精品解析：福建福州市连江县2025-2026学年第一学期七年级期末适应性练习 数学(A)

2025-2026学年第一学期七年级期末适应性练习 数学（A） （全卷共8页，满分：150分，考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡规定位置上，答在本试卷上的一律无效！ 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 用四舍五入法将有理数精确到，得到的近似数为（ ） A. B. C. D. 2. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列生活实例中，能用两点之间，线段最短这一数学原理解释的是（ ） A. 木工师傅用墨斗画线 B. 墙上固定木条 C. 建筑工人砌墙 D. 弯曲河道改直 4. 若要使计算的结果最小，则“□”中应填入（ ） A. B. C. D. 5. 把方程变形为的依据是（ ） A. 乘法结合律 B. 乘法分配律 C. 等式的性质1 D. 等式的性质2 6. 如图，点O在直线上，平分，若，在同侧，且，则下列说法不一定正确的是（ ） A. 与互余 B. 与互余 C. 与∠互补 D. 与互补 7. 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且b与c互为相反数，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，表中给出的是某月的月历，任意选取某“H”型框中的7个数（表中阴影部分仅作“H”型框的示例）．请你运用所学的数学知识分析任取的这7个数的和一定是（ ） A. 2的倍数 B. 3的倍数 C. 5的倍数 D. 7的倍数 9. 某项工作由甲、乙两人单独完成分别需要和．如果让甲、乙两人一起工作，再由乙单独完成剩余部分，完成这项工作一共需要多长时间？若依据相等关系“前1小时工作量后一段时间工作量”解决该问题，则下列设元与列方程正确的是（ ） A. 设一共需要完工，则 B. 设一共需要完工，则 C. 设乙单独工作，则 D. 设乙单独工作，则 10. 在综合实践课堂上，同学们开展了一场“平面纸片变立体模型”的趣味实验．如图，将印有孔洞的硬纸片（各方格均为大小相同的正方形）固定在纸板上，用绳子依次穿过所有孔洞后匀速拉伸，纸片可通过折叠变形为正方体（虚线为折痕）．小明总结出实验成功的关键：若同侧孔洞所在的位置折叠后能重合为同一个顶点，即可成功拉伸为立体图形．则下列正方体展开图中，按此方法可以拉伸为正方体的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 12. 单项式的次数是______． 13. 若是关于x的方程的解，则a的值是________． 14. 连江县是知名的旅游胜地，拥有众多景点．如图，以青芝山景区为观测点O，贵安欢乐世界在点O的北偏西方向上，记为点A；平流尾地质公园在点O的北偏东方向上，记为点B，则的度数为________． 15. 某树苗原始高度为，如图是该树苗的高度与生长月数的有关数据示意图，假设一段时间内该树苗高度的变化与月数保持此关系，用式子表示生长n个月时，它的高度(单位：)应为 _____________． 16. 已知关于x的一元一次方程的解为，则方程的解________． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，，其中等号右边的运算律与运算法则和有理数的运算律与运算法则一致． 例如：． （1）求和的值； （2）请判断运算“”是否具有交换律（即是否成立），并说明理由． 21. 阅读下列材料： 将化为分数的形式： 设， 则， 所以，所以， 所以，解得． （1）根据材料，判断是否为有理数：________（填“是”或“不是”）； （2）请仿照上述方法将化为分数形式． 22. 如图，已知直线l与直线l外两点A，B，按要求回答下面问题． （1）尺规作图： ①作直线，且与l相交于点C； ②在直线l上作线段，使得，且点D在点C左侧； （2）在（1）的条件下，若，，点F为的中点，点P在直线l上，且，求的长． 23. 已知与共顶点，，且满足，平分． （1）如图1，，射线在内．若，求和的度数； （2）如图2，在内（不与重合，不与重合）．请用等式表示与之间的数量关系，并说明理由． 24. 综合实践活动：探究杆秤的制作与原理 【探究原理】 学生通过查阅资料，了解到杆秤的主要组成部分为秤杆、秤盘（秤钩）、秤砣和提纽．现为探索杆秤称重的原理，进行木杆挂重物实验探究影响杆秤平衡的因素（如图1），并用表格记录了实验数据如下： 支点左端 支点右端 木杆状态 重物质量a（） 到支点的距离m（） 重物质量b（） 到支点的距离n（） 5 15 5 15 平衡 ① 7.5 5 15 平衡 15 5 5 15 平衡 20 ② 5 15 平衡 … … 5 15 平衡 【建构模型】 （1）请你通过实验发现的规律补全实验记录①②，并写出当木杆平衡时a、m、b、n的数量关系； 【应用模型】 （2）学生发现上述平衡条件符合杠杆原理，并以此为依据，利用以下材料制作了一个杆秤：一根长为的匀质木杆，一个自重的秤盘，一个自重的秤砣，提绳系于点O（支点），秤盘系于点A处，点A位于O、M两点之间，且与木杆右端M的距离为，秤砣悬挂点B位于支点O至与木杆左端N相距处之间的范围内移动（如图2所示）． 小明用此杆秤称量的重物（放入秤盘），在杆秤平衡时他测得此时秤盘悬挂点A与秤砣悬挂点B之间的距离． ①求的距离； ②在小学学习正比例时，对于两个值为正数的量，当它们成正比例关系时，由图象可知一个量随着另一个量的增大而增大．请根据此信息，求此杆秤能够称量的最大物重． 25. 初中数学中，数与代数领域的推理无处不在．探究整除数规律，就是一个典型的代数推理过程，在课堂上探究并证明了“自然数被3整除的规律”后，小明尝试探索“自然数被11整除的规律”． 【探究一：两位数】 （1）以下为小明的推理和证明思路． 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a和b，通常记为，则这个两位数可表示为．小明列举了几个能被11整除的两位数：11，22，33，…，他观察到这些数共同的特征是 ① （填a，b的数量关系）． 证明如下：因为，且满足①， 所以 ② ③ ． 因为③能被11整除， 所以能被11整除． 请你帮助他补充完整①②③所缺的内容； 【探究二：三位数】 （2）如果用表示一个三位数．当a、b、c应满足以下什么条件时，能被11整除． 现有三个a、b、c的关系：①能被11整除；②能被11整除；③能被11整除．请选出所有能够使得能被11整除的条件，并写出证明过程； 【探究三：一般规律与推广】 （3）小明进一步列出了几个能被11整除的多位数，并计算了它们“奇数位数字和”与“偶数位数字和”（规定：奇数位指从右起第1、3、5…位，偶数位指第2、4、6…位），如：484的奇数位数字和为，偶数位数字和为8；10318的奇数位数字和为，偶数位数字和为；290708的奇数位数字和为，偶数位数字和为；…小明发现：当一个自然数的奇数位数字和m与偶数位数字和n之间存在某种关系时，这个数就能被11整除．对于所有能被11整除的四位数，请依据以上信息写出一个这类四位数的奇数位数字和m与偶数位数字和n之间应满足的关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期七年级期末适应性练习 数学（A） （全卷共8页，满分：150分，考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡规定位置上，答在本试卷上的一律无效！ 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 用四舍五入法将有理数精确到，得到的近似数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查近似数的四舍五入法，解题的关键是明确精确到需看万分位数字进行取舍． 确定精确到对应的小数位数，观察万分位数字，根据四舍五入规则得到近似数． 【详解】解：精确到即保留三位小数， 需观察第四位小数（万分位）的数字，其为5， 根据四舍五入规则，向第三位小数（千分位）进1， 千分位原数字是1，进1后变为2， 得到的近似数为． 故选：C． 2. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据乘方的意义解答. 【详解】， 故选：B. 【点睛】本题考查乘方的意义，求n个相同因数乘积的运算叫做乘方. 3. 下列生活实例中，能用两点之间，线段最短这一数学原理解释的是（ ） A. 木工师傅用墨斗画线 B. 墙上固定木条 C. 建筑工人砌墙 D. 弯曲河道改直 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”，解题的关键是理解以上知识点．直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案． 【详解】解：A、选项中的现象可用“两点确定一条直线”来解释，故不符合题意； B、选项中的现象可用“两点确定一条直线”来解释，故不符合题意； C、选项中的现象可用“两点确定一条直线”来解释，故不符合题意； D、选项中的现象可用“两点之间线段最短”来解释，故符合题意； 故选：D． 4. 若要使计算的结果最小，则“□”中应填入（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的运算，掌握有理数的加、减、乘、除运算法则是解题的关键． 分别计算四种运算的结果，然后比较大小即可解答． 【详解】解∵ 当□为时，； 当□为时，； 当□为时，； 当□为时，； ∵， ∴ 填入时结果最小， 故选：A． 5. 把方程变形为的依据是（ ） A. 乘法结合律 B. 乘法分配律 C. 等式的性质1 D. 等式的性质2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等式的基本性质； 根据等式的基本性质，将方程两边同时乘以同一个不为零的数，等式仍成立，可得答案． 【详解】解：将方程两边同时乘以2，得，依据的是等式的性质2， 故选：D． 6. 如图，点O在直线上，平分，若，在同侧，且，则下列说法不一定正确的是（ ） A. 与互余 B. 与互余 C. 与∠互补 D. 与互补 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据角平分线的定义可得，然后利用角的和差关系以及平角定义可得，，从而可得，最后根据，和不一定相等，从而可得不一定等于，逐一判断即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴与互余， 故A正确，不符合题意； ∴， ∴与互余， 故B正确，不符合题意； ∵， ∴与互补， 故D正确，不符合题意； ∵，和不一定相等， ∴不一定等于， 故C不正确，符合题意； 故选：C． 7. 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且b与c互为相反数，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，掌握相反数的定义，化简绝对值，由数轴可知，，，由b与c互为相反数，得，，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵b与c互为相反数， ∴，故选项A正确； 由数轴图可知，，，，故选项C正确； ∴，， 故选项B错误；选项D正确； 故选：B． 8. 如图，表中给出的是某月的月历，任意选取某“H”型框中的7个数（表中阴影部分仅作“H”型框的示例）．请你运用所学的数学知识分析任取的这7个数的和一定是（ ） A. 2的倍数 B. 3的倍数 C. 5的倍数 D. 7的倍数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列代数式．设最中间的数为x，根据题意列式即可作出判断． 【详解】解：设最中间的数为x， ∴这7个数分别为， ∴这7个数的和为：， ∵x是正整数， ∴这7个数的和是7的倍数． 故选：D． 9. 某项工作由甲、乙两人单独完成分别需要和．如果让甲、乙两人一起工作，再由乙单独完成剩余部分，完成这项工作一共需要多长时间？若依据相等关系“前1小时工作量后一段时间工作量”解决该问题，则下列设元与列方程正确的是（ ） A. 设一共需要完工，则 B. 设一共需要完工，则 C. 设乙单独工作，则 D. 设乙单独工作，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解答的关键； 相等关系为“前1小时工作量+后一段时间工作量”，其中“前1小时工作量”指甲、乙在1小时内的工作量之和，即，“后一段时间工作量”指乙在单独工作时间内的工作量．设一共需要完工，则后一段时间乙工作量为；设乙单独工作，则后一段时间乙工作量为；据此列方程即可． 【详解】解：由题意得：甲的工作效率为，乙的工作效率为， 设一共需要完工，则前1小时甲工作量为，前1小时乙工作量为，后一段时间乙工作量为， 则有； 设乙单独工作，则前1小时甲工作量为，前1小时乙工作量为，后一段时间乙工作量为， 则有，C选项符合题意； 故选：C． 10. 在综合实践课堂上，同学们开展了一场“平面纸片变立体模型”的趣味实验．如图，将印有孔洞的硬纸片（各方格均为大小相同的正方形）固定在纸板上，用绳子依次穿过所有孔洞后匀速拉伸，纸片可通过折叠变形为正方体（虚线为折痕）．小明总结出实验成功的关键：若同侧孔洞所在的位置折叠后能重合为同一个顶点，即可成功拉伸为立体图形．则下列正方体展开图中，按此方法可以拉伸为正方体的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键．根据正方体表面展开图的“日字形”的特点进行判断即可． 【详解】解：根据正方体表面展开图的特征可知，选项D符合题意． 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质．根据“负数的绝对值等于这个数的相反数”，即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：3 12. 单项式的次数是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式次数的定义，在单项式中所有字母的指数之和叫做单项式的次数，据此求解即可． 【详解】解：单项式的次数， 故答案为：4． 13. 若是关于x的方程的解，则a的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．将 代入方程，求解 a 的值． 【详解】解：把代入关于x的方程中，得， 解得， 故答案为：1． 14. 连江县是知名的旅游胜地，拥有众多景点．如图，以青芝山景区为观测点O，贵安欢乐世界在点O的北偏西方向上，记为点A；平流尾地质公园在点O的北偏东方向上，记为点B，则的度数为________． 【答案】110.3 【解析】 【分析】本题考查度分秒的换算，方向角，熟练掌握度分秒之间的进率是解题的关键．根据题意列式为，将其计算并化为度为单位的数即可． 【详解】解： ， 故答案为：110.3． 15. 某树苗原始高度为，如图是该树苗的高度与生长月数的有关数据示意图，假设一段时间内该树苗高度的变化与月数保持此关系，用式子表示生长n个月时，它的高度(单位：)应为 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，由题意可得树苗每个月增长的高度是，进而得出答案； 【详解】解：根据题意可得，树苗每个月增长的高度是， ∴用式子表示生长个月时，它的高度(单位：)应为：． 故答案为：． 16. 已知关于x的一元一次方程的解为，则方程的解________． 【答案】2025或 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程； 对方程变形得到，然后根据一元一次方程的解的意义整体得出，进而计算即可． 【详解】解：方程变形为， 即， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， ∴或， 故答案为：或． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的减法法则求解即可； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式= ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算和化简求值，掌握相关知识是解决问题的关键． 先将原式去括号合并同类项，再将已知的数值代入求值即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 20. 用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，，其中等号右边的运算律与运算法则和有理数的运算律与运算法则一致． 例如：． （1）求和的值； （2）请判断运算“”是否具有交换律（即是否成立），并说明理由． 【答案】（1）9，9 （2） 是，理由：， ， ∵ ∴，即 ∴运算“”具有交换律． 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握新运算的法则，是解题的关键， （1）根据新运算的法则，列式计算即可； （2）根据新运算的法则，列式计算即可； 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 略 21. 阅读下列材料： 将化为分数的形式： 设， 则， 所以，所以， 所以，解得． （1）根据材料，判断是否为有理数：________（填“是”或“不是”）； （2）请仿照上述方法将化为分数形式． 【答案】（1）是 （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的定义，一元一次方程的应用； （1）根据分数是有理数可得答案； （2）设，求出，然后计算即可． 【小问1详解】 解：因为材料中将化为分数，分数是有理数， 所以是有理数， 故答案为：是； 【小问2详解】 设， 则， 所以 所以， 解得，即将化为分数形式为． 22. 如图，已知直线l与直线l外两点A，B，按要求回答下面问题． （1）尺规作图： ①作直线，且与l相交于点C； ②在直线l上作线段，使得，且点D在点C左侧； （2）在（1）的条件下，若，，点F为的中点，点P在直线l上，且，求的长． 【答案】（1）①如图； ②图形如图所示： （2）的长或 【解析】 【分析】本题考查作线段，线段和差，线段中点有关的计算； （1）①作直线，且与l相交于点C； ②在直线l上点C左侧先作，再在右边作，则； （2）先求出，，，再根据点在右边或左边分情况讨论，分别画出图形，结合图形计算的长即可． 【小问1详解】 解：①作直线，且与l相交于点C． ②在直线l上作线段，使得，且点D在点C左侧； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 当在右边时，如图， ∴； 当在左边时，如图， ∴； 综上所述，的长或． 23. 已知与共顶点，，且满足，平分． （1）如图1，，射线在内．若，求和的度数； （2）如图2，在内（不与重合，不与重合）．请用等式表示与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查与角平分线有关的角度计算； （1）先求出，结合，得到，，再根据角平分线得到，最后根据求解即可； （2）由，平分，得到，结合，得到，最后代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 综合实践活动：探究杆秤的制作与原理 【探究原理】 学生通过查阅资料，了解到杆秤的主要组成部分为秤杆、秤盘（秤钩）、秤砣和提纽．现为探索杆秤称重的原理，进行木杆挂重物实验探究影响杆秤平衡的因素（如图1），并用表格记录了实验数据如下： 支点左端 支点右端 木杆状态 重物质量a（） 到支点的距离m（） 重物质量b（） 到支点的距离n（） 5 15 5 15 平衡 ① 7.5 5 15 平衡 15 5 5 15 平衡 20 ② 5 15 平衡 … … 5 15 平衡 【建构模型】 （1）请你通过实验发现的规律补全实验记录①②，并写出当木杆平衡时a、m、b、n的数量关系； 【应用模型】 （2）学生发现上述平衡条件符合杠杆原理，并以此为依据，利用以下材料制作了一个杆秤：一根长为的匀质木杆，一个自重的秤盘，一个自重的秤砣，提绳系于点O（支点），秤盘系于点A处，点A位于O、M两点之间，且与木杆右端M的距离为，秤砣悬挂点B位于支点O至与木杆左端N相距处之间的范围内移动（如图2所示）． 小明用此杆秤称量的重物（放入秤盘），在杆秤平衡时他测得此时秤盘悬挂点A与秤砣悬挂点B之间的距离． ①求的距离； ②在小学学习正比例时，对于两个值为正数的量，当它们成正比例关系时，由图象可知一个量随着另一个量的增大而增大．请根据此信息，求此杆秤能够称量的最大物重． 【答案】（1）， ①处数值为， ②处数值为， 补全实验记录①②，表格如下： 支点左端 支点右端 木杆状态 重物质量a（） 到支点的距离m（） 重物质量b（） 到支点的距离n（） 5 15 5 15 平衡 ① 7.5 5 15 平衡 15 5 5 15 平衡 20 ② 5 15 平衡 … … 5 15 平衡 （2）①的距离；②此杆秤能够称量的最大物重 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正比例关系的应用； （1）通过实验发现的规律：支点左右两端重物质量与到支点的距离的乘积相等，即；根据规律填空即可； （2）①先求出，再根据（1）中平衡条件可得：，代入解方程即可求出的距离； ②先求出秤砣悬挂点B到支点O的最大距离，设杆秤能够称量的最大物重，根据（1）中平衡条件可得：代入数值解方程即可． 【详解】解：（1）通过实验发现的规律：支点左右两端重物质量与到支点的距离的乘积相等，即； 由表格可得①处数值为，则，解得； ②处数值为，则，解得； （2）①∵， ∴， 根据（1）中平衡条件可得：， ∴， 解得， 即的距离； ②由题意可得，，， ∴， ∵秤砣悬挂点B位于支点O至与木杆左端N相距处之间的范围内移动， ∴秤砣悬挂点B到支点O的最大距离， 设杆秤能够称量的最大物重， 根据（1）中平衡条件可得：， 即， 解得， ∴此杆秤能够称量的最大物重． 25. 初中数学中，数与代数领域的推理无处不在．探究整除数规律，就是一个典型的代数推理过程，在课堂上探究并证明了“自然数被3整除的规律”后，小明尝试探索“自然数被11整除的规律”． 【探究一：两位数】 （1）以下为小明的推理和证明思路． 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a和b，通常记为，则这个两位数可表示为．小明列举了几个能被11整除的两位数：11，22，33，…，他观察到这些数共同的特征是 ① （填a，b的数量关系）． 证明如下：因为，且满足①， 所以 ② ③ ． 因为③能被11整除， 所以能被11整除． 请你帮助他补充完整①②③所缺的内容； 【探究二：三位数】 （2）如果用表示一个三位数．当a、b、c应满足以下什么条件时，能被11整除． 现有三个a、b、c的关系：①能被11整除；②能被11整除；③能被11整除．请选出所有能够使得能被11整除的条件，并写出证明过程； 【探究三：一般规律与推广】 （3）小明进一步列出了几个能被11整除的多位数，并计算了它们“奇数位数字和”与“偶数位数字和”（规定：奇数位指从右起第1、3、5…位，偶数位指第2、4、6…位），如：484的奇数位数字和为，偶数位数字和为8；10318的奇数位数字和为，偶数位数字和为；290708的奇数位数字和为，偶数位数字和为；…小明发现：当一个自然数的奇数位数字和m与偶数位数字和n之间存在某种关系时，这个数就能被11整除．对于所有能被11整除的四位数，请依据以上信息写出一个这类四位数的奇数位数字和m与偶数位数字和n之间应满足的关系，并证明． 【答案】（1）①，②，③； （2）条件②和③能够使得能被11整除， 证明：因为， 将100和10分解为11的倍数与余数之和：，， 代入得：， 因为是11的倍数， 所以当是11的倍数时，能被11整除， 即满足条件②能被11整除时，能被11整除； 计算条件②与条件③的和为：，且能被11整除， 所以当条件②能被11整除时，条件③能被11整除， 所以满足条件③能被11整除时，也能被11整除； 对于条件①能被11整除取反例：当，，时， 满足能被11整除，但146不能被11整除， 故满足条件①时不成立； 综上，条件②和③能够使得能被11整除； （3）是11的倍数，证明：， 因为是11的倍数， 所以当是11的倍数时，四位数能被11整除， 由题意得：，， 所以当是11的倍数时，四位数能被11整除． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减； （1）根据所列举的数可知，然后进一步计算即可； （2）将改写为，可知当是11的倍数时，能被11整除，然后证明条件②与条件③等价，再举反例证明条件①不成立即可； （3）将四位数改写为，可知当是11的倍数时，四位数能被11整除，然后根据奇数位数字和与偶数位数字和的意义得出答案． 【详解】解：（1）若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a和b，通常记为，则这个两位数可表示为．小明列举了几个能被11整除的两位数：11，22，33，…，他观察到这些数共同的特征是（填a，b的数量关系）． 证明如下：因为，且满足， 所以， 因为能被11整除， 所以能被11整除． 故答案为：①，②，③； （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $