三次函数的图像与性质讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

三次函数的图像与性质 1. 形如的函数，称为“三次函数”. 2. 三次函数的图象及性质 的 图象 的 图象 的单调性、极值 增区间为， 减区间为， 有两个极值点，极大值为，极小值为 恒成立，在R上单调递增，无极值点 增区间为， 减区间为， 有两个极值点， 极大值为， 极小值为 恒成立，在R上单调递减，无极值点 的对称中心 三次函数的对称中心为点 三次函数的图像的对称中心是的证明： 设函数的图像的对称中心为。按向量将函数的图像平移，则所得图像对应的函数是奇函数，所以，化简得，该式对恒成立，故，得，所以函数的图像的对称中心是。 3. 利用导数解决三次函数的零点问题有以下三种情况： (1) 三次函数有且只有一个零点的条件是或 (2) 三次函数有且只有两个零点的条件是 (3) 三次函数有且只有三个零点的条件是 4. 三次函数的最值问题 函数，若，且，则 ，。 5. 三次函数的切线情况 过图像的对称中心作切线，则坐标平面被切线和函数的图像分割为四个区域，有以下结论： (1) 过区域II或IV内的点作图像的切线，有且仅有3条； (2) 过区域I或III内的点或图像的对称中心作图像的切线，有且仅有1条； (3) 过切线或的图像（除去对称中心）上的点作图像的切线，有且仅有2条。 【例1.】 已知三次函数的定义域和值域都为，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【例2.】 已知三次函数的零点从小到大依次为m，0，2，其图象在处的切线l经过点，则（   ） A． B． C． D． 【例3.】 已知函数，其中，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题. 条件①：函数在点处的切线方程为； 条件②：函数的单调递减区间为； 条件③：函数的三个零点分别是、、. (1)求的解析式； (2)求的极值； (3)若函数在区间上的最小值为，求的取值范围. 【例4.】 已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有三个零点，求的取值范围. 【例5.】 已知函数.给出下列四个结论： ①过点存在条直线与曲线相切； ②过点存在条直线与曲线相切； ③过点存在条直线与曲线相切； ④过点存在条直线与曲线相切时，的取值范围是. 其中，正确结论的序号是 . 【例6.】 若函数（其中a，b，）的图像关于点对称，函数是的导数，则下列说法中，正确命题的个数有（    ） ①函数是奇函数； ②，使得； ③是函数图像的对称轴； ④一定存在极值点. A．1 B．2 C．3 D．4 【例7.】 （多选）对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ） A．的极大值点为 B．有且仅有3个零点 C．点是函数的对称中心 D． 【例8.】 （多选）已知函数，则（    ） A．当时，函数有两个极值点 B．， 使得在R上为减函数 C．过点且与曲线相切的直线有且仅有一条 D．当时，若，直线与曲线有三个交点，，则 【例9.】 （多选）设函数，则（   ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在，使得为曲线的对称轴 D．存在，使得点为曲线的对称中心 【例10.】 （多选）已知函数，则（    ） A．若，且的对称中心为，则的极大值点为 B．若，且，则函数有两个零点 C．若有两个极值点，且，则只有一个零点 D．若且，直线是过函数对称中心的切线，定点满足，则过点与相切的直线有三条 【例11.】 （多选）三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，拐点处的切线方程为 B．当时，在区间内存在最小值，则的取值范围是 C．若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D．对任意实数，直线与曲线有唯一公共点 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 三次函数的图像与性质 1. 形如的函数，称为“三次函数”. 2. 三次函数的图象及性质 的 图象 的 图象 的单调性、极值 增区间为， 减区间为， 有两个极值点，极大值为，极小值为 恒成立，在R上单调递增，无极值点 增区间为， 减区间为， 有两个极值点， 极大值为， 极小值为 恒成立，在R上单调递减，无极值点 的对称中心 三次函数的对称中心为点 三次函数的图像的对称中心是的证明： 设函数的图像的对称中心为。按向量将函数的图像平移，则所得图像对应的函数是奇函数，所以，化简得，该式对恒成立，故，得，所以函数的图像的对称中心是。 3. 利用导数解决三次函数的零点问题有以下三种情况： (1) 三次函数有且只有一个零点的条件是或 (2) 三次函数有且只有两个零点的条件是 (3) 三次函数有且只有三个零点的条件是 4. 三次函数的最值问题 函数，若，且，则 ，。 5. 三次函数的切线情况 过图像的对称中心作切线，则坐标平面被切线和函数的图像分割为四个区域，有以下结论： (1) 过区域II或IV内的点作图像的切线，有且仅有3条； (2) 过区域I或III内的点或图像的对称中心作图像的切线，有且仅有1条； (3) 过切线或的图像（除去对称中心）上的点作图像的切线，有且仅有2条。 【例1.】 已知三次函数的定义域和值域都为，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、用导数判断或证明已知函数的单调性、具体函数的定义域 【分析】先因为定义域和值域都为，得出，分和两种情况结合导函数得出函数单调性即可根据值域列式求解即可. 【详解】因为， 三次函数的定义域和值域都为，所以，所以， 所以， 当时，不合题意； 当时，， 单调递减； 单调递增； 所以， 所以，即得. 故选：D. 【例2.】 已知三次函数的零点从小到大依次为m，0，2，其图象在处的切线l经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】导数的乘除法、已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】由题意可设，求导，根据导数的几何意义可得切线方程为，代入点运算求解即可. 【详解】由题意可设， 则， 可得， 即切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为， 代入点得， 且，得，解得. 故选：B. 【例3.】 已知函数，其中，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题. 条件①：函数在点处的切线方程为； 条件②：函数的单调递减区间为； 条件③：函数的三个零点分别是、、. (1)求的解析式； (2)求的极值； (3)若函数在区间上的最小值为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为 (3) 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、已知函数最值求参数、已知切线（斜率）求参数、由函数的单调区间求参数 【分析】（1）根据所选条件得到方程组，解得即可； （2）求出函数的导函数，即可得到、与的关系表，从而求出函数的极值； （3）结合（2）中函数的单调性与极小值分、两种情况讨论，分别判断函数的最小值，即可得解. 【详解】（1）选择条件①：因为， 依题意有，所以，解得， 所以； 选择条件②：因为， 依题意，和为方程两根， 所以，解得， 所以；经检验满足题意； 选择条件③：设， 依题意，和为方程两根， 所以，解得， 所以. （2）的定义域是R，且， 令，解得，， 所以、与在上的情况如下： 1 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，. （3）由及（2）中结论可知： 当时，函数在区间上的最小值为，符合题意，   当时，函数在区间上的最小值大于，不符合题意，   因此，的取值范围是. 【例4.】 已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的增区间和减区间； （2）对实数的取值进行分类讨论，结合（1）中的结论，可得出关于实数的不等式组，综合可求得实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，则， 当时，即当时， 由得或，由得， 此时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，即当时，则对任意的恒成立， 此时，函数的增区间为，无减区间； 当时，即当时， 由得或，由得， 此时，函数的增区间为、，减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为. （2）当时，由于函数有三个零点， 则函数的极大值为，可得， 函数的极小值为，解得， 此时； 当时，函数的增区间为，此时函数至多一个零点，不合乎题意； 当时，由于函数有三个零点， 则函数的极小值为，解得， 函数的极大值为，解得且， 此时或. 综上所述，实数的取值范围是. 【例5.】 已知函数.给出下列四个结论： ①过点存在条直线与曲线相切； ②过点存在条直线与曲线相切； ③过点存在条直线与曲线相切； ④过点存在条直线与曲线相切时，的取值范围是. 其中，正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【难度】0.4 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究函数的零点 【分析】对于④，设切点为，写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出方程，构造函数，利用导数判断其单调性，可得出关于实数的不等式组，解之可判断④；对于①②③，将相应点的坐标代入函数解析式，判断关于的三次方程的解得个数，可判断①②③. 【详解】对于④，设过点的直线与曲线相切于点， 对于函数，则， 则，且切线斜率为， 所以切线方程为， 因此，整理得：， 设，则“过点存在条直线与曲线相切” 等价于“有个不同零点”， ，列表如下： 要使得函数有三个零点，则，解得，故④错； 设切点坐标为，则切线方程为， 对于①，则有，即，该方程只有一解， 所以，过点存在条直线与曲线相切，①对； 对于②，则有， 整理得，即，解得或， 所以，过点存在条直线与曲线相切，②对； 对于③，则有， 即， 令，则，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，过点存在条直线与曲线相切，③对. 故答案为：①②③. 【例6.】 若函数（其中a，b，）的图像关于点对称，函数是的导数，则下列说法中，正确命题的个数有（    ） ①函数是奇函数； ②，使得； ③是函数图像的对称轴； ④一定存在极值点. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、判断或证明函数的对称性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用图象平移变换判断①，根据三次函数的性质即三次函数图象与轴交点结论判断②；对求导后的结论判断③；举反例判断④． 【详解】函数的图象关于点对称，把它向左平移1个单位，对称点变为，即函数是奇函数，①正确； 是三次函数，其图象与轴一定有公共点，因此，使得，②正确； 的图象关于对称，则，两边求导得， 所以的图象关于直线对称，③正确； 例如，满足题意设条件，但，单调递增，无极值．④错误． 因此正确的个数是3， 故选：C． 【例7.】 （多选）对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ） A．的极大值点为 B．有且仅有3个零点 C．点是函数的对称中心 D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】函数最值与极值的关系辨析、利用导数研究函数的零点、分组（并项）法求和、导数新定义 【分析】A选项，，得出函数单调性，结合极值的概念，可判定错误；选项，根据极大值为，极小值，进而得到函数有3个零点，可判定正确；选项，求得，令，求得，得出，可判定正确；选项，根据对称性，得到，结合倒序相加法，可判定正确. 【详解】A选项，由函数，可得， 令，解得或；令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 当时，取得极大值，极大值为，所以极大值点为，故A错误； 选项，由知，当时，取得极小值， 极小值，且当时，， 当时，，，所以函数有3个零点，故正确； 选项，由，可得， 令，可得，又由， 所以点是函数的对称中心，故C正确； D选项，因为是函数的对称中心，所以， 令， 可得， 所以， 所以，即，所以D正确. 故选：BCD. 【例8.】 （多选）已知函数，则（    ） A．当时，函数有两个极值点 B．， 使得在R上为减函数 C．过点且与曲线相切的直线有且仅有一条 D．当时，若，直线与曲线有三个交点，，则 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值点求参数 【分析】对于A由，令，即，利用判别式即可判断，对于B利用二次函数即可判断，对于C设过点且与曲线相切于点，求切线方程，由切线方程过点得，令，利用导数研究的单调性，进而利用零点存在性定理即可判断，对于D若得，分和两种情况讨论，进而联立方程组得，展开对于系数相等即可判断. 【详解】对于A：由，令，即， 由有，所以有两根不等的实数根， 所以当时，函数有两个极值点，故A正确； 对于B：由，二次函数开口向上， 所以不存在，使得恒成立，故B错误； 对于C：设过点且与曲线相切于点， 所以，所以切线方程为， 代入得，即， 令，所以，令， 得或，当或，当， 所以在单调递减，在单调递增， 又，所以只有一个零点，即方程只有一个实数解， 所以过点且与曲线相切的直线有且仅有一条，故C正确； 对于D：当时，， 若，即，所以直线为， 当时，，则直线与只有一个交点，不满足题意，即， 当时，则， 所以， 又直线与曲线有三个交点，， 所以， 即，即，故D正确. 故选：ACD. 【例9.】 （多选）设函数，则（   ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在，使得为曲线的对称轴 D．存在，使得点为曲线的对称中心 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值点 【分析】对于A，利用导数确定函数的单调区间，求出极值即可判断；由当，可得，结合A，即可判断B；判断是否有解，即可判断C；求解，即可判断D. 【详解】解：对于A，因为， 令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，极小值为， 所以有三个零点，故A正确； 对于B，由A可知，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，故B正确； 对于C，因为， ， 因为无解， 所以不存在，使得为曲线的对称轴，故C错误； 对于D，因为， ， 当函数关于点中心对称时， 则有点， 即， 所以，解得， 所以当时，函数的图象关于中心对称，故D正确. 故选：ABD. 【例10.】 （多选）已知函数，则（    ） A．若，且的对称中心为，则的极大值点为 B．若，且，则函数有两个零点 C．若有两个极值点，且，则只有一个零点 D．若且，直线是过函数对称中心的切线，定点满足，则过点与相切的直线有三条 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】先求出，再利用函数的判别式判断极值点个数，最后由图象逐个分析即可. 【详解】因为的对称中心为， 则的对称轴为， 代入，得，， 又因为，所以， 故， 令，得极值点和； 当时，当时, 所以极大值点为，A正确； 因为，且，所以，即有两个不同的零点（极值点）， 但三次函数的零点个数由极值的符号决定： 若极大值与极小值同号，则只有1个零点；若异号，则有3个零点， 仅无法确定极值符号，故无法判断零点个数，B错误； 因为有两个极值点，则，即， 是的根，由韦达定理： ，， 又因为，显然两个极值点处的函数值同号， 若，先增后减再增，极值同号则与轴仅一个交点； 若，先减后增再减，极值同号则与轴仅一个交点, 结合图象知，只有唯一一个零点，C正确； 因为且，所以有两个极值点，且所在大概位置如图所示，所以有三条切线，D正确. 故选：ACD. 【例11.】 （多选）三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，拐点处的切线方程为 B．当时，在区间内存在最小值，则的取值范围是 C．若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D．对任意实数，直线与曲线有唯一公共点 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】对于A，根据题设定义求得，再利用导数的几何意义即可求解；对于B，根据条件，求得的极小值为，并求得，即可求解；对于C，根据条件，将问题转化成与有三个交点，利用导数求出的单调区间和极值，即可求解；对于D，联直线与曲线方程，通过判断方程解的个数，即可求解. 【详解】对于A，当时，，则，， 令，解得， 又，，所以函数拐点处的切线方程为，即，故A正确； 对于B，当时，，则， 所以当时，，当或时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以在处取得极小值， 又由，得到，解得或， 要使函数在区间内存在最小值， 所以，解得，即的取值范围是，故B错误； 对于C，因为，则， 设切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以，整理得， 令，则， 所以当时，当或时， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，在处取得极大值，又，， 因为经过点可以向曲线作三条切线，即与有三个交点， 所以，即的取值范围是，故C正确， 对于D，由，可得， 即，显然在定义域上单调递增， 所以，即对任意实数，直线与曲线有唯一公共点，故D正确. 故选：ACD. 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