第二章二次函数 单元试卷 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

第二章二次函数 单元试卷 2025-2026学年北师大版数学九下 学校:___________姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．下列函数中，为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象开口向上 B．图象关于直线对称 C．图象过点 D．当时，y随x增大而增大 3．已知二次函数的图象开口向下，则“□”可能是（    ） A． B．0 C． D．2 4．已知点和点在抛物线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 5．当时，二次函数（为常数，且）有最小值，则的值为（   ） A． B． C．4 D．4或 6．设二次函数（是常数，），部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 当时，（   ） A．5 B． C． D．0 7．已知二次函数下列说法正确的是（   ） A．点一定在该函数的图象上 B．当且时，有 C．该函数的图象与x轴一定有两个交点 D．当时，该函数图象的对称轴在直线的右侧 8．如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为． ①抛物线与直线有交点；②若点、点、点在该函数图象上，则；③将该抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线解析式为；④点关于直线的对称点为，点、分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中正确的判断有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 9．写出一个当时，y随x增大而增大的二次函数表达式 ． 10．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 ． 11．已知二次函数满足条件：①图象过点；②当时，y随x的增大而增大，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式 ． 12．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，且在边处设计有宽的通道方便出入，若墙的长不小于，求这个花园可围成的最大面积是 ． 13．已知二次函数的图象与x轴有交点，则a的取值范围是 ． 14．将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图所示，当直线与新图象恰有三个公共点时，b的值为 ． 15．图1是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ． 16．如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为 ． 三、解答题 17．如图，二次函数的图象与轴交于，两点． （1）求，的值． （2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为，求点的坐标． 18．已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … （1）求该抛物线的表达式； （2）在平面直角坐标系中画出该抛物线，并直接写出当时，y的取值范围． 19．如图，抛物线经过点，． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）当时，求y的最大值； （3）M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 20．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点、、C、分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径． （1）求半圆的直径的长． （2）求这个“果圆”被轴截得的的长． 21．在平面直角坐标系 中，抛物线 (a为常数)的顶点为D． （1）求点D坐标； （2）若直线 与抛物线的一个交点A的横坐标为4，过点 作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线 于点N． ①当 时，求 的长． ②当 时，线段 的最大长度为8，求t的取值范围． 22．综合与实践：根据素材回答问题． 茶叶的销售问题 背景 黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶．产于安徽省黄山（徽州）一带，所以又称徽茶．由清代光绪年间谢裕大茶庄所创制．每年清明谷雨，选摘良种茶树“黄山种”、“黄山大叶种”等的初展肥壮嫩芽，手工炒制，该茶外形微卷，状似雀舌，绿中泛黄，银毫显露，且带有金黄色鱼叶（俗称黄金片）． 素材1 某茶叶公司经销黄山毛峰茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元，经调查发现，其日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示． 任务1 （1）分别求出y与x的函数关系式 任务 2 （2）若该茶叶的日销售量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元； 任务 3 （3）若公司想获得不低于1000元的日利润，求售价x的取值范围． 23．2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目，篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线．以机器人站立点为原点建立平面直角坐标系，篮球飞行的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）满足二次函数关系． 机器人某次投篮，篮球飞行的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x（米） 0 1 2 3 4 5 竖直高度y（米） 挑战者在同样地点投篮，篮球飞行的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系． （1）根据上述数据，直接写出机器人投篮时，篮球飞行的竖直高度的最大值为_____________米，满足的函数关系是_____________； （2）若篮球在水平距离5米处的竖直高度y满足，视为有效投篮，则机器人投篮_____________（填“有效”或“无效”），挑战者投篮_____________（填“有效”或“无效”）． 参考答案 1．【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的识别，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键，一般地，形如（其中、、为常数，且）的函数叫做二次函数．根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、中，的指数是，故是一次函数，不是二次函数，此选项不符合题意； B、中，自变量在分母上，故不是二次函数，此选项不符合题意； C、中，的指数是，是整式，故是二次函数，此选项符合题意； D、中，不是整式，故不是二次函数，此选项不符合题意； 故选C ． 2．【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、点坐标和增减性． 【详解】解：∵， ∴，抛物线开口向下，故A错误； 对称轴为直线，故B正确； 当时，，故图象不过点，C错误； ∵，当时，y随x增大而减小，故D错误． 故选B． 3．【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象开口向下，则二次项系数小于零，即可求解． 【详解】解：∵ 二次函数的开口方向由决定，当时开口向下， 又∵ 题目中二次项系数为“□”， ∴， 故选A． 4．【答案】A 【分析】本题考查了比较二次函数值的大小． 通过直接代入抛物线方程计算两点纵坐标值，比较大小． 【详解】解：∵抛物线方程为， ∴对于点，， 对于点，， ∴，， ∴． 故选A． 5．【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质．由题意可得二次函数的对称轴为直线，再分两种情况：当时，当时，分别利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，该二次函数有最小值， ∴当时，当时，， ∴， 解得：； 当时，对称轴为直线， 故当时，取得最小值为， ∴， 解得：； 综上所述，的值为4或， 故选D． 6．【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质和表格中的数据，可以求出该函数图象的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性，即可求得当对应的函数值． 【详解】解：由表格可得， 该函数的对称轴为直线， ∴和对应的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，， 故选D． 7．【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A．当，时，，∵，∴，∴点不在图象上，故错误； B．当时，，则对称轴为， 当时，；当时，， ∵，开口向下， ∴当时，有最大值为3， ∴当时，，故正确； C．方程的判别式， 当时，，方程无实根， ∴图象与x轴不一定有两个交点，故错误． D．，则对称轴为， 当时，， ∴对称轴在左侧，故错误． 故选B． 8．【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、函数图象的平移、最短路径问题，利用轴对称转化线段，将四边形的周长转化为“两点之间线段最短”的模型求解． ①通过联立方程，利用判别式判断是否有解；②结合抛物线的开口方向和对称轴，分析点到对称轴的距离与函数值的关系；③掌握“左加右减、上加下减”的平移规律；④利用轴对称转化线段，结合“两点之间线段最短”求解． 【详解】解：①已知抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为， 抛物线与直线有交点， ， ， ， ∴抛物线与直线有交点，故①判断正确； ②的对称轴为直线，， 抛物线上的点离对称轴越远，的值越小， ，，， ， ， 故②判断错误； ③由抛物线， 该抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位， 平移后的解析式为， 故③判断正确； ④时，抛物线的解析式为， ，，， 作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，与轴、轴分别交于、点，如图， 则，根据两点之间线段最短，知最短，而的长度为， ∴此时，四边形周长为且长度最小：， 故④结论不正确； 综上所述，正确的结论是①③． 故选． 9．【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键． 通过确定好二次函数的开口方向以及对称轴，再写出任意一个符合条件的二次函数即可． 【详解】解：∵当时，y随x增大而增大， ∴二次函数开口向上，对称轴可以取直线， ∴符合条件的二次函数可以为：． 10．【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c都是常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得或. 11．【答案】答案不唯一， 【分析】本题考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合二次函数的性质和已知条件的一个函数解析式即可． 【详解】解：当时，函数值随自变量的增大而增大， 二次函数顶点的横坐标，不妨取，抛物线开口向下，， 设函数的解析式是， 函数的图象经过点， 把代入得：， 即， 取， 所以函数的解析式可以是. 12．【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．设与墙垂直的一边长为，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值． 【详解】解：设与墙垂直的一边长为，围成的矩形面积为，则与墙平行的一边长为， ∴矩形围栏的面积为， ∵， ∴当时，矩形有最大面积为， 此时与墙平行的一边长为，符合题意. 13．【答案】且 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的应用，掌握相关知识并正确计算是解题的关键． 令，根据根的判别式大于等于零即可求解； 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴令时，根的判别式大于等于零； 即， 解得：， . 14．【答案】1或 【分析】由题意得，抛物线与x轴的交点坐标分别为，，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的解析式为，当直线过点A时，直线与新函数的图象恰有三个公共点，将代入，可求出b的值；当直线与抛物线相切时，直线与新函数的图象恰有三个公共点，结合图象，求出b的值即可． 【详解】解：令， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标分别为，， 将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的解析式为． 当直线过点A时，直线与新函数的图象恰有三个公共点， 将代入， 得， 解得． 当直线与抛物线只有一个交点时，直线与新函数的图象恰有三个公共点， 即方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴， 解得． ∴当直线与新图象恰有三个公共点时，b的值为1或． 15．【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，以为原点，直线为轴，过且平行直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，求出解析式，然后当时，求出的值即可，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】解：如图，以为原点，直线为轴，过且平行直线为轴建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为， 由题意得点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，，解得：， ∴，， ∴. 16．【答案】2或4 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，根据抛物线a和线段b有两个交点，可确定m的取值范围，再分别把和代入抛物线解析式，可得到，然后根据m为整数，可得m的值为2或3或4，即可求解．熟练掌握二次函数与一次函数图象相交题型的解法，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：联立，得： ， ∵抛物线a和线段b有两个交点， ∴， 解得：． 当时，． 将代入抛物线解析式得：， ． 同理，当时，， ∴． ∵m为整数， ∴m的值为2或3或4． 当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求； 当时，抛物线与线段的交点不是整点，不符合要求； 当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求． ∴m的值为2或4． 17．【答案】（1） （2）或 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）由（1）知，二次函数的解析式为，设点的坐标为，结合几何图形的面积得到，求出，即可求解． 【详解】（1）解：把点，代入， 得， 解得； （2）由（1）知，二次函数的解析式为， 设点的坐标为． 的面积为，， ， ， 即或， 解得或， 或． 18．【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了待定系数求二次函数解析式，二次函数的图象性质等知识点，解决此题关键是能根据表格里的数据得到对称轴． （1）根据表格里的数据得到对称轴，可设抛物线解析式，再找一个组值代入即可； （2）根据表格中的数据，在平面直角坐标系里描出点，用平滑的曲线连接即可；根据图象的性质，即可得到时，y的范围． 【详解】（1）解：由表格可知对称轴为，所以可设抛物线的解析式为， ∵时，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：描点，连线，函数图象如图所示， 由（1）可知，对称轴为， 所以令，， 当时， ∴能取到最小值，能取到最大值5， 即． 19．【答案】（1） （2） （3）坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数是解决问题的关键． （1）将、代入求出、的值即可得到抛物线解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式求出顶点值和两个端点值，即可得出取值范围； （3）求出，设，则，即可求解． 【详解】（1）解：把、代入得， 解得， 抛物线的解析式为，顶点坐标为； （2）解：抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为， 当时，函数有最小值， 当时，；当时，； 当时，； （3）解：、， ， 设， 则， 即， 解得， 当时，此时， 当时，此时 ， 坐标为或或或． 20．【答案】（1）4 （2） 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键． （1）令，求得的值，即可求得的长； （2）令，求得，则，则，根据勾股定理可求的长，即可得的长． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ． （2）解：如图，连接， 为的中点， ． ． ， 在中，由勾股定理得， 当时，， ． ． 21．【答案】 （1） （2）①6；② 【详解】 （1）解：对称轴为直线 ， 将 代入 中得 ， ∴点D的坐标为 ； （2）解：∵直线 与抛物线的一个交点A的横坐标为4， ∴ ， ∴ ， 将 代入 ，得 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为 ， ①当 时，点M的纵坐标为， ， 点N的纵坐标为， ， ∴ ； ②根据题意得 ， ， ∴ ， 当 时， ， 解得 或 或 （舍去）， ∵当 时，线段 的最大长度为8， ∴ ， 解得 ． 22．【答案】（1）；（2）当售价为80元时，每天获利最大，最大利润为1600元；（3） 【分析】（1）理解题意，设，再把，分别代入计算，得即可； （2）根据每千克成本为60元，茶叶的日销售利润为w元，进行列式得出， 根据该茶叶的日销量不低于80千克，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，得出，由，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答； （3）根据公司想获得不低于1000元的日利润，令，解得，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】解：（1）设， 将，代入， 得 解得， ； （2）设每天获取的利润为w元， ∵每千克成本为60元， ∴ ； ∵该茶叶的日销量不低于80千克， ∴， 解得． ∵每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本， ∴， 解得：， ， ， ∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ∵， 当时，． 答：当售价为80元时，每天获利最大，最大利润为1600元； （3）依题意，令， 解得：． ∵，且 ∴开口向下， 当时，， 售价不高于100元， 售价范围为． 23．【答案】（1），． （2）有效，无效． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，求得函数解析式是解题的关键． （1）根据表格信息即可确定篮球飞行的竖直高度的最大值为米，再在表格中选择一组数据代入求得a的值即可； （2）分别求出的函数值，若在范围内，则投篮有效；否则无效． 【详解】（1）解：根据上述数据，篮球飞行的竖直高度的最大值为米， 由表格数据可知，当时，，故最大值为． 由顶点式可知顶点为，即，； 代入表格中，，得，解得：， 所以函数为． （2）解：由表格数据，时，，满足，满足要求，故机器人投篮有效． 代入到函数， 计算得：，不满足要求，故挑战者投篮无效． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $