专题 1.1 二次根式的意义（知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.1 二次根式的意义（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】二次根式的定义 1 ★【题型 1】二次根式的识别 1 【知识点二】二次根式的意义 3 ★【题型 2】二次根式的意义 3 ★【题型 3】二次根式的值 5 ★【题型 4】二次根式的参数 7 ★★【题型 5】二次根式的意义 8 ★★【题型 6】二次根式的意义及二次根式的值综合 10 二.中考真题 13 （一）单选题（5题） 13 （二）填空题（5题） 15 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】二次根式的定义 像，，，这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式.根据算术平方根的意义，二次根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于零或等于零. ★【题型 1】二次根式的识别 【例题1】（25-26七年级上·黑龙江大庆·月考）下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义，属于基础概念题，难度不大．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式． 结合二次根式的定义即可求解． 解：A：在中，，不合题意，故错误； B：在中，，符合题意，故正确； C：在中，的正负性不可确定，不合题意，故错误； D：在中，根指数是3，不合题意，故错误； 故答案是：B． 【变式1】（25-26九年级上·吉林长春·期末）下列各式不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握二次根式的定义是解题关键． 根据二次根式的概念，形如的式子是二次根式，逐一判断即可得到答案． 解：A、是二次根式，不合题意； B、中，故不是二次根式，符合题意； C、，则是二次根式，不合题意； D、是二次根式，不合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·广东珠海·期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，我们把形如其中的式子叫二次根式，解决本题的关键是根据二次根式的定义进行判断． 解：A．∵中的，∴二次根式无意义，∴不是二次根式，故A选项不符合题意； B．是二次根式，故B选项符合题意； C．不是二次根式，是三次根式，故C选项不符合题意； D．是分式不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选： B． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，根据定义进行逐项分析，即可作答． 解：A．∵，∴不是二次根式，故此选项不符合题意；     B．∵的根指数是3，∴不是二次根式，故此选项不符合题意；     C．∵，∴是二次根式，故此选项符合题意； D．当时，是二次根式，原选项没有说明的取值范围，故此选项不符合题意； 故选：C． 【知识点二】二次根式的意义 一般地，我们把形如同的式子叫做二次根式.“”称为二次根号. ★【题型 2】二次根式的意义 【例题2】（2025八年级上·全国·专题练习）求下列函数中自变量x的取值范围． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)x是任意实数 (2)且 (3) 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． （1）根据对任意的实数，整式都有意义即可求解； （2）根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围； （3）根据0的0次幂无意义即可求解． （1）解：由题意得：x为任意实数； （2）解：根据题意得：， 解得：且； （3）解：根据题意得：， 解得：． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知为实数，则代数式的值为（   ） A．0 B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入代数式计算． 解：要使二次根式有意义，被开方数必须为非负数，则 由，得：． 将代入代数式： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件（被开方数非负），解题关键是通过的非负性确定的唯一值，再代入计算． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）已知，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此可求出x的值，进而求出y的值，再代入求解即可． 解：∵式子有意义， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：8． 【变式3】（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）要使分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零；二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此列式解答即可． 解：∵分式有意义， ∴，且， 解得． 故答案为：． ★【题型 3】二次根式的值 【例题3】（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 【变式1】（23-24八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 解：当时，． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·江西上饶·期中）当时，二次根式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的求值等知识点，掌握二次根式的计算成为解题的关键． 将代入二次根式，然后求解即可． 解：当时，． 故答案为：2． 【变式3】（25-26八年级上·四川达州·月考）已知实数，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，积的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合二次根式的非负性，得，即，又因为，得，整理，最后代入数值计算，即可作答． 解：结合二次根式有意义的性质，得， ∴， 即， ∴， 则 ． ★【题型 4】二次根式的参数 【例题4】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知是整数，求自然数n的值． 【答案】10，9，6，1 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质、化简法则及自然数指大于等于0的整数，分析求解． 由题意得， 又n为自然数， ∴， ∵是整数 ， ∴，，，， ∴自然数n所有可能的值为10，9，6，1． 【变式1】（24-25八年级下·福建福州·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据，即可求解． 解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁盘锦·月考）当的值为 时，的值最小，这个最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质解答即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 解：∵， ∴当时，即，取最小值， 此时的值最小，最小值为， 故答案为：，． 【变式3】（24-25八年级下·云南昆明·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式发现第n个单项式的系数为，字母部分为，即可求解． 解：各单项式的系数依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的系数为． 各单项式的字母部分依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的字母部分为． 综上，第个单项式为． 故选：D ★★【题型 5】二次根式的意义 【例题5】（2026·四川巴中·模拟预测）函数 的定义域是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求函数的定义域、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件． 根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件作答即可． 解：∵， ∴分母，根号内， ∴且，， 综上，定义域为且． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮南·期末）函数中自变量的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数自变量的范围，掌握相关知识点是解题的关键． 根据分式中分母不等于，二次根式的被开方数大于或等于，列式求解即可． 解：∵根号内， ∴； ∵分母， ∴； 故答案为：且． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式有意义的条件、零指数幂有意义的条件和二次根式有意义的条件，解题的关键是理解上述条件． 式子在实数范围内有意义，需同时满足分母不为零、零指数幂的底数不为零，以及二次根式的被开方数非负，由此即可解答． 解：为了使式子 在实数范围内有意义，需满足以下条件： ①零指数幂 有意义的条件是底数不为零，即， ∴． ②分母有意义的条件是被开方数，且分母不能为零， ，即 ． 综合以上，的取值范围是且． 故答案为：且． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知有理数，满足，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数必须是非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，从而确定的值，再代入原式求，最后计算的值． 解：由题意，和均有意义，则被开方数且， 解得且， 所以． 代入原式，． 则． 故答案为：． ★★【题型 6】二次根式的意义及二次根式的值综合 【例题6】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，值为；当值为时， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件解答即可． （2）将代入即可求解，令时，求解即可 （1）解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则， 解得：． 【变式1】（25-26九年级上·四川巴中·月考）已知x、y为实数，且，求的值． 【答案】5 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，再代入计算即可． 解：由题意可知：，， 解得：， ∴，     ∴ ． 【变式2】（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值 解：由，得 (1)尝试应用：若x，y为实数，且，化简：； (2)拓展创新：已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，完全平方公式，绝对值的意义，熟练掌握二次根式有意义的条件，完全平方公式是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件可求出的值，从而得到的值，即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件可求出，从而得到，再根据完全平方公式的变形，即可求解． （1）解：由题意得：， 解得：， ， ， ； （2）解：由题意得：， 解得：， ， ， ， ． 【变式3】（24-25八年级下·浙江金华·月考）已知，是的两边，且满足． (1)求的算术平方根； (2)求的面积． 【答案】(1)6 (2)6或7.5 【分析】本题考查了二次根式的性质，解一元一次不等式组，勾股定理，求一个数的算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据二次根式被开方数非负求出，则，即可求出，那么即可求解算术平方根； （2）当5为斜边长，3为直角边长时，由勾股定理求另一直角边，即可求解面积；当3和5都是直角边长时，直接求解面积． （1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， 所以其算术平方根为； （2）解：当5为斜边长，3为直角边长时，另一直角边为， ∴面积为； 当3和5都是直角边长时，面积为， ∴的面积为6或7.5． 二.中考真题 （一）单选题（5题） 1．（2024·江苏常州·中考真题）若二次根式有意义，则可取的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件得出的取值范围，继而得出答案． 解：若二次根式有意义，则， 解得， 在四个选项中符合的是2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数． 2．（2023·内蒙古通辽·中考真题）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解． 解：根据题意得，， 解得， 在数轴上表示如下：    故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 3．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件即可求得答案． 解：由题意可得， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式及分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 4．（2023·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了自变量的取值范围，根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，列式解答即可． 解：由题意可得且， 解得：且， 故选：C． 5．（2024·甘肃甘南·中考真题）已知x，y为实数，若满足，则的值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，幂的运算等知识，根据二次根式有意义的条件求出，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求出，由此得到y的值，再进行计算即可． 解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． （二）填空题（5题） 6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得出，即可求解． 解：依题意， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键． 7．（2023·湖南永州·中考真题）已知x为正整数，写出一个使在实数的范围内没有意义的x值是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得当时，没有意义，解不等式，即可解答． 解：当时，没有意义， 解得， 为正整数， 可取1，2， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知根号下的式子小于零时，二次根式无意义，是解题的关键． 8．（2024·上海·中考真题）已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可． 解：根据题意可知：， ∴， 解得：， 故答案为：1． 9．（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可． 解：根据题意得，，且， 解得，， 故答案为：． 10．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 解：由题意可得，， 解得且， 故答案为：且． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.1 二次根式的意义（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】二次根式的定义 1 ★【题型 1】二次根式的识别 1 【知识点二】二次根式的意义 2 ★【题型 2】二次根式的意义 2 ★【题型 3】二次根式的值 2 ★【题型 4】二次根式的参数 2 ★★【题型 5】二次根式的意义 3 ★★【题型 6】二次根式的意义及二次根式的值综合 3 二.中考真题 4 （一）单选题（5题） 4 （二）填空题（5题） 5 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】二次根式的定义 像，，，这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式.根据算术平方根的意义，二次根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于零或等于零. ★【题型 1】二次根式的识别 【例题1】（25-26七年级上·黑龙江大庆·月考）下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·吉林长春·期末）下列各式不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·广东珠海·期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【知识点二】二次根式的意义 一般地，我们把形如同的式子叫做二次根式.“”称为二次根号. ★【题型 2】二次根式的意义 【例题2】（2025八年级上·全国·专题练习）求下列函数中自变量x的取值范围． (1)； (2)； (3)． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知为实数，则代数式的值为（   ） A．0 B． C． D．无法确定 【变式2】（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）已知，则 ． 【变式3】（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）要使分式有意义，则的取值范围是 ． ★【题型 3】二次根式的值 【例题3】（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【变式1】（23-24八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江西上饶·期中）当时，二次根式的值为 ． 【变式3】（25-26八年级上·四川达州·月考）已知实数，满足，求的值． ★【题型 4】二次根式的参数 【例题4】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知是整数，求自然数n的值． 【变式1】（24-25八年级下·福建福州·期末）若，则 ． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁盘锦·月考）当的值为 时，的值最小，这个最小值为 ． 【变式3】（24-25八年级下·云南昆明·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（   ） A． B． C． D． ★★【题型 5】二次根式的意义 【例题5】（2026·四川巴中·模拟预测）函数 的定义域是（　　） A．且 B． C．且 D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮南·期末）函数中自变量的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知有理数，满足，则的值为 ． ★★【题型 6】二次根式的意义及二次根式的值综合 【例题6】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·四川巴中·月考）已知x、y为实数，且，求的值． 【变式2】（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值 解：由，得 (1)尝试应用：若x，y为实数，且，化简：； (2)拓展创新：已知，求的值． 【变式3】（24-25八年级下·浙江金华·月考）已知，是的两边，且满足． (1)求的算术平方根； (2)求的面积． 二.中考真题 （一）单选题（5题） 1．（2024·江苏常州·中考真题）若二次根式有意义，则可取的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2023·内蒙古通辽·中考真题）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（    ） A．   B．   C．   D．   3．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 5．（2024·甘肃甘南·中考真题）已知x，y为实数，若满足，则的值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 （二）填空题（5题） 6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 7．（2023·湖南永州·中考真题）已知x为正整数，写出一个使在实数的范围内没有意义的x值是 ． 8．（2024·上海·中考真题）已知，则 ． 9．（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 10．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $