专题 1.6 二次根式的意义与性质考点与题型专题训练（4大考点12类题型）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.6 二次根式的意义与性质考点与题型专题训练（4大考点12类题型） 目录 基础篇 1 【考点一】二次根式的意义 1 题型 1：识别二次根式 1 题型 2：求二次根式中的参数 2 题型 3：确定二次根式有意义的条件 2 题型 4：求二次根式的值 3 【考点二】二次根式的性质 3 题型 5：利用二次根式的性质化简 3 题型 6：判断最简二次根式 3 题型 7：将二次根式化为最简二次根式 4 题型 8：已知最简二次根式求参数 4 培优篇 4 【考点三】二次根式的综合化简求值 4 题型 9：含多重根号的二次根式化简 4 题型 10：结合绝对值、分式的二次根式有意义条件综合判断 5 题型 11：利用二次根式的非负性求参数或代数式的值 5 【考点四】二次根式的实际应用 6 题型 12：几何问题中的二次根式计算（如边长、面积） 6 基础篇 【考点一】二次根式的意义 题型 1：识别二次根式 1．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）下列选项中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）下列各式中，不一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·贵州遵义·月考）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广西柳州·月考）下列属于二次根式的是（　　） A． B． C． D． 题型 2：求二次根式中的参数 1．（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 2．（22-23八年级下·福建福州·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（    ） A．0 B．4 C．5 D．20 3．（23-24八年级下·福建南平·期中）二次根式与 的和为0，则的值为 ． 4．（25-26八年级上·上海·月考）当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 题型 3：确定二次根式有意义的条件 1．（25-26八年级上·河北邢台·月考）下列函数中，自变量的取值范围为，则这个函数解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ） A．中，x取 B．y=中，x取 C．中，x取全体实数 D．y=中，x取 3．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 4．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）若为实数，且，则的值为 ． 题型 4：求二次根式的值 1．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若的值为零，则的值是 ． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）当时，二次根式的值是 ． 【考点二】二次根式的性质 题型 5：利用二次根式的性质化简 1．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）下列各式，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北唐山·月考）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知，则 ． 4．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，化简： ． 题型 6：判断最简二次根式 1．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型 7：将二次根式化为最简二次根式 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）将化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）若实数x、y满足，则的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）将化为最简二次根式： ． 4．（24-25八年级下·甘肃定西·期中）若9，12，是勾股数，则a的值是 ． 题型 8：已知最简二次根式求参数 1．（23-24八年级下·湖北武汉·月考）若是正整数，则满足条件的最小正整数值为（    ）． A．0 B．2 C．4 D．6 2．（24-25八年级下·山东德州·月考）最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则 ， ． 4．（24-25八年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 培优篇 【考点三】二次根式的综合化简求值 题型 9：含多重根号的二次根式化简 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，例如，，那么，我们可以利用完全平方公式来解决下面的问题： 例1   求的算术平方根． 解：，所以的算术平方根是． 例2  求的算术平方根． 解：，所以的算术平方根是． 请根据上面的方法化简： (1)___________； (2)___________；（直接写出化简结果） (3)化简：． 2．（2025八年级·全国·竞赛）化简，结果是（   ） A． B． C． D． 3．（2025九年级下·上海·专题练习）化简： ． 4．（2025·浙江宁波·模拟预测） ． 题型 10：结合绝对值、分式的二次根式有意义条件综合判断 1．（23-24九年级上·四川眉山·月考）已知满足 ，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．0 2．（25-26九年级上·重庆·月考）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 3．（23-24九年级下·贵州铜仁·月考）若实数a，b，c分别表示的三条边，且a，b满足，则的第三条边c的取值范围是 ． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 题型 11：利用二次根式的非负性求参数或代数式的值 1．（24-25八年级上·四川达州·月考）已知、、满足． (1)求 、、 的值； (2)判断： 以 、、为三角形的三边长能否构成三角形?若能，判断这个三角形的形状；若不能，请说 明理由． 2．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）先化简，再求值：，其中、满足． 3．（23-24八年级下·河南安阳·月考）已知为直角三角形的两条边长，且，求这个直角三角形的第三边长． 4．（24-25八年级上·重庆·月考）已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 【考点四】二次根式的实际应用 题型 12：几何问题中的二次根式计算（如边长、面积） 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）设三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式成立． 海伦公式：，其中． 秦九韶公式：． 若一个三角形的三边长分别为3，5，6，请分别利用上面的两个公式求这个三角形的面积． 2．（25-26八年级上·四川雅安·期中）已知，，是的三边长，若，求的值． 3．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）（1）在如图中画出边长为、、5的三角形； （2）该三角形最长边上的高为________． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）已知的三边长、、满足，求的周长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.6 二次根式的意义与性质考点与题型专题训练（4大考点12类题型） 目录 基础篇 1 【考点一】二次根式的意义 1 题型 1：识别二次根式 1 题型 2：求二次根式中的参数 3 题型 3：确定二次根式有意义的条件 5 题型 4：求二次根式的值 6 【考点二】二次根式的性质 7 题型 5：利用二次根式的性质化简 8 题型 6：判断最简二次根式 9 题型 7：将二次根式化为最简二次根式 11 题型 8：已知最简二次根式求参数 12 培优篇 14 【考点三】二次根式的综合化简求值 14 题型 9：含多重根号的二次根式化简 14 题型 10：结合绝对值、分式的二次根式有意义条件综合判断 17 题型 11：利用二次根式的非负性求参数或代数式的值 20 【考点四】二次根式的实际应用 22 题型 12：几何问题中的二次根式计算（如边长、面积） 22 基础篇 【考点一】二次根式的意义 题型 1：识别二次根式 1．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）下列选项中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题关键． 直接利用二次根式的定义分析得出答案． 解：A、不一定是二次根式，如，故此选项错误； B、不一定是二次根式，如，故此选项错误； C、一定是二次根式，故此选项正确； D、，故不是二次根式，故此选项错误； 故选：C． 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）下列各式中，不一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式． 根据二次根式的定义逐一判断即可． A． 当时，即是二次根式； B． ，，即是二次根式； C． ，即是二次根式； D． 当时，即不一定是二次根式； 故选：D． 3．（23-24八年级下·贵州遵义·月考）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫作二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据二次根式的定义分析即可． 解：A．的被开方数是负数，不是二次根式，故不符合题意；     B．是二次根式，故符合题意；     C．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意；   D．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意． 故选：B． 4．（24-25八年级下·广西柳州·月考）下列属于二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，掌握二次根式中的被开方数须是非负数是解题的关键．根据二次根式的定义以及有意义的条件逐项判断即可． 解：A、中，被开方数是负数，不属于二次根式，故本选项不符合题意； B、属于二次根式，故本选项符合题意； C、中被开方数是负数，不属于二次根式，故本选项不符合题意； D、是三次根式，不属于二次根式，故本选项不符合题意． 故选：B． 题型 2：求二次根式中的参数 1．（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 2．（22-23八年级下·福建福州·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（    ） A．0 B．4 C．5 D．20 【答案】C 【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是5． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键． 3．（23-24八年级下·福建南平·期中）二次根式与 的和为0，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非负性（）是解题的关键． 解：由题意得 ， ，， 解得：，， ； 故答案：． 4．（25-26八年级上·上海·月考）当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 题型 3：确定二次根式有意义的条件 1．（25-26八年级上·河北邢台·月考）下列函数中，自变量的取值范围为，则这个函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据求解函数自变量的取值范围的方法求解即可． 解：A、，函数自变量的取值范围为一切实数，故该选项不符合题意； B、，则，解得，故该选项不符合题意； C、，则，解得，故该选项符合题意； D、，则，解得，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ） A．中，x取 B．y=中，x取 C．中，x取全体实数 D．y=中，x取 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围：自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数必须非负，判断每个选项的自变量取值范围是否正确． 解：A、，被开方数，所以，正确； B、，分母，所以，正确； C、，可取全体实数，正确； D、，被开方数且分母，所以，即，但选项说，错误； 故选：D． 3．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件． 根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件作答即可． 解：∵代数式有意义， ∴且 即且， 解得：且， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）若为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件求出值是解决问题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，求出，再代入求出，最后代入代数式计算即可得到答案． 解：中，， ， 解得， 则， ， 故答案为：． 题型 4：求二次根式的值 1．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．将代入二次根式计算求值即可． 解：当时，， 故选：C． 2．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可． 当时， ． 故选：C． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若的值为零，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质及解一元一次方程，根据题意得到，解一元一次方程即可确定答案．熟记二次根式性质及解一元一次方程的方法步骤是解决问题的关键． 解：若的值为零，则， 解得， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）当时，二次根式的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式求值，直接把代入二次根式，计算即可． 解：当时， ． 故答案为：3． 【考点二】二次根式的性质 题型 5：利用二次根式的性质化简 1．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）下列各式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，求一个数的算术平方根，二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．根据算术平方根的定义，二次根式性质，逐一判断各选项的正确性即可． 解：A．，故A错误； B．，故B正确； C．，算术平方根结果为非负数，不应有负数，故C错误； D．和在实数范围内无意义，故 D错误． 故选：B． 2．（25-26八年级上·河北唐山·月考）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握及的运算规则． 根据二次根式的性质分别化简各选项，注意算术平方根的结果为非负数，平方运算的符号规则． 解：A、，此选项不符合题意； B、，此选项符合题意； C、，此选项不符合题意； D、，此选项不符合题意． 故选：B． 3.（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，化简二次根式，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数非负． 根据二次根式有意义的条件是被开方数非负得到不等式组，求出值，代入求值即可． 解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，算术平方根，绝对值，数轴，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据、、在数轴上对应点的位置，确定相关算式的正负，利用立方根，算术平方根，绝对值的性质进行化简，最后合并同类项即可． 解：∵有理数、、在数轴上的对应点如图， ∴， ∴ ． 故答案为：． 题型 6：判断最简二次根式 1．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的判断，掌握好最简二次根式的定义是关键． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数，同时选项必须是二次根式，逐一判断即可． 解：对于A，，可化简为有理数，不是最简二次根式； 对于B，，可化简，不是最简二次根式； 对于C，，被开方数5是质数，无平方因子，且不含分母，是最简二次根式； 对于D，是立方根，不是二次根式，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的知识．根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母． 解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，被开方数23是质数，无平方因子，且不含分母，符合最简二次根式条件，该选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含分母，被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，据此进行判断即可． 解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 4．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式需满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式．逐一检查选项，A、C、D均不符合条件，只有B符合． 解：．，故该选项不符合题意； ．是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，故该选项不符合题意； ．，故该选项不符合题意； 故选：B． 题型 7：将二次根式化为最简二次根式 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）将化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式，利用二次根式的性质化简根式，并通过分母有理化得到最简形式即可. 解：； 故选A. 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）若实数x、y满足，则的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根及绝对值的非负性，化简二次根式，熟练掌握和运用算术平方根及绝对值的非负性是解决本题的关键．根据算术平方根及绝对值的非负性，即可求得x、y的值，据此即可求得． 解：由题意，， 因为，， 所以，， 解得：，， 因此，， 12的算术平方根为， 故选：D． 3．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）将化为最简二次根式： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．根据二次根式性质，进行化简即可． 解：． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·甘肃定西·期中）若9，12，是勾股数，则a的值是 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了勾股数问题，若三个正整数满足两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，那么这三个正整数是勾股数，据此分12为最大的数和a为最大的数，两种情况利用勾股定理讨论求解即可． 解：当12为最大的数时，则，不符合题意； 当a为最大的数时，则； 综上所述，a的值为15， 故答案为：15． 题型 8：已知最简二次根式求参数 1．（23-24八年级下·湖北武汉·月考）若是正整数，则满足条件的最小正整数值为（    ）． A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先化简，然后依据是正整数可得到问题的答案． 解：， ∵是正整数， ∴为完全平方数， ∴的最小值是． 故选：D. 【点睛】本题主要考查的是二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 2．（24-25八年级下·山东德州·月考）最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式与的被开方数相同，得，解出，即可． ∵最简二次根式与的被开方数相同， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式的知识，解题的关键是理解最简二次根式的概念． 3．（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 4．（24-25八年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得的取值范围，找到最小的整数解即可． 解：二次根式有意义， ， 解得：， 当时，二次根式的值为，是最简二次根式，符合题意， 若二次根式是最简二次根式，则整数的最小值是． 故答案为：． 培优篇 【考点三】二次根式的综合化简求值 题型 9：含多重根号的二次根式化简 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，例如，，那么，我们可以利用完全平方公式来解决下面的问题： 例1   求的算术平方根． 解：，所以的算术平方根是． 例2  求的算术平方根． 解：，所以的算术平方根是． 请根据上面的方法化简： (1)___________； (2)___________；（直接写出化简结果） (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了复合二次根式，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，模仿题干解题过程，则，即可作答． （2）先理解题意，模仿题干解题过程，则，即可作答． （3）同理得，，再分别代入进行化简，即可作答． （1）解：依题意，， 即； （2）解：依题意，， ∴； （3）解：依题意，， ∴； 依题意，， 则 ． 2．（2025八年级·全国·竞赛）化简，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的混合运算，完全平方公式等知识，根据二次根式的混合运算和完全平方公式逐步化简即可，掌握相关知识是解题的关键． 解： ， 故选：C． 3．（2025九年级下·上海·专题练习）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，先计算零指数幂，再化简二次根式，最后计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 解： ， 故答案为：． 4．（2025·浙江宁波·模拟预测） ． 【答案】2 【分析】利用完全平方公式对根号内的式子进行因式分解，再通过二次根式的性质进行化解即可．本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握完全平方公式以及二次根式的性质是解题的关键． 解： ． 故答案为：2． 题型 10：结合绝对值、分式的二次根式有意义条件综合判断 1．（23-24九年级上·四川眉山·月考）已知满足 ，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．0 【答案】B 【分析】先根据二次根式有意义的条件可得，再化简绝对值、算术平方根的性质即可得． 解：由题意得：， ， ， ， 即， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、化简绝对值、算术平方根的性质，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键． 2．（25-26九年级上·重庆·月考）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，先根据已知条件把用表示出来，再根据，再分两种情况进行讨论即可． 解：∵， ， ①当时，， ∵， ∴， ， ， ， ， ，即， ， ， ； ②当时，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ∴此种情况无解， 综上可知：的值为 2 ， 故答案为：2． 3．（23-24九年级下·贵州铜仁·月考）若实数a，b，c分别表示的三条边，且a，b满足，则的第三条边c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，三角形的三边关系． 根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形的三边关系确定c的取值范围即可． 解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵实数a，b，c分别表示的三条边， ∴， 即． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互为相反数的两数之和为，结合二次根式有意义的条件与绝对值的非负性，得到两个非负数相加为0的等式，从而建立二元一次方程组求解． （2）将（1）中求得的的值代入代数式，进行计算求值． （1）解：与互为相反数， ． ，， 解得 （2）解：由（1）得，， ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件与绝对值的非负性、二元一次方程组的解法以及代数式求值，掌握几个非负数的和为，则每个非负数都为的性质是解题的关键． 题型 11：利用二次根式的非负性求参数或代数式的值 1．（24-25八年级上·四川达州·月考）已知、、满足． (1)求 、、 的值； (2)判断： 以 、、为三角形的三边长能否构成三角形?若能，判断这个三角形的形状；若不能，请说 明理由． 【答案】(1)，， (2)以 、、为三角形的三边长能构成三角形，这个三角形是直角三角形 【分析】（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可； （2）用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后根据勾股定理的逆定理求解即可． （1）解：， ， ，，， 解得：，，； （2），，，且， ， 以 、、为三角形的三边长能构成三角形； ， 这个三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查了非负数的性质，二次根式有意义的条件和构成三角形的条件，勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 2．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）先化简，再求值：，其中、满足． 【答案】，28 【分析】先将原式化简，再对进行变形，根据非负数的性质求出a和b的值，代入化简后的式子求解即可． 解：原式 由变形可得， ∴，， 解得，， 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值、平方差公式、完全平方公式，二次根式的非负性，对原式进行正确化简是解题的关键． 3．（23-24八年级下·河南安阳·月考）已知为直角三角形的两条边长，且，求这个直角三角形的第三边长． 【答案】这个直角三角形的第三边长或 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、勾股定理，由二次根式有意义的条件得出，从而得出，分两种情况：当为直角三角形的两条直角边时；当为直角边，为斜边时；分别求解即可． 解：由题意得：，， 解得：， ，即， 为直角三角形的两条边长， 当为直角三角形的两条直角边时，第三边长为， 当为直角边，为斜边时，第三边长为， 综上所述，这个直角三角形的第三边长或． 4．（24-25八年级上·重庆·月考）已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 【答案】3 【分析】由题意得，，可求，由等腰三角形可知，第三条边为3或6，然后根据三角形三边关系分情况求解作答即可． 解：∵， ∴， 解得，， 由等腰三角形可知，第三条边为3或6， 当第三条边为3时，此时无法构成三角形，舍去； 当第三条边为6时，此时能构成三角形，则三边分别为6，6，3，底边长为3， 综上所述，以a、b为边的等腰三角形的底边长为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用．熟练掌握二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用是解题的关键． 【考点四】二次根式的实际应用 题型 12：几何问题中的二次根式计算（如边长、面积） 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）设三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式成立． 海伦公式：，其中． 秦九韶公式：． 若一个三角形的三边长分别为3，5，6，请分别利用上面的两个公式求这个三角形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的化简． 将3，5，6分别代入两式计算即可． 解：海伦公式：， ； 秦九韶公式： ． 2．（25-26八年级上·四川雅安·期中）已知，，是的三边长，若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，二次根式的性质，由三角形的三边关系得，，即得，，再根据二次根式的性质对等式的左边化简后即可求解，由三角形的三边关系判断出式子和的符号是解题的关键． 解：∵，，是的三边长， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得． 3．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）（1）在如图中画出边长为、、5的三角形； （2）该三角形最长边上的高为________． 【答案】（1）见解析（2）2 【分析】本题考查了网格作图，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，面积法求三角形的高，是解题的关键． （1）写出，根据勾股定理写出，即得； （2）根据勾股定理逆定理判断出此三角形是直角三角形，再根据直角三角形面积的两种表示办法求解． 解：（1）如图，，，即为所求作． （2）由图知，该三角形最长边上的高为．理由： ∵， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）已知的三边长、、满足，求的周长． 【答案】14 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的性质，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式和非负数的性质得到，，，求出，，，进而求解即可． 解：， ∴ ∴， ，，， ，，， ． ∴的周长为14． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $