精品解析：天津市宝坻区第一中学等校2025-2026学年第一学期期末高二数学学生学业能力调研试卷

2025～2026学年度第一学期期末高二数学 学生学业能力调研试卷 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1. 过两点，的直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由两点求出斜率，再由斜率求出倾斜角. 【详解】因为直线过点，，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，所以， 故直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共线的坐标表示进行求解即可. 【详解】因为， 所以，解得. 所以. 故选：B. 3. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. 15 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】借助等差数列等差中项的性质计算即可得. 【详解】等差数列中，解得， 则. 故选：D. 4. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为 （ ） A. B. 3 C. 5 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】确定双曲线的渐近线方程，由直线垂直关系即可得的值，从而得双曲线的离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为：， 若一条渐近线与直线垂直， 所以，所以， 所以该双曲线的离心率为 . 故选：A. 5. 已知圆与直线相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由为正三角形，得到圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】圆，即， 可知圆心为，半径，且， 圆心到直线的距离， 因为圆与相交于两点，且为正三角形， 所以，即，解得. 故选：C. 6. 设数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质可得，结合等比数列的定义和通项公式计算即可求解. 【详解】由，得，所以， 则数列是以为公比的等比数列， 因为， 所以. 故选：C 7. 已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标求出和关系，然后利用双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4求出的值，最后利用的关系求焦距. 【详解】因为双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 所以， 又因为双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4， 所以 所以， 故选：A. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点分别在的左支和右支上，且满足，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设为坐标原点，延长交双曲线于点，连接，根据双曲线的对称性可知，由双曲线的定义结合余弦定理求解. 【详解】如图，设为坐标原点，延长交双曲线于点，连接，因为，点为的中点，所以根据双曲线的对称性可知，，（关键：双曲线的对称性的应用）． 根据，不妨设，则， 所以，，（双曲线定义的应用） 又，所以，解得，因此，，，．在中，， 在中，， 故，可得． 故选：A． 9. 数列满足，，若成立，则正整数的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】由可得数列为等差数列，则可得通项公式，从而可得，再利用裂项相消法计算可得，最后解出不等式即可得. 【详解】由，则，即， 又，故数列是以为首项，为公差的等差数列， 故，故； 则， 则， 令，解得，故正整数的最大值为. 故选：D. 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10. 已知直线：总是经过定点，则定点坐标为_______. 【答案】 【解析】 【分析】将方程变形为，即可求解. 【详解】由可得， 令，解得， 故定点为， 故答案为： 11. 已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是_____. 【答案】外切 【解析】 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径；由直线平分圆面积可知直线过圆心，由此可求得的值；根据圆心距和两圆半径之间关系可确定两圆位置关系. 【详解】由圆方程知：圆心，半径， 由圆方程知：圆心，半径； 圆的面积被直线平分，直线过圆心， ，解得：，； 圆心距， 圆与圆的位置关系是外切. 故答案为：外切. 12. 已知等比数列的前项和为，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先应用，计算得出公比，最后应用等比数列通项计算即可. 【详解】因为，所以. 两式相减，得，即， 所以等比数列的公比. 当时，由，得， 解得，所以. 故答案为： 13. 如图，直三棱柱中，，，，点D是中点，则点到直线的距离是_______. 【答案】## 【解析】 【分析】连接,易得是边长为的等边三角形，取的中点，连接,则的长即为点到直线的距离，在等边三角形中，求解即可. 【详解】连接, 因为，，点D是中点，， 所以，, 又因为,, 所以是边长为的等边三角形， 取的中点，连接, 则, 所以的长即为点到直线的距离， 又因为是边长为的等边三角形， 所以. 故答案为： 14. 已知点M为双曲线C：在第一象限的一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，F到一条渐近线的距离为，且，则双曲线C的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，易知，求出点M的坐标，利用两点间距离公式求出，根据建立关于的方程，解之可得.结合点到直线的距离公式计算求出即可. 【详解】如图，，双曲线的渐近线方程为， 因为为等腰三角形，所以，代入方程， 得，由解得， 所以，得， 又，所以， 即，整理得， 由解得. 又到渐近线的距离为， 所以，得，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为：. 15. 设抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作的垂线，垂足为.设与相交于点.若，且的面积为是抛物线上的一点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】不妨设，分析可得点纵坐标为，结合面积可得，设，结合两点间距离公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：焦点，准线，则， 由对称性不妨设，则，解得， 将点代入，可得，即， 由得，可知点纵坐标为， 则的面积为，解得， 所以抛物线方程为，点坐标为， 设，则， 当且仅当时，等号成立， 所以当点是抛物线的顶点时，取最小值3. 故答案为：3. 三、解答题（共5题，共75分） 16. 如图，三棱台中，，侧棱平面，点是的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离： （3）求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 平面，以为原点，分别以､ 的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ，点是的中点， ， ， 则. 设平面的法向量为，则有 不妨令，得， . 平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意先建立空间直角坐标系，平面，分别以､的方向为轴，轴，轴的正方向建系，求得的方向向量和平面的法向量平行即可； （2）求得直线的方向向量和平面的法向量，利用投影法即可得解； （3）分别求得平面的法向量为，平面的法向量为，则平面和平面夹角的余弦值，代入即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 设平面的法向量为，则有 不妨令，得， . 则， 点到平面的距离为. 【小问3详解】 设平面与平面的夹角为， 平面的法向量为，平面的法向量为， ， 平面和平面夹角的余弦值等于. 17. 已知椭圆C：过点和. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为45°的直线，直线与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质，结合代入法，的关系进行求解即可； （2）根据三角形面积公式，结合椭圆弦长公式、点到直线距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 由椭圆的简单几何性质，可知 将点代入，得， 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由已知可得椭圆的右焦点为， 直线l的方程为， 联立椭圆方程，得，， 设，，所以，， 则， 点到直线：的距离， 故. 18. 已知公差为正数的等差数列的前n项和为，数列为等比数列，且，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组，求出公差和公比即可； （2）利用错位相减法求出. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列公比为， 则，解得， ∴， 【小问2详解】 ， ， ∴， 两式作差得： ∴. 19. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与C交于D，E两点，的周长为8，当直线垂直于x轴时，. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆C的左顶点为A，直线与C相交于M，N两点，直线与直线相交于点Q.问：直线是否过定点?若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2）直线过定点 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义，结合代入法进行求解即可； （2）将直线方程与椭圆方程联立，结合一元二次方程根的判别式、根与系数关系、直线斜率公式进行求解即可. 【小问1详解】 由椭圆的定义可知的周长为， 所以，即，解得， 代入椭圆方程有，所以，所以， 所以通径，所以， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 直线过定点，理由如下： 由可得， 显然， 设，则有，. 直线的方程为. 令，解得，则， 所以直线的斜率为，且， 所以直线的方程为. 令，则 所以直线过定点. 20. 已知为正整数且，为非零实数，数列满足，且是公差为1的等差数列，是公差为的等差数列，是公差为的等差数列，以此类推. （1）当，时，求； （2）求的最小值（用含的代数式表示）； （3）记除以的整数部分为，余数为，求的通项公式（用含的代数式表示）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式即可求解；（2）利用等差数列的通项公式求得，然后结合二次函数的性质即可求得；（3）利用等差数列的通项公式求得，递推后累加可得，然后利用等比数列的前项和公式即可求解. 【小问1详解】 因为为公差为1的等差数列，所以； 又为公差为的等差数列， 所以，解得； 【小问2详解】 因为为公差为1的等差数列，所以； 又为公差为的等差数列，所以； 又为公差的等差数列， 所以； 又为正整数，所以，故的最小值为； 【小问3详解】 记除以的整数部分为，余数为，则， 当时，是公差为的等差数列， 而， 依次类推得， 累加得， 即，即； 当时，， 当时，， 所以， 依题意，当时，， 当时，，也满足上式， 综上，数列的通项公式为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期期末高二数学 学生学业能力调研试卷 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1. 过两点，的直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 2. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. 15 B. 20 C. 30 D. 40 4. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为 （ ） A. B. 3 C. 5 D. 2 5. 已知圆与直线相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 设数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点分别在的左支和右支上，且满足，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 数列满足，，若成立，则正整数的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10. 已知直线：总是经过定点，则定点坐标为_______. 11. 已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是_____. 12. 已知等比数列的前项和为，且，则__________. 13. 如图，直三棱柱中，，，，点D是中点，则点到直线的距离是_______. 14. 已知点M为双曲线C：在第一象限的一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，F到一条渐近线的距离为，且，则双曲线C的标准方程为______. 15. 设抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作的垂线，垂足为.设与相交于点.若，且的面积为是抛物线上的一点，则的最小值为__________. 三、解答题（共5题，共75分） 16. 如图，三棱台中，，侧棱平面，点是的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离： （3）求平面和平面夹角的余弦值. 17. 已知椭圆C：过点和. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为45°的直线，直线与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 18. 已知公差为正数的等差数列的前n项和为，数列为等比数列，且，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前n项和. 19. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与C交于D，E两点，的周长为8，当直线垂直于x轴时，. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆C的左顶点为A，直线与C相交于M，N两点，直线与直线相交于点Q.问：直线是否过定点?若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 20. 已知为正整数且，为非零实数，数列满足，且是公差为1的等差数列，是公差为的等差数列，是公差为的等差数列，以此类推. （1）当，时，求； （2）求的最小值（用含的代数式表示）； （3）记除以的整数部分为，余数为，求的通项公式（用含的代数式表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $