精品解析：重庆市江津中学校2025-2026学年度高二第一学期期末考试数学试题

高2027届2025—2026学年度第一学期期末考试 数学试题 命题学校：重庆市江津中学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．考试结束后，将答题卷交回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 直线：在轴上的截距为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式求解. 【详解】将直线化为斜截式得， 所以直线在轴上的截距为， 故选：A. 2. 函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义以及割线斜率结合图形可判断. 【详解】表示两点所在直线的斜率， 而分别表示在处的切线斜率， 由图可知，. 故选：B 3. 椭圆的一个焦点在抛物线（）的准线上，则抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆方程求出其焦点，根据焦点在准线上求出，得到抛物线方程. 【详解】由椭圆方程可得，所以， 则由题知焦点在准线上，得到，解得， 所以抛物线的标准方程为. 故选：D. 4. 已知向量，，，若向量，，共面，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意：存在实数使得，再根据坐标运算解方程求解即可. 【详解】向量，，共面，存在实数使得，即， ，解得，， ， . 故选：A 5. 函数（）在定义域上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由在定义域上单调递增，可得恒成立，结合“三个二次”关系求解. 【详解】因为在定义域上单调递增，所以恒成立， 所以方程至多一个实根，所以， 解得，即实数的取值范围是， 故选：A. 6. 已知数列满足，，那么（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用递推公式求得是周期为4的数列，然后利用及周期性求解即可. 【详解】因为，所以， ，， 所以是周期为4的数列，故，所以，解得. 故选：C 7. 设双曲线：（，）的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，且，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的对称性得到，在中由余弦定理列方程求离心率. 【详解】因为过原点直线与交于两点，所以关于原点对称， 所以，由得， 由双曲线的定义可知，所以， 又由得，中，由余弦定理可得： ，即， 所以，所以双曲线的离心率， 故选：B. 8. 在长方体中，，，向量，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，将点 的坐标用表示，代入约束条件后，把转化为关于的二次代数式，再通过代数配方求出最小值. 【详解】以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则, 所以， 所以， 所以， 所以，又， 所以， 将其看作关于的二次式，， 则当时最小值为， 则当时取得最小值，此时. 故选：A. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9. 已知直线：与圆：，则下列说法中正确的有（ ） A. 当时，直线的斜率不存在 B. 直线过定点 C. 圆与直线的相交弦长的最小值为 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，将代入直线方程，根据直线方程的形式判断直线斜率是否存在；选项B，将直线方程变形，通过联立方程组求解定点坐标；选项C，先确定圆的圆心和半径，再根据直线过定点，结合圆的性质求出相交弦长的最小值；选项D，根据两圆恰有三条公切线得出两圆的位置关系，进而求出的值. 【详解】选项A，当时，直线的方程为，即，这是一条平行于轴的直线，其斜率为，并非不存在，所以选项A错误； 选项B，将直线的方程变形为， 令，解得，所以直线过定点，选项B正确； 选项C，将圆的方程转化为标准方程：，则圆心，半径， 已知直线过定点，计算定点与圆心的距离：， 根据圆的弦长计算公式，当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，此时弦长最小， 所以弦长的最小值为，选项C正确； 选项D，将圆转化为标准方程：，则圆心坐标为，半径为， 已知圆的圆心，半径， 因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，则两圆的圆心距等于两圆半径之和， 计算两圆的圆心距， 由两圆外切可得，解得，选项D正确. 故选：BCD. 10. 已知数列为等差数列，为等比数列，，分别是数列，的前项和，若，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则，，成等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意得，，再根据等差数列求和公式及等差数列的性质求解判断A；根据等差中项与等比中项的性质求解判断B；根据等比数列通项公式基本量的运算及求和公式求解判断C；根据等差数列通项公式基本量的运算及等比数列定义判断D. 【详解】因为数列为等差数列，为等比数列，，， 所以，即，，即， 对于A选项，，故正确； 对于B选项，，所以，故错误； 对于C选项，由，得公比，所以，故，正确； 对于D选项，设等差数列的公差为， 因为，，所以，所以，，， 因为，所以，，成等比数列，故正确. 故选：ACD 11. 已知抛物线：（）的焦点为，若直线过点与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，则下列说法正确的是（ ）． A. 抛物线的准线方程为 B. 一定为钝角 C. 直线的斜率最大值为 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，代入直线方程可得即可判断A正确，将直线与抛物线联立，结合韦达定理并利用向量数量积公式可得，可知B正确；先求出线段的中点的坐标，得出直线的斜率的表达式，根据基本不等式可判断C错误，利用抛物线定义以及两点间距离公式，分别求得的表达式，通过计算可得D错误. 根据题意 【详解】对于A，易知抛物线的焦点坐标为， 又直线过点，所以，解得， 因此抛物线方程为，所以准线方程为，即A正确； 对于B，设， 联立，整理可得， 显然，且， 因此， 所以，即， 又因为，所以一定为钝角，即B正确； 对于C，易知线段的中点的纵坐标，横坐标； 所以直线的斜率， 当时，，当时，不可能取得最大值， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立，所以直线的斜率最大值为，即C错误； 对于D，由抛物线定义可得， 因为的中点， 易知当时，，此时，； 当时，直线的斜率为，因此的中垂线斜率为， 所以的中垂线方程为， 令，解得，即， 因此， 若，则，所以D错误. 故选：AB 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知直线：，当直线与等轴双曲线的渐近线平行时，实数的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】先求出等轴双曲线的渐近线方程，再根据两直线平行关系列式求解即可，注意验证. 【详解】等轴双曲线的渐近线为，即或， 因为直线与等轴双曲线的渐近线平行， 所以或，解得或； 当时，直线：，与等轴双曲线的渐近线重合，不合题意； 当时，直线：，与等轴双曲线的渐近线平行，满足题意； 所以． 故答案为：0 13. 已知函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数法和定义法分别判断函数的奇偶性和单调性，然后利用这两个性质解不等式即可. 【详解】函数定义域为，恒成立， 所以是增函数， 又， 所以是奇函数， 由得， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 已知数列的通项公式是，设，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求导函数，再计算，利用裂项相消化简. 【详解】，则， 又，所以， 则. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知，，动点满足． （1）求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； （2）一条光线从点射出，经轴反射后，与动点的轨迹相切，求反射光线所在直线的方程． 【答案】（1）；动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆 （2）或 【解析】 【分析】（1）设，由建立等式化简可得，根据圆的概念可说明轨迹的形状； （2）设点关于轴的对称点为，设反射光线所在直线斜率为，写出直线方程，根据直线与圆的位置关系建立等式计算即可求解. 【小问1详解】 设，因为， 所以，化简可得， 即，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； 【小问2详解】 点关于轴的对称点为， 由题意可得过点的直线斜率存在，则反射光线所在直线斜率也存在， 设过点的直线斜率为，则反射光线所在直线方程为，即， 因为反射光线所在直线与动点的轨迹相切， 则，解得， 所以反射光线所在直线的方程为或. 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，记数列的前项和，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由与关系求解； （2）分析取值规律，并项求和. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 又，所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1），所以， 所以 = 17. 已知函数，其中． （1）若时，求函数在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先代入求出函数值与导数值，得到切点坐标和切线斜率，再用点斜式写成切线方程； （2）先求导并对导数因式分解，再根据时两个临界点的大小关系分情况讨论，确定函数的单调区间. 【小问1详解】 当时，，， 又由得， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，， 令得或， ①若，即，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减； ②若，即，则当时，恒成立（当且仅当时取等号），单调递增； ③若，即，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 综上，当时， 的单调递增区间是和，单调递减区间是； 当时， 的单调递增区间是，无单调递减区间； 当时，的单调递增 区间是和，单调递减区间是. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，．点，分别在线段与上（不含端点），且，． （1）求证：平面； （2）设点是的重心，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面，求最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，进而利用线面垂直的判定定理证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用重心的向量形式求得，再求出平面的法向量，利用空间向量法求线面角的正弦值即可； （3）由向量的线性坐标运算得，求得平面的法向量为，根据平面得，则，进而利用基本不等式求解最小值即可. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 所以，则，可知， 因为平面，平面，则， 且，平面，平面， 所以平面 【小问2详解】 由（1）知，两两互相垂直，故以为正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，，， 因为点是的重心，所以，可得， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 因为，， 所以，， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 因为平面，所以，所以， 所以，即， 所以，， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以时，取到最小值8. 19. 已知椭圆的左顶点为，下顶点为，长轴长为4，且过点. （1）求的方程； （2）点为椭圆在第一象限上任一点，直线交轴于点，直线交轴于点. （i）若四条直线，，，的斜率分别记为，，，，证明：； （ii）记的面积为，四边形的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）（i）设点，求出，再求出直线的方程，得出点坐标，再计算即可求证； （ii）记的面积为，则，由（i）得，再令，得出，再构造函数，通过导函数研究其最值即可求出. 【小问1详解】 由题意得，，，解得， 故的方程为； 【小问2详解】 （i）设点，且， 由题意得，，故，，， 则直线，直线， 则，则， 则，，故； （ii）记的面积为，则， 因 再令， 则， 令， 则 因，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，故的最小值为， 故的最小值为， 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2027届2025—2026学年度第一学期期末考试 数学试题 命题学校：重庆市江津中学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．考试结束后，将答题卷交回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 直线：在轴上截距为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 2. 函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（ ） A. B. C D. 3. 椭圆的一个焦点在抛物线（）的准线上，则抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，，若向量，，共面，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 5. 函数（）在定义域上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，，那么（ ） A. 2 B. C. D. 7. 设双曲线：（，）的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，且，，则双曲线的离心率为（ ） A B. C. D. 8. 在长方体中，，，向量，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9. 已知直线：与圆：，则下列说法中正确的有（ ） A. 当时，直线的斜率不存在 B. 直线过定点 C. 圆与直线的相交弦长的最小值为 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 10. 已知数列为等差数列，为等比数列，，分别是数列，的前项和，若，，则下列选项正确的是（ ） A B. C. 若，则 D. 若，则，，成等比数列 11. 已知抛物线：（）的焦点为，若直线过点与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，则下列说法正确的是（ ）． A. 抛物线的准线方程为 B. 一定为钝角 C. 直线斜率最大值为 D. 若，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知直线：，当直线与等轴双曲线的渐近线平行时，实数的值为______． 13. 已知函数，则不等式的解集为______． 14. 已知数列的通项公式是，设，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知，，动点满足． （1）求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； （2）一条光线从点射出，经轴反射后，与动点的轨迹相切，求反射光线所在直线的方程． 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，记数列的前项和，求． 17. 已知函数，其中． （1）若时，求函数在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，．点，分别在线段与上（不含端点），且，． （1）求证：平面； （2）设点是的重心，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面，求的最小值． 19. 已知椭圆的左顶点为，下顶点为，长轴长为4，且过点. （1）求的方程； （2）点为椭圆在第一象限上任一点，直线交轴于点，直线交轴于点. （i）若四条直线，，，的斜率分别记为，，，，证明：； （ii）记的面积为，四边形的面积为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $