重庆市江津中学校等校高2027届2025-2026学年度第一学期期末考试数学试题

高2027届2025-2026学年度第一学期期末考试 数学试题 命题学校：重庆市江津中学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.考试结束后，将答题卷交回。 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.(原创)直线1：x-2y+6=0在y轴上的截距为() A.3 B.-3 C.6 D.-6 2.(原创)函数y=f(x)的图象如下，fP(x)是函数f(×)的导函数，下列大小关系正确 的是( A.f'(4)<f(4)-f(3)<f'(3) B.'(3)<f(4)-f(3)<f'(4) C.f'(3)<f'(4)<f(4)-f(3) 3 D.f(4)-f(3)<f'(4)<f'(3) 3.(原创)精图二+上=1的一个焦点在抛物线y=2pxp>0)的准线上，则抛物线的标 62 准方程为() A.y2=8√2x B.y2=-8V2x C.y2=-8x D.y2=8x 4.(原创)已知向量a=(0,-1,10,b=(21,0),c=(2,4,x),若向量a,b,c共 面，则|a-b+c=() A.2√2 B.3 C.-3 D.4 高2027届2025-2026学年度第一学期期末考试数学试题第1页共4页 5.(原创)函数f(x)=x3+ax2+x+1(a∈R)在定义域上单调递增，则实数a的取值范 围是( A.[-3,W5] B.(-√5√3) C.(-o,-V3]U[3,+oo) D.(-o0,-√3)U(W3,+0) 6.(改编)已知数列{an}满足am+1= 1+a2,a06=2,那么a=（） 1-an A.2 B.-1 c. D.-3 2 7.(改装)世汉当线C三-茶=a>0>0的在在点为过注生标点的立线与 C交于A,B两点，副FA=3引FB引，∠BFA=T,则双曲线C的离心率为() 3 A.√2 B.3 c.5 D.7 2 8.(改编)在长方体ABCD-A1B1CD1中，AB=AA1=2,AD=3, 向量 P=B+2YD+zA,若x+y+2=1,则CP|的最小值为( 3 A.5V6 B.2V6 c.6 D.6 6 3 3 6 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只 有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个 得2分.) 9.(原创)已知直线1：mx-y-m+1=0与圆(C:x+y2-4y=0,则( ) A.当m=0时，直线1的斜率不存在 B.直线1过定点(1,1) C.圆c与直线1的相交弦长的最小值为22 D.若圆c与圆x2+y2-6x-12y+m=0恰有三条公切线，则m=36 l0.(原创)已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，Sn,Tn分别是数列{an},bn 的前n项和，若a2+a6+a1o=3π，b,b,b,=8,则下列选项正确的是() A.S,=11π B.cos 2+ajo=1 babs c.若6，=1，则x= 8 D.若a1=二，则a2,a4,a8成等比数列 6 高2027届2025-2026学年度第一学期期末考试数学试题第2页共4页 11.(改编)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,若直线x-my-1=0过点F与C 交于A,B两点，线段AB的中垂线与C的准线交于点P,且线段AB的中点为Q, 则(. A.抛物线C的准线方程为x=-1 B.∠AOB一定为钝角 C.直线0Q的斜率最大值为 D.若PQ=2AB,则入≥1 2 第川卷（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.(原创)已知直线1：x+(2a-1)y+a-1=0,当直线1与等轴双曲线的渐近线平行时， 实数a的值为 13.(改编)已知函数(x)=2x-sinx,则不等式f(x+1)+f(x2-3)<0的解集 为 14.(改编)已知数列an的通项公式是a,=m2n+1),设f)=兰++父++ a a2 a3 a. 则'(1)= 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.) 15.(原创)(13分)已知A(-1,0),B(2,0),动点P满足2PA=PB. (1)求动点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)一条光线从点C(2,4)射出，经y轴反射后，与动点P的轨迹方程相切，求反射 光线所在直线的方程. 16.(原创)(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2. (1)求{an}的通项公式； (2)若bn=a,sin Z,记数列bn的前n项和Tm,求T2o24· 2 高2027届2025-2026学年度第一学期期末考试数学试题第3页共4页 17.(改编)(15分)已知丽数了()=x-(6a+hx-子，其中aER. (1)若a=1时，求函数f(x)在(1，f(1)处的切线方程； (2)当a>0时，求函数f(x)的单调区间. 18.(改编)(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD=2BC=6, CD-35,cos∠ADc-2W5 AP-6.点M,N分别在线段PB与PA上（不含端点）， 5 且BM=MP,AN=uNP (1)求证：AC⊥平面PAD; (2)设点G是△PCD的重心，求直线GB与平面PBD p 所成角的正弦值； ③若MN∥平面PcD.求上的最小值. .G 9.了分)已知椭圆C:之×业 +京=1(a>6>0)的左顶点为A,下顶点为B,长轴长 为4，且过点仙1 (1)求椭圆C的方程； (2)点P(x,y)为椭圆C在第一象限上任一点，直线AP交y轴于点C,直线BP交 x轴于点D. (i)若四条直线AP,BP,AB,CD的斜率分别记为k1,k2,k3,k4,证明： k1k2=k3k4: (ii)记△PCD的面积为S1,四边形ABDC的面积为S2, 求S的最大值。 S2 高2027届2025-2026学年度第一学期期末考试数学试题第4页共4页高2027届2025一2026学年上期期末考试 数学试题（参考答案) 题号 34 5 6 10 11 答案 B D A B BCD ACD AB 12.0;13.（-2,1):14. n+1 7.【详解】如图，设双曲线的右焦点为F,根据双曲线的对称性得到 F叫=|R4到，KA=云-∠A=2,由双曲线的定义得 A-FA=2FA=2a,所以FA=3a,在△FA中，由余弦定理 得cos∠RAR= 9a+d-4c1o二4c=整理得c13 6a2 =4 ,所 2.3aa 以e=c=13 故选：B. a 2 A1 &【详解】如图，取AE=】AB,AF=2AD,所以 2 亚-芳B+20+:=x西v2 2+二A4= E 3 2 3 xAE+yAF+二A4,因为x+y+z=1,所以点P在平面AEF内，|CP|的最小值即 为点C到平面AEF的距离。以A点为坐标原点，分别以AB,AD,AA所在直线为x轴， y轴，z轴，建立空间直角坐标系，.A(0,0,2),E1,0,0),F(0,2,0),C(2,3,0), AE=(1,0,-2),EF=(-1,2,0),EC=(1,3,0),设平面AEF的法向量为=(x,y,z)则有 4En=x-2z=0 ,取y=1,则x=2,z=1,所以n=(2,1,1) EF.n=-x+2y=0 EC.n 5 56 因此，点C到平面AEF的距离为 6 一.故选：A.(也可以用等体积法计算) 11.【详解】A:抛物线y2=2px的焦点坐标为 ,0,因为直线x-w-1=0过焦点F 2 所以-1=0，解得p=2,所以抛物线C的准线方程为x=-1,故A正确： 2 南得欢线广-设小.肤立有-4=0. △=(4m-4x(0=16m+16>0,+4=4,%=-4,则x,=空-=1， 4416 所以OA·OB=xx,+yy,=1-4=-3<0,所以Cos(OA0B)= OA.OB <0 因为(OA,OB)∈[0，，所以∠AOB一定为钝角，故B正确： C:AB中点0的纵坐标=十少=2m,横坐标g=%+1=22+1,所以直线00的斜 2 率koe _yo 2m x222+1,当m=0时，ke=0, 22 当m>0时，。2m+12m+工，此时直线o9的斜率存在最大值（m<0为负值) 因为m>0时，2m1+≥22mx 2x工-2N2,当且仅当2m= 1 ,即m= m 时取等号， 2 所以=2 2-迈 ,工22之，即直线2的斜率最大值为 ,故C错误； 2+二 2 D:由抛物线定义可得 AB=x+x+2=%+1+%2+1+2=(y,+2)+4=42+4, 因为4B中点Q(2m+1,2m,直线4B斜率为，所以AB中垂线 -1O\B 斜率为-m,则AB中垂线方程为y-2m=-mx-2m2-1),令x=-1, 解得y=2m+4,即P(-1,2+4m), 所以Pg=V(2m2+2)°+(2m3+2m)°=202+1)Vm2+1, 若P9=2AB,则2P吗=20m+Nm+1-mt故D错误 AB 42+4 14.【详解】因为f)）=1+2x+3x+ 二，所以0=上+2+3++” 414243 a 44243an 而”、 n1_11 a.n(n+1)n(n+)nn+1' 2 故f0=-+(}++(1)=1-1n 223 nn+1'n+1n+1 15.(1)(x+2)2+y2=4;轨迹的形状是以(-2,0)为圆心，以2为半径的圆： (2)V3x-y+23+4=0或V3x+y+2W3-4=0. 【详解】(1)设P(x,),由2|PAPB得2√(x+1)2+y2=Vx-22+y2,2分 化简得，动点M的轨迹方程为：(x+22+y2=4: 4分 轨迹的形状是以(-2,0)为圆心，以2为半径的圆. 5分 (2)点C(2,4)关于y轴的对称点C'(-2,4)在反射光线所在直线上， 6分 且斜率存在，设其方程为y-4=k(x+2),即为-y+2k+4=0, 8分 光线从点C(2,4)射出，经y轴反射与动点P的轨迹方程相切， 所以上2流-0+2+4=2，解的在=+5， Vk2+1 11分 所以反射光线所在直线的方程为√3x-y+2√3+4=0或√3x+y+2W3-4=0…13分 16.(1)a.=2n-1,(n∈N*):(2)T024=-2024 【详解】(1)当n=1时，则4=S1=1: l分 当n≥2时，则a.=Sn-Sn1=n2-(n-1)2=2n-1, 4分 经验证，4=1满足4n=2n-1, 5分 所以an=2n-1,(n∈N): .7分 回因为sm号-hkn号 n2元=0，sin 2 n 3z=-lsin 4=0.sin 5=1 11分 2 T024=b+b,+b,+b4++b023+b024=4-4,+4,-4++a2021-a023 所以0-5)+0-13)++(4041-4045)=(-0x506=-2024 .15分 17.(1)y+2=0:(2)见解析 【详解】)当a=1时，f)=x-4x-3,f()=1-4+3 x2’2分 3 故f(1)=-2,'"(1)=0, 3分 所以函数f(x)在(1，f(1)处的切线方程为y-f(I)=f'(I)(x-1), 即y+2=0」 5分 (1)由题意知函数定义域为(0，+0). 当a>0时，f()=a-30+1+3-aw2-Ba+1)x+3_x-3)ar-) 7分 x x2 令f()=0,解的x=3或x= 8分 a 若君3，即a>写时，f闭>0曰x3a或0<x<片f到<0→r,f0闭 a a a 在(0，)和(3，+0)单调递增，在（二，3》单调递减： 10分 a 若3，即a时，了心)》20，/在(0+o)单调避增，1 3x2 若>3，即a<时，f)>0=>1或0<x<3,f(9<0一3<r<,f ”3 a 在(0,3》和(1，+0)单调递蜡，在(3,1)单调递减 13分 a 综上所述： 当a>时，千)的单调递增区何为0，和3，十m),单调递减区间在(3)： 3 当a=}时，f)的单调递增区间为(0，+o),无减区间： 3 当a<时，f)的单调递增区间为(0,3》和（上，+0），单调递减区间在(3，).…15分 1 c 1双四见解折：2 33 :(3)8 【详解】(1)证明：在△ACD中，由余弦定理得： 4C=62+65-2x6x35×25 9 】分 所以AC2+AD2=9+36=45=CD2, 2分 因此AC⊥AD,又PA⊥平面ABCD, 所以PA⊥AC,又AD∩PA=A,所以AC⊥平面AD 4分 (1)因为PAL平面ABCD,所以A⊥AC,PA⊥AD,由(1)知AC⊥AD,5分 以A为坐标原点，AC,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， P(0,0,,C3,0,0),D(0,6,0),B(3,-3,0),A(0,0,0),G(1,2,2), GB=(2,-5,-2),PB=(3,-3,-6),BD=(-3,9,0), 6分 设平面PBD的一个法向量n=(x,y,), [m.PB=0_∫3x-3y-6z=0 所以{D=0{3x+9y=0 8分 取x=3,得(3,1,1)，设直线GB与平面PBD所成角为8， 则sin0= 1G8.n 1 3 1GB‖nV11×√3333 10分 (2)因为BM=2MP,所以(xM-3,yM+3,三M)=(-xw-yw,6-三M), 效M2》同暖由西-h得：N0 OLL …11分 1+u 9元=6a9m-06分 设平面PCD的一个法向量n=(x。yo三o): 则 m-P℃=0∫3x。-65。=0 取X=2,得n=(2,l,1）)13分 nPD=06y-650=0 由MN/平面PcD,所以MN·n=0, 14分 即，二6+，3，+662-0，因t4=22+1. 1+21+21+41+九 15分 所以兮-48+4+1-4++4≥242+4=8， 16分 当且仅当2=1， ，4=2时取=" 17分 [2a=4 3 「a=2 19.解：(1)由题意知 → +是161 2分 因此，椭圆C的方程为+=1 3分 (2)如图所示点P(x,)在第一象限，所以x>0,>0, x +y2=1. 4 0证明：直线AP的斜率飞= x+2 ,直线BP的斜率飞，=y+ -1-01 直线AB的斜率k,=0-(2)2’ .4分 直线AP过A(-2,0),斜率为k1,故方程y=k(x+2), 令x0得C0,2)=0, 2y) x+2 5分 直线BP过B(O,-1),斜率为k2,故方程y+1=k2x, 令y-0得x= :y+1'D y+1’0, 6分 02y 于是直线CD的斜率为飞，=，x+2=- 2y(y+1) x-0 x(x+2) 7分 y+1 k,=y。y+1-+D x+2xx(x+2) 8分 6=(←I-20+9]=0+ ,故所k=k x(x+2)x(x+2) 9分 m设C0,e),0得c=2y x+2 &-S1Sm方4D1Dc-4D0-g S=S4o-Saeo=引ADy-)ADxc=引AD×0-G,1分 2y 所以S=2 ADI-(v-e)y=cv- =+2= y S. 1 1+c1+2yx+2+2y .12分 14D1a+o x+2 x=2c0s0 由椭圆的参数方程得 y=sin9’8e(0,). 6 2cos0sine cos0sinθ 则 S2 2c0s0+2+2sine cos0+1+sin0' 14分 令1=i0+os0,由0E(0,,因此1=5sm(0+孕∈a2], (sn+co0)1+2sincoic1 2 16分 t2-1 放S=2=-1s2-1,当且仅当0=元时等号成立，所以 4 的最大值是 S21+t22 S, √2-1 2 17分 >