重庆市第一中学校2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

重庆一中高2027届高二上期期末考试 数学试题卷 本试卷共4页，共19题.满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.谷题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照.如需改动，用橡皮擦干净后，再进涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设函数的导函数为，已知，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 2. 记为等差数列的前项和，已知，则（ ） A. 13 B. 26 C. 39 D. 52 3. 重庆市某中学为了解高二学生的期末数学考试成绩，研究人员对1500名学生进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，则这1500名学生期末数学考试成绩的中位数约为（ ） A. 100 B. 97.5 C. 95 D. 92.5 4. 数列中，若，，则（ ） A. B. 2026 C. D. 2025 5. 若函数在处取得极大值3，则在上的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，若数列是公比为3的等比数列，则数列的前20项和为（ ） A. B. C. D. 7. 设定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆的左、右焦点分别为，，斜率为正的直线经过且与椭圆相交于，两点，若，.则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 数据1，2，2，2，3，4，6的极差与众数之和为7 B. 数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是4 C. 若样本，，…，的平均数和方差分别为2和3，，，…，的平均数和标准差分别为8和9 D. 将总体划分为两层，其个体数分别为，，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则可估计总体的方差 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线交于，两点，且点在第三象限，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若点，则直线与的斜率之积为 C. 的取值范围为 D. 若轴于点，则 11. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是 B. ，都存在极大值 C. ，使得恒成立 D. 当时，若方程有两个不同实根，，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 抛物线的焦点为，过该抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，若，则______． 13. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 14. 已知数列的前项和，若实数满足对恒成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）当时，求曲线上的点到直线：的距离的最小值； （2）若函数在区间内有两个零点，求的取值范围. 16. 已知椭圆：（）的长轴长为4，过左焦点作直线交椭圆于，两点，的最小值为1． （1）求椭圆的方程； （2）若面积为1，求直线的斜率． 17. 设正项数列的前项和为，. （1）求的通项公式； （2）设，求的前项和： （3）设，求证：. 18. 已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且经过点，渐近线方程为. （1）求双曲线的方程； （2），是双曲线上与点同支且异于点的两动点.直线，的斜率互为相反数. （i）试判断：直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值：若不是，说明理由； （ii）求外接圆在点处的切线方程. 19. 已知函数. （1）讨论的极值情况； （2）是否存在使得对任意，总存在，使得成立？若存在，求出实数的值：若不存在，请说明理由； （3）若，此时有两个不同的零点，和一个极值点，记，，.判断是否为等腰三角形？请说明理由. 参考数据： 重庆一中高2027届高二上期期末考试 数学试题卷 本试卷共4页，共19题.满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.谷题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照.如需改动，用橡皮擦干净后，再进涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】##0.5 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3） 由（1）知，则， 当时，，结论也成立. 当时，因为，所以，故， 所以，当时，  ， 因为，所以，即. 综上所述，. 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）是定值，理由如下： 显然直线存在斜率时，斜率一定不为零， 所以设直线的方程为，与双曲线方程联立， 得， 由题意可知：， 设，， 因为直线，的斜率互为相反数， 所以 ， 解得，或， 当时，， 显然直线的斜率是定值； 当时，， 显然该直线过定点，与已知矛盾， 综上所述：直线的斜率是定值； （ii） 【19题答案】 【答案】（1）时，无极值；时，在处取得极大值，极大值为，无极小值 （2） 实数的值为，理由如下： ①当时，由（1）知，在上单调递减， 故当时，，则， 故不满足题意； ②当时，由（1）知，在上单调递增， 在上，单调递减，故当时，， 取，对任意，不合题意； ③当时，令， 由（1）知在上单调递增，进而知在上单调递减， 所以， 故对任意的，总存在，使得成立，即成立， 则，故，即， 即，解得． 综上所述，存在满足题意的实数，且实数的值为． （3）不可能是等腰三角形；理由如下： 当时，，由（1）知在单调递增， 在单调递减，故为的极大值点， 极大值，令． 则，故在单调递增， 故， 又注意到，故不妨设，此外， 则，记，则， 所以在上单调递减，所以， 即，故在单调递减， 故． 由零点存在性定理，知有零点， 则． 设，则为的高且，故， 下证，由此可得不是等腰三角形． 首先，我们证明：，即． 由于，故， 由，知， 接下来，我们证明，即证． 令， 则单调递增，且， 由零点存在性定理，在有唯一零点，且在单调递减， 在单调递增，且，故，得证. 因此，则， 故要证，只需证． 构造函数． 注意到，又， 令，解得，故在单调递增， 在单调递减，故，只需证． 而，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $