时对应的虚像S′的坐标是（3，2），则x的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 【分析】根据平面镜成像原理，点S与S'关于y轴对称，根据对称的性质可得x的值． 【解答】解：关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同， 由图和题意，得：x＝﹣3， 故选：B． 【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解此题的关键． 35．在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点A（2，﹣1）平移后的对应点为A′（5，2），则点B（﹣3，4）平移后的器对应点B′的坐标是（　　） A．（0，7） B．（﹣6，1） C．（1，5） D．（﹣1，6） 【分析】根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为点A坐标为（2，﹣1），且平移后的对应点为A′（5，2）， 则5﹣2＝3，2﹣（﹣1）＝3． 因为点B坐标为（﹣3，4）， 则﹣3+3＝0，4+3＝7， 所以点B（﹣3，4）平移后的器对应点B′的坐标为（0，7）． 故选：A． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移及坐标确定位置，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键． 36．若平面直角坐标系中，O为坐标系原点，△ABO关于y轴对称，点A的坐标为（1，﹣2），则点B的坐标为　（﹣1，﹣2）　 ． 【分析】根据题意，得出点A和点B关于y轴对称，再结合点A的坐标即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为O为坐标系原点，△ABO关于y轴对称， 所以点A和点B关于y轴对称． 又因为点A坐标为（1，﹣2）， 所以点B的坐标为（﹣1，﹣2）． 故答案为：（﹣1，﹣2）． 【点评】本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟知关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 37．如图所示的是蜡烛的平面镜成像原理图，以桌面所在直线为x轴，镜面所在直线为y轴建立平面直角坐标系．若火焰顶部点P的坐标是（﹣4，2），则对应虚像顶部点Q的坐标是　（4，2）　 ． 【分析】根据题意得出P点与Q点关于y轴对称，再根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同解答即可． 【解答】解：由题意得对应虚像顶部Q点的坐标是（4，2）， 故答案为：（4，2）． 【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特点，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 38．已知M（a﹣1，3）和N（2，b+1）关于x轴对称，则（a+b）2025的值为　﹣1　 ． 【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，列出方程求解a和b，再根据有理数的乘方法则进行计算即可． 【解答】解：由条件可知横坐标相等：a﹣1＝2，纵坐标互为相反数：b+1＝﹣3． 解得：a＝3；b＝﹣4． ∴（a+b）2025＝（3﹣4）2025＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 39．点（﹣1，3）向右平移2个单位得到的点的坐标为　（1，3）　 ． 【分析】点的平移变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据此规律，点向右平移时，横坐标增加平移单位，纵坐标不变． 【解答】解：根据点的平移变化规律可知： 点（﹣1，3）向右平移2个单位， ∴横坐标增加2，即﹣1+2＝1，纵坐标不变，仍为3， 故答案为：（1，3）． 【点评】本题考查坐标系中点的平移规律．熟练掌握该知识点是关键． 40．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），我们定义它们两点间的坐标距离如下： 若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1和点P2的坐标距离为|x1﹣x2|； 若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1和点P2的坐标距离为|y1﹣y2|． 已知点A（3，2），将点A先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B． （1）点B的坐标为 　（6，4）　 ，A、B两点间的坐标距离为 　3　 ； （2）M为x轴正半轴上一点，N为y轴正半轴上一点， ①若点M与点A之间的坐标距离等于4，求点M的坐标； ②若M、N与点A之间的坐标距离均为3，求M、N两点间的坐标距离． 【分析】（1）根据平移坐标的变化规律得出点B的坐标，再求出|x1﹣x2|与|y1﹣y2|的值，即可得出点A、点B的坐标距离； （2）①根据两点间的坐标距离的定义，由点M（m，0）与点A（3，2）之间的坐标距离等于4，可求出m＝7，进而得出点M的坐标； ②根据两点间的坐标距离的定义，可确定n的取值范围，再根据两点间的坐标距离的定义进行解答即可． 【解答】解：（1）将点A（3，2）先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B，则点B（6，4）， A（3，2），B（6，4）， ∵|3﹣6|＝3，|2﹣4|＝2， ∴|3﹣6|＞|2﹣4|， ∴A、B两点间的坐标距离为3， 故答案为：（6，4），3； （2）设点M（m，0），N（0，n）， ①∵点M（m，0）与点A（3，2）之间的坐标距离等于4， ∴|m﹣3|＝4， 解得m＝7或m＝﹣1＜0舍去， ∴点M（7，0）； ②∵点M（m，0）与点A（3，2）之间的坐标距离等于3， ∴|m﹣3|＝3， 解得m＝6或m＝0（舍去）， ∴点M（6，0）， 又∵点N（0，n）与点A（3，2）之间的坐标距离等于3， ∴|n﹣2|≤3， ∴﹣1≤n≤5， 又∵n＞0， ∴0＜n≤5， ∵点M（6，0），点N（0，n），而0＜n≤5， ∴|6﹣0|＞|0﹣n|， ∴M、N两点间的坐标距离是6． 【点评】本题考查平移坐标的变化以及新定义运算，理解“两点间的坐标距离”的定义，掌握平移坐标的变化规律是正确解答的关键． 41．【阅读材料】定义：在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P（a，b），如果把点P平移，得到点Q（a+t，b﹣t），那么就把Q叫做点P的“t型平移”点． 例如：当t＝﹣5时，点M（2，4）的“﹣5型平移”点的坐标就是N（﹣3，9）． 【问题解决】 （1）点A（3，2）的“3型平移”点的坐标为　（6，﹣1）　 ； 若点（4，4）的“t型平移”点的坐标是（6，m），则t＝　2　 ，m＝　2　 ； （2）已知线段AB的两个端点分别是A（1，1），B（3，1）． ①端点A，B的“﹣1型平移”点分别是A1，B1，请在图中画出线段AB及线段AB1； ②若线段AB上的每个点作“t型平移”后，得到的线段与坐标轴有公共点，求t的取值范围． 【分析】（1）直接根据“t型平移”定义求解即可； （2）①直接根据“t型平移”定义求解得A1、B1坐标，进而根据坐标画图即可； ②根据“t型平移”定义结合图形，求得t的最大值和最小值即可得到结论． 【解答】解：（1）将点A（3，2）进行“3型平移”的对应点坐标为（3+3，2﹣3），即（6，﹣1）， 点（4，4）的“t型平移”点的坐标是（4+t，4﹣t）， 则4﹣t＝m，4+t＝6， 解得m＝2，t＝2， 故答案为：（6，﹣1）；2；2； （2）①∵端点A，B的“﹣1型平移”点分别是A1，B1， ∴B1（3﹣1，1+1），A1（1﹣1，1+1）， 即A1（0，2），B1（2，2）， 如图，线段AB、线段A1B1即为所求， ； ②当平移后得到的线段与坐标轴有公共点时，则或1﹣t＝0， 解得﹣3≤t≤﹣1或t＝1， 即线段AB上的每个点作“t型平移”后，得到的线段与坐标轴有公共点，﹣3≤t≤﹣1或t＝1． 【点评】本题考查坐标与图象变换之平移，理解新定义，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法求解是解答的关键，属于中考创新题型． 42．（1）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（﹣3，m）与点Q（n，2）关于x轴对称，求m﹣n的值． （2）在△ABC中，∠A＝∠B﹣40°，∠C＝∠A+50°，求∠B的度数． 【分析】（1）先根据点坐标关于x轴对称的变换规律求出m，n的值，再代入计算即可得； （2）先用∠B表示出∠A和∠C，再利用三角形内角和定理计算即可解决问题． 【解答】解：（1）∵点M（﹣3，m）与点Q（n，2）关于x轴对称， ∴m＝﹣2，n＝﹣3， ∴m﹣n＝﹣2﹣（﹣3）＝1； （2）∴∠A＝∠B﹣40°，∠C＝∠A+50°， ∴∠C＝∠B﹣40°+50°＝∠B+10°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B﹣40°+∠B+∠B+10°＝180°， 解得∠B＝70°． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标和三角形内角和定理，熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征和三角形内角和定理是解题关键． 1．2026年某智慧物流企业推出“垂直航线无人机巡检”服务．如图，设基站坐标为原点O（0，0），无人机从巡检起点A（﹣3，1）出发，沿垂直于x轴的固定航线匀速飞行至巡检终点B（﹣3，﹣5）．当无人机位置C（x，y）到基站O的距离大于OA的长度时，需启动“信号增强模式”以保障通信稳定．当无人机处于“信号增强模式”时，y的取值范围为（　　） A．﹣5＜y≤﹣1 B．y＜1 C．﹣1＜y＜1 D．﹣5≤y＜﹣1 【分析】根据题意，求出点A关于x轴的对称点的坐标，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为点A坐标为（﹣3，1）， 则点A关于x轴的对称点D的坐标为（﹣3，﹣1）． 由轴对称的性质可知，OA＝OD． 因为无人机位置C（x，y）到基站O的距离大于OA的长度时，需启动“信号增强模式”以保障通信稳定， 所以当点C在线段BD上时（不包含端点），无人机处于“信号增强模式”， 则﹣5≤y＜﹣1． 故选：D． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意得出点A关于x轴对称点的坐标并据此求出y的取值范围是解题的关键． 2．已知点M（1﹣m，m﹣3），则点M不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据各个象限的点的坐标特点，列出不等式组，不等式组无解则点M不可能在该象限． 【解答】解：点M不可能在第一象限，理由如下： 点M的坐标是（1﹣m，m﹣3），若点M在第一象限，则有： ， ∴解①得m＜1， 解②得m＞3， ∴不等式组无解，符合题意； ∴点M不可能在第一象限； 点M的坐标是（1﹣m，m﹣3），若点M在第二象限，则有： ， ∴解①得m＞1， 解②得m＞3， ∴不等式组解集是m＞3，不符合题意； 点M的坐标是（1﹣m，m﹣3），若点M在第三象限，则有： ， ∴解①得m＞1， 解②得m＜3， ∴不等式组解集是1＜m＜3，不符合题意； 点M的坐标是（1﹣m，m﹣3），若点M在第四象限，则有： ， ∴解①得m＜1， 解②得m＜3， ∴不等式组解集是m＜1，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点并正确地列出不等式组或方程是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（2，0），C（a，a+6），D为线段BC的中点，线段AD交线段OC于点E，当线段OE最短时，此时点E的坐标为（　　） A．（，） B．（﹣1，1） C．（，1） D．（，） 【分析】根据题目中给的坐标，可以求出AD、OC的直线解析式，交点坐标可以用a表示出来，用两点之间距离公式，用配方法求出最值，相应的E点坐标就能解出． 【解答】解：∵D为线段BC的中点， ∴D点坐标为（，）， ①当a≠0时，设AD直线解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将A（﹣1，0），D（，）两点代入y＝kx+b，解得k＝b， ∴yx， 设OC直线解析式为y＝kx（k≠0）， 将C（a，a+6）代入到y＝kx，解得yx， 联立，解得x，y， ∴E点坐标为（，）， ∴OE，即当a＝﹣3时，OE最短，OE，即E（，）， ②当a＝0时，即D（1，3），AD直线解析式为y（x+1），由于OC在y轴上， 故x＝0时，y，即E（0，），OE，故当a＝﹣3时，OE最短，此时E（，）， 故选：A． 【点评】本题考查了动点问题，利用数形结合思维解决问题，联立方程求出交点坐标，难点在于要分类讨论，注意a的取值情况． 4．已知直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣5，0），C（﹣5，4），连接原点O与顶点A，则下列线段中长度最长的是（　　） A．OA B．AB C．BC D．AC 【分析】根据勾股定理即可求解． 【解答】解：由条件可知OA＝2，AB＝﹣2﹣（﹣5）＝3，BC＝4， ∴， ∴最长的线段是AC， 故选：D． 【点评】本题考查了坐标系中求两点距离，熟练掌握该知识点是关键． 5．已知点P（m，m﹣1），Q（2，1），则线段PQ的长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据两点间距离公式得到PQ，利用二次函数的最值即可求解． 【解答】解：∵ ∴， ∵， ∴当时，有最小值，即PQ有最小值， ∴线段PQ的长的最小值为， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的性质，两点间距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），∠AOB＝∠BAO＝45°，则点B的坐标为　（﹣1，1）　 ． 【分析】过点A作y轴的垂线，垂足为M，根据题意得出三角形BMO是等腰直角三角形即可解决问题． 【解答】解：过点A作y轴的垂线，垂足为M， ∵∠AOB＝∠BAO＝45°， ∴∠ABO＝90°，AB＝BO． ∵BM⊥y轴， ∴AM＝OM． ∵点A（0，2）， ∴OA＝2， ∴AM＝OM＝1． 又∵∠OBM＝∠BOM＝45°， ∴BM＝OM＝1， ∴点B的坐标为（﹣1，1）． 故答案为：（﹣1，1）． 【点评】本题主要考查了坐标与性质，能根据题意分别求出BM及OM的长是解题的关键． 7．在平面直角坐标系中，点P（4，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是　（﹣4，﹣1）　 ． 【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可． 【解答】解：点P（4，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是（﹣4，﹣1）， 故答案为：（﹣4，﹣1）． 【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于y轴对称的两点，纵坐标相同是解题的关键． 8．在平面直角坐标系xOy中，点A（4，1）与点B关于x轴对称，则点B坐标为　（4，﹣1）　 ． 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点A（4，1）与点B关于x轴对称，则点B坐标为（4，﹣1）． 故答案为：（4，﹣1）． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数的规律是解题关键． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B（4，3），P是x轴上的一个动点．作OQ⊥AP，垂足为Q，则点Q到直线AB的距离的最大值为　　 ． 【分析】作BH⊥OA于H，则可得H（0，3），先判断点Q在以OA为直径的圆上，即可得到QH长为定值，当Q，H，C在同一直线上，且QH⊥BC时，Q点到AB的距离最大，利用面积法计算出HC，则点Q到直线AB的距离的最大值为CQ＝CH+GH． 【解答】解：∵点A（0，6），点B（4，3）， ∴AB5， 如图，作BH⊥OA于H，过H作NC⊥AB于C，则H（0，3），HC， ∴H点为OA的中点， ∵OQ⊥PA， ∴∠OQA＝90°， ∴点Q在以OA为直径的圆上， 连接QH，则QHAO＝3， 如图，当Q，H，C在同一直线上，且QH⊥BC时，Q点到AB的距离最大， 此时，CQ＝QH+CH＝3， 即点Q到直线AB的距离的最大值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了坐标与图形性质以及垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 10．已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列问题． （1）点P在x轴上，求出点P的坐标； （2）点Q的坐标（4，5），直线PQ∥x轴，求出点P的坐标； （3）若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，求a2024+2024的值． 【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0，可得关于a的方程，解得a的值，再求得点P的横坐标即可得出答案． （2）根据平行于x轴的直线的纵坐标相等，可得关于a的方程，解得a的值，再求得横坐标即可得出答案． （3）根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到x轴、y轴的距离相等，可得关于a的方程，解得a的值，再代入要求的式子计算即可． 【解答】解：（1）∵点P在x轴上， ∴a+5＝0， ∴a＝﹣5， ∴2a﹣2＝2×（﹣5）﹣2＝﹣12， ∴点Q的坐标（4，5），直线PQ∥x轴，则点P的坐标为（﹣12，0）； （2）点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥x轴， ∴a+5＝5， ∴a＝0， ∴2a﹣2＝﹣2， ∴点P的坐标为（﹣2，5）； （3）∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， ∴横纵坐标互为相反数， ∴2a﹣2＝﹣（a+5）， ∴2a﹣2+a+5＝0， ∴a＝﹣1， ∴若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，则a2024+2024＝（﹣1）2024+2024＝1+2024＝2025． 【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键． 11．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣1，2）的“长距”为 　2　 ； （2）若点B（2a﹣3，﹣5）是“完美点”，求a的值； （3）若点C（3b﹣2，﹣2）的长距为4，且点C在第四象限内，点D的坐标为（﹣5，9﹣2b），试说明点D是“完美点”． 【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据完美点的定义可得|2a﹣3|＝|﹣5|，求出答案； （3）先根据“长距”是4求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可． 【解答】解：（1）∵A（﹣1，2）， ∴点A到x轴的距离是2，到y轴的距离是1， ∴点A（﹣1，2）的“长距”为2； 故答案为：2； （2）∵点B（2a﹣3，﹣5）是“完美点”， ∴|2a﹣3|＝|﹣5|， ∴2a﹣3＝5或2a﹣3＝﹣5， 解得a＝4或a＝﹣1； （3）∵点C（3b﹣2，﹣2）的长距为4且点C在第四象限内， ∴3b﹣2＝4， 解得b＝2， ∴9﹣2b＝9﹣4＝5， ∴点D的坐标为（﹣5，5）， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴D是“完美点”． 【点评】本题主要考查了点的坐标，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键． 12．小明在探索平面直角坐标系中任意两点A（x1，y1）、B（x2，y2）之间的距离时，进行了如下的分类讨论：当AB∥x轴时，A、B两点的纵坐标相同，将其类比迁移到数轴上任意两点间的距离，可得AB＝|x1﹣x2|；当AB∥y轴时，A、B两点的横坐标相同，同样将其类比迁移到数轴上任意两点间的距离，可得AB＝|y1﹣y2|；当A、B两点的横、纵坐标都不同时，通过构造如图所示的直角三角形，由勾股定理．以下是小明同学给出的部分推导过程，请你将其补充完整． 解：过A、B分别向x轴、y轴作垂线，两条垂线交于点C． ∵AC∥y轴，BC∥x轴， ∴C（x1 ，y2 ）， ∴AC＝　|y1﹣y2|　 ， BC＝　|x2﹣x1|　 ， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得 ， ∴． 解答以下问题： （1）若A（﹣1，3），B（2，﹣1），则AB＝　5　 ． （2）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4）和B（6，﹣3），将线段AB平移到A′B′，点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，若A′的坐标是（﹣8，a），且AA′＝10，求点B′的坐标． （3）已知点P（x，y）为x轴上一点，则的最小值为　　 ． 【分析】（1）直接应用平面直角坐标系中两点间距离公式求出AB； （2）先确定平移的水平变化量，结合AA′＝10，用两点间距离公式列方程，求出纵坐标的变化量，再根据“线段上所有点平移的横、纵坐标变化量一致”，将B（6，﹣3）按对应变化量平移，得到B′的坐标； （3）因P在x轴上，故y＝0，式子表示“P到（0，3）和（4，1）的距离和”，作（0，3）关于x轴的对称点（0，﹣3），连接对称点与（4，1），用两点间距离公式计算该线段长度，即为距离和的最小值． 【解答】解：根据题意，可知C（x1，y2）， 则AC＝|y1﹣y2|，BC＝|x2﹣x1|． 故答案为：x1，y2；|y1﹣y2|；|x2﹣x1|； （1）根据， 可知， 故答案为：5； （2）由题可知，横坐标变化为﹣8﹣（﹣2）＝﹣6，纵坐标变化为|a﹣4|，A（﹣2，4）到A′（﹣8，a）， 由AA′＝10，则， 解得a1＝12，a2＝﹣4， 当a＝﹣4，可知点B′由点B向左平移6个单位，向下平移8个单位，即B′的坐标为（0，﹣11）； 当a＝12，可知点B′由点B向左平移6个单位，向上平移8个单位，即B′的坐标为（0，5）； 故点B′的坐标为（0，5）或（0，﹣11）． （3）点P（x，y）在x轴上，则y＝0，令B（4，1），A（0，3）， 根据题意，可知表示PA+PB， 如图，作点A关于x轴的对称点A′（0，﹣3），连接A′B，交x轴于点P， 根据对称的性质可知，PA＝PA′， 则PA+PB＝PA′+PB， 此时A′B即为PA+PB取得的最小值，， 故的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查平面直角坐标系两点间距离公式，坐标的平移变换，最短路径问题，勾股定理的几何应用，将x轴上点到两定点的折线距离转化为直线距离是解题关键． 13．【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．∠A＝∠D＝90°，点A、B、D在一条直线上．请利用图1证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距30千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝18千米，BC＝12千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，求AP的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（0＜x＜12）． 【分析】（1）通过表示四边形ACED的面积（两种方法：梯形面积、三个三角形面积和），建立等式推导勾股定理． （2）设AP长度为未知数，利用PC＝PD结合勾股定理列方程求解． （3）将代数式转化为几何线段长度，通过轴对称找最短路径，利用勾股定理求最小值． 【解答】解：（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．∠A＝∠D＝90°，点A、B、D在一条直线上．如图： ． 又∵， ∴， 展开得， 化简得a2+b2＝c2． （2）设AP＝x千米，则BP＝（30﹣x）千米． ∵PC＝PD，AD⊥AB，BC⊥AB， ∴AD2+AP2＝BC2+BP2， 即182+x2＝122+（30﹣x）2， ∴x＝12，即AP＝12千米． （3）设AB＝12，点P在AB上，AP＝x，PB＝12﹣x，作AD⊥AB且AD＝2，BC⊥AB且BC＝3，则代数式． 作点C关于AB的对称点F，连接DF交AB于点P，过F作FE⊥AD于E，则PC＝PF， ∴PD+PC＝PD+PF≤DF， ∴DF的长为PD+PC的最小值． 在Rt△DEF中，DE＝AD+AE＝5，EF＝AB＝12， ∴， ∴代数式的最小值为13． 【点评】本题主要考查了勾股定理的证明与应用、轴对称﹣最短路径问题，熟练掌握勾股定理的推导方法、利用几何模型转化代数问题是解题的关键． 14．现有有序数对（a，b，c）和（x，y），如果ax+by＝c，则称（a，b，c）“关联”了（x，y），或（x，y）被（a，b，c）“关联”． 例如：5×3+7×（﹣2）＝1，则称（5，7，1）“关联”了（3，﹣2）． （1）下列数对中被（2，1，3）“关联”的有　①④　 ； ①（1，1），②（﹣4，6），③（﹣1，3），④（5，﹣7）． （2）若（p，q）同时被（5，﹣9，1）和（﹣3，7，1）“关联”，请求出p，q； （3）对于均不为0的a、b、c，数对（a，b，c）“关联”了（m，n）、（1，2）和（2，3），且（m，n）被（2027，﹣2026，﹣1）“关联”，试求数对（m，n）． 【分析】（1）根据“关联”定义逐项进行判断即可； （2）根据“关联”定义列出二元一次方程组并求解即可； （3）根据“关联”定义列出三元一次方程组，找出a，b，c的关系，进而可求出m，n的值． 【解答】解：（1）①2×1+1×1＝3， ∴（1，1）被（2，1，3）“关联”； ②2×（﹣4）+1×6＝﹣2≠3 ∴（﹣4，6）未被（2，1，3）“关联”； ③2×（﹣1）+1×3＝1≠3 ∴（﹣1，3）未被（2，1，3）“关联”； ④2×5+1×（﹣7）＝3 ∴（5，﹣7）被（2，1，3）“关联”； 故答案为：①④； （2）由条件可得： ， 解得； （3）由条件可得： ， ②﹣①得a+b＝0，即b＝﹣a， 将b＝﹣a代入①得c＝﹣a， 将b＝﹣a和c＝﹣a代入③得， m﹣n＝﹣1， 由条件可知2027m﹣2026n＝﹣1， 2027（m﹣n）+n＝﹣1， ∴m﹣2026＝﹣1， 解得m＝2025， ∴数对（m，n）为（2025，2026）． 【点评】本题主要考查了新定义下的实数的运算，二元一次方程组，三元一次方程组等知识点，解题的关键是根据题意正确理解被“关联”关系，并根据关系列出代数式． 15．如图，在5×5的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：A→B（+1，+4），从B到A的爬行路线为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． （1）图中B→D（ 　+3　 ，　﹣2　 ），C→B （﹣2，　+1　 ）； （2）若甲虫的爬行路线为A→B→C→D，计算甲虫爬行的路程． （3）若甲虫从点A出发，爬行路线依次为（+2，+3），（﹣2，+1），（+3，﹣5），（﹣4，+2），最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 【分析】（1）B到D向右走3个格，向下走2个格；C到D向左走2个格，向上走1个格； （2）先确定A到B，B到C，C到D的行走路线，再将所有路线长度相加即可； （3）根据题意，画出路线图即可． 【解答】解：（1）根据题意，B到D的路线为（+3，﹣2），C到B的路线（﹣2，+1）， 故答案为：+3，﹣2，B，+1； （2）由A到B路线为（+1，+4），由B到C路线为（+2，﹣1），由C到D路线为（+1，﹣1）， ∴路程为1+2+1+4+1+1＝10； （3）如图： 【点评】本题考查坐标确定位置；理解正数与负数在实际问题中的意义是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 平面直角坐标系 精讲精练培优讲义 目录 思维导图：核心考点，有的放矢 知识梳理：知识点和关键点梳理，查漏补缺 精讲提升：难点内容标注与讲解，能力提升 课后巩固：提升专练，全面突破 一、有序数对 把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号. 2、 平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图： 【规律方法】 （1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. （2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化. （3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征： ① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零． ② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等； 平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等． ③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数； 关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数． ④ 象限角平分线上的点的坐标特征： 一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等； 二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数． 注：反之亦成立． 四、物体位置的坐标表示 1、平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 2、用坐标表示地理位置的一般步骤： (1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； (2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称． 【规律方法】 (1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置． (2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度． 五．两点间的距离公式 六、中点坐标公式 七、点的运动及其坐标的变化 1.坐标系中用坐标求距离及面积 （1）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论： ① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|． ② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|； y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|． ③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|； 平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|． （2）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补. 2.用坐标表示平移 (1)点的平移 点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 【规律方法】 上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换． (2)图形的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 【规律方法】 平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 3.轴对称（关于x轴、y轴对称的点的坐标） （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 八、规律探究与综合应用 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面： ①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关； ②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 一．平面直角坐标系的引入（共7小题） 1．在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　） A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1） 2．下列说法不正确的是（　　） A．点A（﹣2，3）在第二象限 B．点P（﹣2，3）到y轴的距离为2 C．若P（x，y）中xy＝0，则P点在x轴上 D．若P（x，y）在x轴上，则y＝0 3．平面直角坐标系中，点A（a，b）在x轴上，点B（m，n）在y轴上，下列结论一定正确的是（　　） A．a＝0，m＝0 B．a＝0，n＝0 C．b＝0，m＝0 D．b＝0，n＝0 4．在直角坐标平面内，如果点P（m，n）在第四象限，那么点Q（n，m）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B在y轴上且，则点B的坐标为 　 　 ． 6．如果点p（x，y）的坐标满足x+y＝xy，那么称点P为“美丽点”，若某个“美丽点”M到y轴的距离为2，则点M的坐标为 　 　 ． 7．点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，则P点坐标为 　 　 ． 二．简单图形的坐标表达（共13小题） 8．我们把有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．如图，在5×7的网格中，四边形ABCD是“等邻边四边形”，顶点A、B、C在网格格点上，如果点D也在网格格点上，那么点D的位置有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，直线a⊥b，在平面直角坐标系中，x轴∥a，y轴∥b，已知点A（﹣1，4）、点B（2，﹣1），那么坐标原点是点（　　） A．O1 B．O2 C．O3 D．O4 10．在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（﹣4，0），坐标轴上有一点C，使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C一共有几个（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 11．在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B（﹣6，0），坐标轴上有一点C，使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C一共有（　　）个 A．5 B．6 C．7 D．8 12．已知点P在x轴上，点A（3，1）、点B（0，2），且，则点P的坐标　 　 ． 13．把点绕原点顺时针应转90°后，得到的点的坐标是 　 　 ． 14．点A（﹣2，a+3）到y轴的距离等于 　 　 ． 15．在直角坐标平面内，经过点M（5，﹣6）且垂直于y轴的直线可以表示为直线 　 　 ． 16．我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图1，P是斜坐标系xOy中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，若M、N在x轴、y轴上分别对应实数a、b，则有序实数对（a，b）叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标．如图2，在斜坐标系xOy中，已知点B（4，0）、点C（0，3），P（x，y）是线段BC上的任意一点，试求x、y之间一定满足的一个等量关系式：　 　 ． 17．点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为A、B．若|PA|+|PB|＝6，则点P称为“好点”．例如：点M（﹣2，4），因为|﹣2|+|4|＝6，所以点M是“好点”． （1）在点A（3，﹣3），，C（﹣1，5）中，“好点”是 　 　 ； （2）若D（2a，﹣3a）是“好点”，求a的值． 18．如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（﹣2，8），（﹣11，6），（﹣14，0），（0，0）． （1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的？ （2）如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？ 19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为（﹣5，﹣1）、（﹣3，﹣4）、（﹣1，﹣3）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1． （2）已知点P在x轴上，且PA＝PC，则点P的坐标是 　 　 ． （3）若y轴上存在点Q，使△QAC的周长最小，求点Q的坐标． 20．已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列各题． （1）点P在y轴上，求点P的坐标； （2）点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥y轴，求点P的坐标； （3）若点P到x轴、y轴的距离相等，求点P的坐标． 三．物体位置的坐标表示（共5小题） 21．如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若表示嘴部点A的坐标为（﹣2，1），表示尾部点B的坐标为（3，﹣1），则表示足部点C的坐标为（　　） A．（0，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（0，﹣1） 22．教室里，小明，小亮，小红的位置如图所示，如果小明的位置用（0，0）表示，小亮的位置用（3，4）表示，则小丽的位置可以表示为（　　） A．（1，2） B．（2，1） C．（2，2） D．（1，3） 23．为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为（0，1），（2，1），则“技”的坐标为　 　 ． 24．五子棋是全国智力运动会竞技项目之一，它的其中一种比赛规则是只要同色五子先成一条直线就算获胜．如图是两人玩的一盘五子棋，若白①的位置是（1，﹣5），黑①的位置是（2，﹣4），现轮到黑棋走，你认为黑棋放在 　 　 的位置就可以获胜． 25．2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于2025年2月7日在哈尔滨市举行．如图，将本次运动会的会徽放入正方形网格中，若点A的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（2，2），则点C的坐标为　 　 ． 四．两点间的距离公式（共6小题） 26．在平面直角坐标系xOy中，点A（a，5），B（0，b）的距离为4，且直线AB∥x轴，则a+b的算术平方根为　 　 ． 27．DeepSeek公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：A（1，6）表示起点，B（5，8）表示终点．如果软件需要在线段AB之间设置一个中转站，且中转站到点A和点B的距离相等，则中转站的坐标为 　 　 ． 28．A（0，a），B（3，5）是平面直角坐标系中的两点，线段AB长度的最小值为 　 　 ． 29．在平面直角坐标系xOy中，点P从点（﹣1，3）出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动；同时，点Q从点（7，﹣1）出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度运动．设运动时间为t，当P，Q两点间的距离最短时，t的值为 　 　 ． 30．“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言．说明数形结合是解决许多数学问题的有效思想．如图，在平面直角坐标系内，以点C（2，1）为圆心，以1为半径的圆上有一动点P（m，n），A，B两点均在y轴上，且A（0，1），B（0，﹣1），则PA2+PB2为 　 　 （用含m、n的代数式表示），PA2+PB2的最大值为 　 　 ． 31．【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是重要的思想方法，阅读材料，解答问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【解题格式】解：如图，设BC＝x，CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，则AB，， 当A，B，D三点共线时，AB+DB最短，此时AB+BD＝AD． ． 故代数式的最小值为13． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为　 　 ； （2）变式：利用图3，参考解题格式，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）借助图4，已知正数x满足，求x的值． 五．平移与轴对称（共11小题） 32．在平面直角坐标系中，点M（6，﹣6）关于x轴对称的点是（　　） A．（6，﹣6） B．（6，6） C．（﹣6，6） D．（﹣6，﹣6） 33．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（　　） A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3） 34．大量实验表明，平面镜成像有“像与物体关于平面镜对称”的特点．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以桌面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某刻火焰顶尖S点的坐标是（x，2），此时对应的虚像S′的坐标是（3，2），则x的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 35．在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点A（2，﹣1）平移后的对应点为A′（5，2），则点B（﹣3，4）平移后的器对应点B′的坐标是（　　） A．（0，7） B．（﹣6，1） C．（1，5） D．（﹣1，6） 36．若平面直角坐标系中，O为坐标系原点，△ABO关于y轴对称，点A的坐标为（1，﹣2），则点B的坐标为　 　 ． 37．如图所示的是蜡烛的平面镜成像原理图，以桌面所在直线为x轴，镜面所在直线为y轴建立平面直角坐标系．若火焰顶部点P的坐标是（﹣4，2），则对应虚像顶部点Q的坐标是　 　 ． 38．已知M（a﹣1，3）和N（2，b+1）关于x轴对称，则（a+b）2025的值为　 　 ． 39．点（﹣1，3）向右平移2个单位得到的点的坐标为　 　 ． 40．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），我们定义它们两点间的坐标距离如下： 若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1和点P2的坐标距离为|x1﹣x2|； 若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1和点P2的坐标距离为|y1﹣y2|． 已知点A（3，2），将点A先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B． （1）点B的坐标为 　 　 ，A、B两点间的坐标距离为 　 　 ； （2）M为x轴正半轴上一点，N为y轴正半轴上一点， ①若点M与点A之间的坐标距离等于4，求点M的坐标； ②若M、N与点A之间的坐标距离均为3，求M、N两点间的坐标距离． 41．【阅读材料】定义：在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P（a，b），如果把点P平移，得到点Q（a+t，b﹣t），那么就把Q叫做点P的“t型平移”点． 例如：当t＝﹣5时，点M（2，4）的“﹣5型平移”点的坐标就是N（﹣3，9）． 【问题解决】 （1）点A（3，2）的“3型平移”点的坐标为　 　 ； 若点（4，4）的“t型平移”点的坐标是（6，m），则t＝　 　 ，m＝　 　 ； （2）已知线段AB的两个端点分别是A（1，1），B（3，1）． ①端点A，B的“﹣1型平移”点分别是A1，B1，请在图中画出线段AB及线段AB1； ②若线段AB上的每个点作“t型平移”后，得到的线段与坐标轴有公共点，求t的取值范围． 42．（1）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（﹣3，m）与点Q（n，2）关于x轴对称，求m﹣n的值． （2）在△ABC中，∠A＝∠B﹣40°，∠C＝∠A+50°，求∠B的度数． 1．2026年某智慧物流企业推出“垂直航线无人机巡检”服务．如图，设基站坐标为原点O（0，0），无人机从巡检起点A（﹣3，1）出发，沿垂直于x轴的固定航线匀速飞行至巡检终点B（﹣3，﹣5）．当无人机位置C（x，y）到基站O的距离大于OA的长度时，需启动“信号增强模式”以保障通信稳定．当无人机处于“信号增强模式”时，y的取值范围为（　　） A．﹣5＜y≤﹣1 B．y＜1 C．﹣1＜y＜1 D．﹣5≤y＜﹣1 2．已知点M（1﹣m，m﹣3），则点M不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（2，0），C（a，a+6），D为线段BC的中点，线段AD交线段OC于点E，当线段OE最短时，此时点E的坐标为（　　） A．（，） B．（﹣1，1） C．（，1） D．（，） 4．已知直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣5，0），C（﹣5，4），连接原点O与顶点A，则下列线段中长度最长的是（　　） A．OA B．AB C．BC D．AC 5．已知点P（m，m﹣1），Q（2，1），则线段PQ的长的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），∠AOB＝∠BAO＝45°，则点B的坐标为　 　 ． 7．在平面直角坐标系中，点P（4，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是　 　 ． 8．在平面直角坐标系xOy中，点A（4，1）与点B关于x轴对称，则点B坐标为　 　 ． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B（4，3），P是x轴上的一个动点．作OQ⊥AP，垂足为Q，则点Q到直线AB的距离的最大值为　 　 ． 10．已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列问题． （1）点P在x轴上，求出点P的坐标； （2）点Q的坐标（4，5），直线PQ∥x轴，求出点P的坐标； （3）若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，求a2024+2024的值． 11．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣1，2）的“长距”为 　 　 ； （2）若点B（2a﹣3，﹣5）是“完美点”，求a的值； （3）若点C（3b﹣2，﹣2）的长距为4，且点C在第四象限内，点D的坐标为（﹣5，9﹣2b），试说明点D是“完美点”． 12．小明在探索平面直角坐标系中任意两点A（x1，y1）、B（x2，y2）之间的距离时，进行了如下的分类讨论：当AB∥x轴时，A、B两点的纵坐标相同，将其类比迁移到数轴上任意两点间的距离，可得AB＝|x1﹣x2|；当AB∥y轴时，A、B两点的横坐标相同，同样将其类比迁移到数轴上任意两点间的距离，可得AB＝|y1﹣y2|；当A、B两点的横、纵坐标都不同时，通过构造如图所示的直角三角形，由勾股定理．以下是小明同学给出的部分推导过程，请你将其补充完整． 解：过A、B分别向x轴、y轴作垂线，两条垂线交于点C． ∵AC∥y轴，BC∥x轴， ∴C（　 　 ，　 　 ）， ∴AC＝　 　 ， BC＝　 　 ， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得 ， ∴． 解答以下问题： （1）若A（﹣1，3），B（2，﹣1），则AB＝　 　 ． （2）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4）和B（6，﹣3），将线段AB平移到A′B′，点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，若A′的坐标是（﹣8，a），且AA′＝10，求点B′的坐标． （3）已知点P（x，y）为x轴上一点，则的最小值为　 　 ． 13．【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．∠A＝∠D＝90°，点A、B、D在一条直线上．请利用图1证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距30千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝18千米，BC＝12千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，求AP的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（0＜x＜12）． 14．现有有序数对（a，b，c）和（x，y），如果ax+by＝c，则称（a，b，c）“关联”了（x，y），或（x，y）被（a，b，c）“关联”． 例如：5×3+7×（﹣2）＝1，则称（5，7，1）“关联”了（3，﹣2）． （1）下列数对中被（2，1，3）“关联”的有　 　 ； ①（1，1），②（﹣4，6），③（﹣1，3），④（5，﹣7）． （2）若（p，q）同时被（5，﹣9，1）和（﹣3，7，1）“关联”，请求出p，q； （3）对于均不为0的a、b、c，数对（a，b，c）“关联”了（m，n）、（1，2）和（2，3），且（m，n）被（2027，﹣2026，﹣1）“关联”，试求数对（m，n）． 15．如图，在5×5的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：A→B（+1，+4），从B到A的爬行路线为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． （1）图中B→D（ 　 　 ，　 　 ），C→　 　 （﹣2，　 　 ）； （2）若甲虫的爬行路线为A→B→C→D，计算甲虫爬行的路程． （3）若甲虫从点A出发，爬行路线依次为（+2，+3），（﹣2，+1），（+3，﹣5），（﹣4，+2），最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 1 学科网（北京）股份有限公司 $