重庆市江津中学校2025-2026学年度高二第一学期期末考试数学试题

高2027届2025一2026学年上期期末考试 数学试题（参考答案) 题号 1 2 34 6 7 P 9 10 11 答案 B D A C B BCD ACD AB 12.0;13.（-2,1):14. n+1 7.【详解】如图，设双曲线的右焦点为F,根据双曲线的对称性得到 K叫=|R4到，RA=石-∠不A=2,由双曲线的定义得 A-A=2EA=2a,所以EA=3a,在△A中，由余弦定理 得cos∠RAB= +d-4c10c-4c=-1,整理得c213 2.3aa 6a2 =4 ,所 以e=c=13 故选：B. a 2 A1 &【详解】如图，取AE=】AB,AF=2AD,所以 2 严-芳+20+：=x西v2 E -+y +5A4= 3 2 3 ⊙ xAE+yAF+二A4,,因为x+y+z=1,所以点P在平面AEF内，|CP|的最小值即 为点C到平面AEF的距离。以A点为坐标原点，分别以AB,AD,AA所在直线为x轴， y轴，z轴，建立空间直角坐标系，.A(0,0,2),E(1,0,0),F(0,2,0),C(2,3,0), AE=(1,0,-2),EF=(-1,2,0),EC=(1,3,0),设平面AEF的法向量为=(x,y,z)则有 4En=x-2z=0 ,取y=1,则x=2,z=1,所以n=(2,1,1) EF.n=-x+2y=0 G.n55√ 因此，点C到平面AEF的距离为 √6 一.故选：A.(也可以用等体积法计算) 11.【详解】A:抛物线y2=2x的焦点坐标为 ,0,因为直线x-w-1=0过焦点F 2 所以-1=0，解得p=2,所以抛物线C的准线方程为x=-1,故A正确： 2 1 内部.米线爱4医为，立代2”4将护-w-4仁0 △=(4m-4x(-9=16+16>0,为+为=m,=-4,则，=其星_-1， 4416 所以OA·OB=x2+yy,=1-4=-3<0,所以cos(OAOB= OA.OB0, 因为(OA,OB)∈[0，，所以∠AOB一定为钝角，故B正确： C:AB中点Q的纵坐标e=当，当=2L,横坐标2=2+1=2m2+1,所以直线00的斜 2 率e-。2m 22m+1,当m=0时，ae=0, 272 当m>0时，e2中2m工，此时直线O9的斜率存在最大值(m<0为负值， 因为m>0时，21+号≥2/2mx号 2x工-2N2,当且仅当2m= 1 ,即m= m u 时取等号， 2 所以e=2」 2-迈 ,片工252，即直线o2的斜率最大值为 2+ 2 ,故C错误； D:由抛物线定义可得 AB=x+53+2=%+1+%+1+2=(y1+y2)+4=42+4, 因为4B中点Q(2m+120,直线AB斜率为，所以4B中垂线 -1O\B 斜率为-m,则AB中垂线方程为y-2m=-mx-2m2-1),令x=-1, 解得y=22+4m,即P(-1,2m2+4m）, 所以Pg=V(2m2+2+(2m3+2m)°=202+1)Vm2+1, g小4，图豆台D结家 AB 422+4 14.【详解】因为f6)=1+2x+3x ,所以0=+2+3++ 414243 4143a3a 而”、 n 111 an'(n+1)(n+)nn+1' 2 故f0=-+(}++(1)=1-1n 223 nn+1'n+1n+1 15.(1)(x+2)2+y2=4;轨迹的形状是以(-2,0)为圆心，以2为半径的圆： (2)V3x-y+23+4=0或V3x+y+2W3-4=0. 【详解】(1)设P(x,),由2|PAPB得2√(x+1)2+y2=Vx-22+y2,2分 化简得，动点M的轨迹方程为：(x+2}+y2=4: 4分 轨迹的形状是以(-2,0)为圆心，以2为半径的圆. 5分 (2)点C(2,4)关于y轴的对称点C'(-2,4)在反射光线所在直线上， 6分 且斜率存在，设其方程为y-4=k(x+2),即为-y+2k+4=0, 8分 光线从点C(2,4)射出，经y轴反射与动点P的轨迹方程相切， 所以上2流-0+2+4=2，解的在=+5， Vk2+1 11分 所以反射光线所在直线的方程为√3x-y+2√3+4=0或√3x+y+2W3-4=0…13分 16.(1)a.=2n-1,(∈N):(2)T024=-2024 【详解】(1)当n=1时，则4=S1=1: l分 当n≥2时，则a,=Sn-Sm1=n2-(n-1)2=2n-1, 4分 经验证，4=1满足4，=2n-1, 5分 所以a=2n-1,(neW*): .7分 回因为sm号-hkn号 .i 2 n 3z=-lsin 4=0.sin 5元=1 11分 2 2 Tn4=b+b,+b3+b4++b029+b04=4-4+4-4++%021-a03 所t以-0-5)+9-13)++(4041-4045)=(-0x506=-2024 ..15分 17.(1)y+2=0:(2)见解析 【详解】)当a=1时，f)=x-4x-3,f(9=1-4+3 x22分 3 故f(1)=-2,'"(1)=0, 3分 所以函数f(x)在(1，f(1)处的切线方程为y-f(I)=f'(I)(x-1), 即y+2=0」 5分 (1)由题意知函数定义域为(0，+0). 当a>0时，f(9=a-3a+1+3-r-3a+1)r+3_K-3ar-) x 7分 x2 令f()=0,解的x=3或x= 8分 a 若君3，即a>写时，f闭>0曰x3a或0<x<片f到<0→r,f0闭 a a a 在(0，)和(3，+0)单调递增，在（二，3》单调递减： 10分 居=3.即a时；f心-》20，f在0+)单调递增；山 3x2 若>3，即a<时，f)>0=>1或0<x<3,f(9<0一3<r<,f 1 ”3 a 在(0,3》和(1，+0)单调递蜡，在(3,1)单调递减 13分 a 综上所述： 当a>时，千)的单调递增区何为0，和3，十m),单调递减区间在(3)： 3 当a=时，f)的单调递增区间为(0，+0)，无减区间： 3 当a<时，f)的单调递增区间为(0,3》和（上，+0），单调递减区间在(3，).…15分 1 c 1双四见解折：2 33 ;(3)8 【详解】(1)证明：在△ACD中，由余弦定理得： 4C=6+65-2x6x35×25 5 9 】分 所以AC2+AD2=9+36=45=CD2, 2分 因此AC⊥AD,又PA⊥平面ABCD, 所以PA⊥AC,又AD∩PA=A,所以AC⊥平面AD 4分 4 (1)因为PAL平面ABCD,所以A⊥AC,PA⊥AD,由(1)知AC⊥AD,5分 以A为坐标原点，AC,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， P(0,0,,C3,0,0),D(0,6,0),B(3,-3,0),A(0,0,0),G(1,2,2), GB=(2,-5,-2),PB=(3,-3,-6),BD=(-3,9,0), 6分 设平面PBD的一个法向量n=(x,y,), [m.PB=0_∫3x-3y-6z=0 所以{D=0{3x+9y=0 8分 取x=3,得(3,1,1)，设直线GB与平面PBD所成角为8， 则sin0= 1G8.1 3 1GB‖nV11×V3333 10分 (2)因为BM=2MP,所以(xM-3,yM+3,三M)=2(-x-yM,6-三M), 效M2头同腰由8-得：0 OLL …11分 1+u 9元=6a9m-06分 设平面PCD的一个法向量n=(yo), 则 m-P℃=0∫3x-65,=0 取X=2,得n=(2,l,1）)13分 n-PD=06y-650=0 由MN/平面PcD,所以MN·n=0, 14分 即，6+，3，+662-0，因t4=22+1. 1+21+21+41+九 15分 所以号-48+4+1-4++4≥242+4=8， 16分 当且仅当2=， ，4=2时取=" 17分 [2a=4 3 「a=2 19.解：(1)由题意知 → 1+4=1(61’ 2分 因此，椭圆c的方程为+少”三1 3分 (2)如图所示点P(x,)在第一象限，所以x>0,>0, x +y2=1. 4 0证明：直线AP的斜率k= x+2 ,直线BP的斜率飞=y+ -1-01 直线AB的斜率k=0-(2)2’ .4分 直线AP过A(-2,0),斜率为k1,故方程y=k(x+2), 令x0得C0,2)=0, 2y) x+2 5分 直线BP过B(0,-1),斜率为k2,故方程y+1=kx, 令y-0得x= ky+1'·D y+1’0, 6分 02y 于是直线CD的斜率为飞4=，x+2=- 2y(y+1) x-0 x(x+2) 7分 y+1 k=》。+1_y+) x+2xx(x+2) 8分 6=(←-20+]=0+ ,故所=人 x(x+2)x(x+2) 9分 0设C0,o),由0得c=2y x+2 &-S1Sw方4D1Dc-号4D0-g S=SaD-Sauo=引ADy-)ADxc=引AD×0-G,1分 2y 所以S=2 ADIO-6y-c y S: =+2= AD1-1+d 1 1+c1+2yx+2+2y .12分 x+2 x=2c0s0 由椭圆的参数方程得 y=sin9’8e(0,). 6 2cos0sin0 cos0sinθ 则 S2 2cos0+2+2sine cos0+1+sine' 14分 令1=i0+os0,由0E(0,,因此1=5sm(0+孕ea2], f=(Sim6+cos8)°=1+2sin0c0s0,所以sim0cos6=F-1 2 16分 t2-1 放S=2=-1s2-1,当且仅当0=元时等号成立，所以 4 的最大值是 S. S21+t22 √2-1 2 .17分 > 高2027届2025—2026学年度第一学期期末考试 数学试题 命题学校：重庆市江津中学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．考试结束后，将答题卷交回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 直线：在轴上的截距为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 2. 函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆的一个焦点在抛物线（）的准线上，则抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，，若向量，，共面，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 5. 函数（）在定义域上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，，那么（ ） A. 2 B. C. D. 7. 设双曲线：（，）的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，且，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在长方体中，，，向量，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9. 已知直线：与圆：，则下列说法中正确的有（ ） A. 当时，直线的斜率不存在 B. 直线过定点 C. 圆与直线的相交弦长的最小值为 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 10. 已知数列为等差数列，为等比数列，，分别是数列，的前项和，若，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则，，成等比数列 11. 已知抛物线：（）的焦点为，若直线过点与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，则下列说法正确的是（ ）． A. 抛物线的准线方程为 B. 一定为钝角 C. 直线的斜率最大值为 D. 若，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知直线：，当直线与等轴双曲线的渐近线平行时，实数的值为______． 13. 已知函数，则不等式的解集为______． 14. 已知数列的通项公式是，设，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知，，动点满足． （1）求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； （2）一条光线从点射出，经轴反射后，与动点的轨迹相切，求反射光线所在直线的方程． 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，记数列的前项和，求． 17. 已知函数，其中． （1）若时，求函数在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，．点，分别在线段与上（不含端点），且，． （1）求证：平面； （2）设点是的重心，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面，求的最小值． 19. 已知椭圆的左顶点为，下顶点为，长轴长为4，且过点. （1）求的方程； （2）点为椭圆在第一象限上任一点，直线交轴于点，直线交轴于点. （i）若四条直线，，，的斜率分别记为，，，，证明：； （ii）记的面积为，四边形的面积为，求的最大值. 高2027届2025—2026学年度第一学期期末考试 数学试题 命题学校：重庆市江津中学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．考试结束后，将答题卷交回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】AB 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 【12题答案】 【答案】0 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 【15题答案】 【答案】（1）；动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆 （2）或 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是； 当时，的单调递增区间是，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是. 【18题答案】 【答案】（1） 在中，由余弦定理得， 所以，则，可知， 因为平面，平面，则， 且，平面，平面， 所以平面 （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （i）设点，且， 由题意得，，故，，， 则直线，直线， 则，则， 则，，故； （ii） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $